WWW.LIBRUS.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - собрание публикаций
 

«Лекция 6 ОБЪЁМНЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ заметки к лекциям по общей физике В.Н.Глазков Москва В данном пособии представлены материалы к лекции по теме «Объёмные полупроводники» из курса «Квантовая ...»

Московский физико-технический институт

Кафедра общей физики

Лекция 6

ОБЪЁМНЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ

заметки к лекциям по общей физике

В.Н.Глазков

Москва

В данном пособии представлены материалы к лекции по теме «Объёмные полупроводники»

из курса «Квантовая макрофизика», преподаваемого на кафедре общей физики МФТИ .

Пособие не претендует на полноту изложения материала и в основном является авторскими

заметками к лекциям, оно содержит основные сведения по этой теме курса. Для подробного изучения тем студентам рекомендуется обратиться к классическому курсу Ч.Киттеля «Введение в физику твёрдого тела» [1] и другим источникам .

Основной материал по этой теме содержится в главе 11 книги Киттеля [1] и в методичке А.И.Морозова «Физика твёрдого тела» [2]. Обсуждение ряда вопросов в привязке к измерению характеристик полупроводника имеется в лабораторном практикуме [3]. В качестве подробного классического учебника по физике полупроводников можно рекомендовать учебник Бонч-Бруевича [4] .

Символом † отмечены дополнительные разделы .

Основные понятия этой лекции:

• полупроводник, валентная зона, зона проводимости, запрещённая зона;

• положение химпотенциала при T =0 в чистом полупроводнике и в полупроводнике с донорными или акцепторными примесями;

• энергетическая диаграмма чистого полупроводника, полупроводника n-типа и p-типа:

• водородоподобные состояния, экситоны;

стр. 2 из 35 12.03.2018 Оглавление Общие представления о полупроводниках

Зонная структура полупроводникового кристалла

Полупроводники с нулевой шириной запрещенной зоны†

Прямозонные и непрямозонные полупроводники

Электроны и дырки в полупроводнике

Зонная структура реального полупроводника.

Свойства чистого полупроводника

Концентрации носителей заряда в чистом полупроводнике

Химпотенциал чистого полупроводника

Примесные слаболегированые полупроводники

Донорные и акцепторные примеси в полупроводнике

Концентрация носителей в легированных полупроводниках. Закон действующих масс (правило рычага)

Энергетические диаграммы для полупроводника

Электропроводность полупроводников

Влияние концентрации носителей на электропроводность

Подвижность зарядов в полупроводнике†

Связанные состояния и рекомбинация носителей в полупроводниках

Экранирование ионизованной примеси в полупроводнике

Водородоподобные состояния вблизи примеси

Экситоны Ваннье-Мотта

Экситон-фононное взаимодействие†

Рекомбинация носителей†

Список литературы 1: Ч.Киттель, Введение в физику твёрдого тела.,, 2: А.И.Морозов, Физика твёрдого тела, МИРЭА (есть на сайте кафедры), 2008 3: Ф.Ф.Игошин, Ю.А.Самарский, Ю.М.Ципенюк, Лабораторный практикум по физике:

Квантовая физика., Физматкнига, 2012 4: В.Л.Бонч-Бруевич и С.Г.Калашников, Физика полупроводников, М.: Наука, 1990 5: A. H. Castro Neto, F. Guinea, N. M. R. Peres, K. S. Novoselov and A. K. Geim, The electronic properties of graphene, Reviews of Modern Physics, 81, 109(2009) 6: Brian Ray, II-IV Compounds: International Series of Monographs in The Science of The Solid State, vol.2, Pergamon Press, 1969 7: Charles P. Poole, Jr., Encyclopedic Dictionary of Condensed Matter Physics, vol.1, Academic Press, 2004 8: W .





R. Frensley and N. G. Einspruch editors, Heterostructures and Quantum Devices, Academic Press, 1994 9: Semiconductors on NSM, http://www.ioffe.ru/SVA/NSM/Semicond/ 10: под ред. В.А.Овчинкина, Сборник задач по общему курсу физики, часть 3 (раздел "Строение вещества"), Физматкнига, 2009 11: Bart Van Zeghbroeck, Principles of Semiconductor Devices,, 2011 12: T. Kazimierczuk, D. Frhlich, S. Scheel, H. Stolz and M. Bayer, Giant Rydberg excitons in the copper oxide Cu2O, Nature, 514, 343 (arxiv 1407.0691)(2014) 13: С.Готовко, Бакалаврская джипломная работа МФТИ, "Нелинейные явления в экситонфононных спектрах в закиси меди", под. рук. А.В.Горбунова, ИФТТ РАН, 2016

–  –  –

Зонная структура полупроводникового кристалла .

Рисунок 1: Концентрации электронов проводимости в металлах и полупроводниках. Из книги [1] .

Главным свойством металлов, в каком-то смысле определением того, что такое металл, является наличие электронов проводимости (наличие частично заполненной энергетической зоны) при температуре T =0. Все остальные вещества являются в строгом смысле этого слова диэлектриками: в них при T =0 есть только полностью заполненные или совершенно свободные энергетические зоны .

При конечной температуре в диэлектриках возникает ненулевая вероятность переброса электрона из заполненной зоны в свободную, что может приводить к возникновению проводимости. Однако часто энергетическое расстояние между заполненной при T =0 зоной (называемой валентной) и свободной (называемой зоной проводимости) оказывается настолько велико, что вероятность такого переброса, определяемая больцмановской экспонентой e /T, оказывается ничтожна — с практической точки зрения именно эти стр. 4 из 35 12.03.2018 вещества являются изоляторами (диэлектриками) .

Полупроводниками по определению называют вещества, в которых энергетическое расстояние между зоной проводимости и валентной зоной (щель между дном зоны проводимости и потолком валентной зоны, ширина запрещённой зоны) оказывается «не слишком велико», так что при интересующих нас температурах оказывается достаточно много электронов в зоне проводимости. Это определение весьма условно, обычно к полупроводникам относят соединения с шириной запрещённой зоны менее 3 эВ, хотя иногда и системы с несколько большей шириной запрещённой зоны называют широкозонными полупроводниками. В качестве некоторой численной оценки можно привести концентрацию свободных носителей заряда при комнатной температуре. В хороших металлах она 1022... 10 23 1/см 3, в полуметаллах выше 17 3 составляет 10 1/см, в «хороших»

диэлектриках ниже 1010 1/ см3, а в полупроводниках обычно от 1013 до 1017 1/см 3 (рисунок 1) .

Полупроводники с нулевой шириной запрещенной зоны† Промежуточным звеном между металлами и полупроводниками оказываются так называемые полупроводники с нулевой шириной запрещённой зоны. В таких системах в силу случайных1 или симметрийных причин валентная зона и зона проводимости соприкасаются .

При T =0 в таких системах оказывается полностью заполнена валентная зона и полностью свободна зона проводимости. Однако из-за отсутствия запрещённой зоны часть электронов перейдёт в зону проводимости при низкой температуре — то есть, как в металлах, электронная система оказывается восприимчива к слабому воздействию. В то же время, число электронов, откликающихся на это воздействие, оказывается мало и их количество зависит от температуры иначе, чем в металлах. Широко известным примером такого типа спектра является графен2 (рисунок 2) [5], однако этот эффект известен с 60-х годов 20 века для полупроводников на основе HgTe и HgSe [6], [7]. Полупроводниками с нулевой шириной запрещённой зоны являются также некоторые соединения из семейств Bi xSb1-x, Pb1-xSnxTe и Pb1-xSnxSe (при некоторых концентрациях x), серое олово (-Sn) [7]. Чистый HgTe является полуметаллом с небольшим перекрытием зон, при замещении более 20% ртути кадмием он становится полупроводником, а при пороговом уровне примеси кадмия ширина запрещённой зоны обращается в ноль (рисунок 3) .

1 Напомним, что такое закрытие щели между некоторыми зонами происходит при специальных значениях параметров в рассмотренной на лекции про зонную структуру модели Кронига-Пенни .

2 Пример графена невозможно обойти стороной в силу того, что он находится «на слуху». В нашем курсе мы не будем систематически рассматривать свойства графена. Отметим, что многие из широко известных свойств графена являются скорее результатами теоретического расчёта в идеализированной модели (идеальная двумерность, отсутствие примесей и дефектов), а на свойства реальных графеновых образцов эти «несовершенства» реального мира могут оказывать определяющее значение. Так в образцах графена T =0, которая по всей видимости связана с наблюдают небольшую проводимость при неконтролируемыми дефектами на поверхности .

–  –  –

Рисунок 4: Фрагмент спектра Рисунок 3 Спектры электронов (зонная структура) электронов в полупроводнике с нулевой соединений Cd-Hg-Te для разной концентрации шириной запрещённой зоны и линейным кадмия. (a) чистый HgTe, полуметалл с спектром в точке касания зон (случай перекрытием зон (b) 17% Cd, полуметалл с графена): если уровень энергии Ферми линейным спектром электронов на некоторых проходит точно через вершины ветвях спектра (c) 20% Cd, перекрытие зон "конусов", то плотность состояний на пропало — полупроводник с нулевой запрещённой уровне Ферми нулевая .

зоной (d) более высокие концентрации кадмия, обычный полупроводник. Из книги [6] .

стр. 6 из 35 12.03.2018 Зависимость энергии электрона от волнового вектора в точке соприкосновения зон зависит от типа полупроводника: в соединениях на основе HgTe и HgSe спектр в точке касания квадратичен (рисунок 3), в графене - линеен (рисунки 2 и 4). Отметим, что для линейного в окрестности точки касания зон спектра (случай графена) можно записать для энергии = v F, где характерную скорость v F называют скоростью Ферми. Этот спектр k напоминает спектр безмассовых (нерелятивистских) частиц и поэтому иногда его называют дираковским, а точки в k-пространстве, вблизи которых спектр представим в таком виде — точками Дирака .

При T =0 валентная зона заполнена полностью и уровень Ферми3 для полупроводника с нулевой шириной запрещённой зоны проходит через точку пересечения валентной зоны и зоны проводимости. Площадь поверхности Ферми при этом оказывается равна нулю, что приводит к занулению плотности состояний на поверхности Ферми. Для изотропного спектра электронов утверждение доказывается прямолинейно (вычисления далее для 1 dVk 1 Sk dN dN 1 1 трёхмерного случая) D(E )= = = =, где S k — d E d k d E /dk (2 )3 d k v гр (2 )3 v гр площадь (в k-пространстве) изоэнергетической поверхности с заданной энергией. Поэтому, несмотря на отсутствие запрещённой зоны, проводимости при T =0 в такой системе (в идеальном случае) нет. Мы не будем систематически рассматривать полупроводники с нулевой шириной запрещённой зоны в нашем курсе .

Прямозонные и непрямозонные полупроводники

Рисунок 5: Схематическое изображение полупроводника с прямой и непрямой запрещёнными зонами. Пунктирные линии — возможные оптические переходы из валентной зоны в зону проводимости. Из книги [2] .

Ширина запрещённой зоны ( E g, иногда также называется энергетической щелью) есть расстояние между минимальной энергией электронного состояния в зоне проводимости (дном зоны проводимости) и максимальной энергией электронного состояния в валентной 3 Напомним, что для металла уровень Ферми — это максимальная энергия заполненного электронного состояния. Для полупроводников с нулевой шириной запрещённой зоны энергетический спектр непрерывен, поэтому представление об уровне Ферми может быть перенесено на них непосредственно. Для полупроводников с ненулевой шириной запрещённой зоны вопрос о положении уровня химпотенциала при T =0 (иногда также называемого уровнем Ферми) оказывается более сложен и мы подробно рассмотрим его позднее (стр.18) .

стр. 7 из 35 12.03.2018 зоне (потолком валентной зоны). Мы уже знаем, что зонная структура электронного спектра в реальном трёхмерном кристалле может быть устроена весьма сложным образом. Однако при малом числе термоактивированных электронов в зоне проводимости можно всегда считать, что освобождаются только состояния вблизи максимумов спектра в валентной зоне и оказываются занятыми только состояния вблизи минимумов спектра в зоне проводимости .

Таким образом, качественно важными оказываются следующие особенности спектра:

совпадают ли в k-пространстве положения минимумов в зоне проводимости и максимумов в валентной зоне, количество таких максимумов и минимумов, а также эффективные массы (вообще говоря, анизотропные), описывающие эти минимумы и максимумы спектра .

Если минимум энергии в зоне проводимости совпадает в k-пространстве с максимумом энергии в валентной зоне, то запрещённую зону называют прямой, а если не совпадает, то непрямой, а полупроводник: прямозонным и непрямозонным, соответственно .

Схематически это различие изображено на рисунке 5. Оно оказывается принципиально, например, в процессах оптического возбуждения электронов и релаксации возбуждённых состояний. Так как волновой вектор фотона с энергией порядка электронвольт много меньше бриллюэновского, межзонные процессы с участием фотонов происходят практически без изменения волнового вектора электрона. Поэтому процесс перехода электрона из минимума зоны проводимости в максимум валентной зоны с излучением фотона (и обратный процесс с поглощением фотона минимальной энергии) оказывается существенно подавлен (запрещён) для непрямой запрещённой зоны. В результате время излучательной рекомбинации (процесса с отдачей избытка энергии в форме излучения светового кванта) электрона в прямозонном полупроводнике InSb составляет около 1 мксек, а аналогичные времена в непрямозонных полупроводниках Si или Ge составляют около 3 часов и 0.43 сек [2] .

Параметры различных полупроводников представлены в таблице 1 .

–  –  –

стр. 8 из 35 12.03.2018 Электроны и дырки в полупроводнике .

Количество электронов в зоне проводимости и вакансий в валентной зоне в случае полупроводника обычно невелико. Поэтому оказывается удобно рассматривать свойства полупроводника на языке квазичастиц, а не на языке «настоящих» электронов. Это позволит вместо рассмотрения большого числа «настоящих» электронов 4, заполняющих валентную зону со сложным спектром ( ), рассматривать малое число квазичастиц с квадратичной k дисперсией .

Процесс перехода электрона из валентной зоны в зону проводимости удобно для этого рассматривать как рождение пары «частица-античастица» на фоне «вакуума» полностью заполненной валентной зоны и полностью свободной зоны проводимости. При этом «частица» рождается в зоне проводимости и полностью соответствует «настоящему»

электрону, а античастица описывает поведение валентной зоны без одного электрона, как мы увидим чуть позже эта античастица не совсем совпадает с вакансией в валентной зоне, образовавшейся после ухода электрона .

Частицы традиционно называют электронами5, античастицы — дырками. Отметим, что эти обозначения похожи на введённые нами при обсуждении металлов электронные и дырочные T =0 ферми-поверхности, но есть некоторые отличия: в металлах при имеется определённая поверхность Ферми (поверхность в k-пространстве на которой скачком меняется электронная плотность), а в полупроводниках никакой поверхности Ферми нет, при практически важных температурах газ квазичастиц в полупроводнике в большинстве случаев T =0 оказывается невырожденным, при полупроводник становится диэлектриком .

Поэтому в металле для описания его свойств при не слишком высоких (и реально — при всех практически значимых) температурах нас интересовала лишь плотность состояний на поверхности Ферми, для вычисления которой можно было перейти к понятию дырки, как просто отсутствия электрона в недозаполненной зоне. В полупроводнике же образовавшаяся в валентной зоне вакансия существует среди других электронов .

Квазиимпульс электронов и дырок принято отсчитывать от минимума или максимума соответствующей зоны. При необходимости6 он легко пересчитывается в квазиимпульс в координатах первой зоны Бриллюэна по известному положению этих экстремумов. Начало отсчёта энергии произвольно, есть два стандартных выбора: отсчитывать энергию от потолка валентной зоны или от дна зоны проводимости. В рамках нашего изложения мы будем отсчитывать энергию от потолка валентной зоны. Обратите внимание, что от этого выбора будет зависеть запись некоторых результатов .

Тогда, считая эффективную массу изотропной, закон дисперсии электронов можно q, где me - эффективная масса электрона. Заряд e ( )= E g + q представить в виде 2 me электрона конечно же отрицательный .

Античастица (дырка) имеет положительный заряд по определению (это просто требование закона сохранения заряда), а вот её масса, волновой вектор и закон дисперсии заслуживают 4 Подчеркнём, что эти электроны движутся в кристалле, то есть уже имеют сложный спектр и закон дисперсии и не являются свободными электронами, то есть уже являются квазичастицами. Может быть не совсем удачный термин «настоящие» подчёркивает, что речь идёт о многочисленных электронных состояниях в кристалле, число которых равно числу электронов .

5 Мы надеемся, что в ходе изложения удастся избежать путаницы между электронами в смысле электронов, попавших в зону проводимости и «настоящими» электронами, заполняющими в том числе и валентную зону .

6 Точное положение этих экстремумов может быть важно для некоторых правил отбора, например в оптических процессах, однако для термодинамических и транспортных свойств, о которых мы будем в основном говорить, этот перенос начала отсчёта не принципиален .

–  –  –

Рисунок 6: Движение вакансии в заполненной валентной зоне в присутствии электрического поля. Буквы A, B, C.... нумеруют электронные состояния. В начальный момент (а) вакансия образована в состоянии F. При смещении всех электронов на одну позицию влево по рисунку (б) вакансия смещается в положение E левее, и так далее (в). Из книги [1] .

7 Напомним, что мы говорим о заполненной валентной зоне. Мы рассматриваем поведение вблизи потолка зоны, а вблизи края зоны Бриллюэна при смещении в импульсном пространстве будут происходить процессы переброса, переставляющие электроны с левого на правый (по рисунку 6) края зоны Бриллюэна и таким образом сохраняя зону заполненной (за исключением рассматриваемой вакансии) .

–  –  –

Зонная структура реального полупроводника .

Рисунок 7: Зонная структура кремния. Слева: первая зона Бриллюэна и сечение, в котором построены профили энергии. Справа: вычисленная энергия для различных зон, показана только нижняя зона проводимости. Ноль отсчёта энергии соответствует потолку валентной зоны. Из книги [8] .

Большинство решаемых нами задач будет рассматриваться в простой модели, когда имеются единственные минимумы и максимумы энергии электронов в зоне проводимости и в валентной зоне, и когда эффективные массы электронов и дырок изотропны. Этого достаточно для качественного понимания многих простых задач физики полупроводников, однако не всегда соответствует реальным системам. В качестве иллюстративного примера рассмотрим широко используемые в полупроводниковых технологиях материалы — кремний и германий, и широко используемый в приготовлении низкоразмерных полупроводниковых систем арсенид галлия (GaAs) .

Примеры вычисленных зонных структур для кремния и арсенида галлия [8] показаны на рисунках 7, 10. Сечения дисперсионных поверхностей для кремния, германия и арсенида галлия с указанием характерных энергий показаны на рисунках 8, 11, 12 [9] .

–  –  –

Отметим вкратце происхождение зонной структуры в кремнии, которая оказывается сложнее простых модельных случаев рассмотренных нами ранее. Кремний кристаллизуется в структуру алмаза с двумя атомами в примитивной ячейке. Электронная конфигурация атома кремния 3s23p2, но s-орбиталь в окружении подходящей симметрии гибридизуется с тремя pорбиталями (sp3-гибридизация). В изолированном атоме sp3 орбиталь четырёхкратно вырождена по энергии и способствует образованию четырёх эквивалентных химических связей в направлении на вершины тетраэдра. Для двух атомов в примитивной элементарной ячейке происходит расщепление вырожденных уровней на две группы по 4 уровня. При дальнейшем объединении в кристалл эти группы уровней sp3 орбиталей расщепляются в зоны, описываемые поверхностями ( ) в первой зоне Бриллюэна. При этом нижняя зона k из верхней группы не пересекается с зонами, образующимися из нижней группы. 9 В результате имеющиеся 8 электронов на примитивную ячейку полностью заполняют четыре нижних зоны и образуют валентную зону. Одна из этих зон оказывается сильно ниже остальных (интервал от -12 до -8 эВ на рисунке 7) и всегда остаётся полностью заполнена .

Для трёх остальных ветвей спектра в валентной зоне поверхности ( ) имеют максимум в k центре зоны Бриллюэна, причём у двух из них максимумы совпадают с потолком валентной зоны. Это означает, что в кремнии имеется два типа различных дырок с различными эффективными массами (так как кривизна поверхности в максимуме разная для разных зон), а при достаточно высокой температуре может сказываться и наличие третьего типа дырок .

Два основных типа дырок имеют существенно отличные эффективные массы: более пологая дисперсионная поверхность соответствует «тяжёлым» дыркам с эффективной массой

0.49 m0, а поверхность с более острым максимумом — «лёгким» дыркам с эффективной массой 0.16 m0 ( m0 — масса свободного электрона). Эффективная масса дырок в 9 Это является результатом точных расчётов для зонной структуры и в рамках нашего курса к такому свойству зон можно относится как к случайному (но очень важному для приложений) совпадению из-за удачного сочетания параметров взаимодействия электрона с решёткой и параметров перекрытия электронных волновых функций в кристалле кремния .

стр. 13 из 35 12.03.2018 отщеплённой зоне 0.24 m0 .

В зоне проводимости также есть несколько ветвей спектра, образующиеся при расщеплении в зоны второй группы sp3-орбиталей, минимум нижней ветви расположен вблизи от границы зоны Бриллюэна (в направлении [100] и эквивалентных), поэтому кремний является непрямозонным полупроводником. Энергия в минимуме равна 1.12 эВ. При этом в силу кубической симметрии кристалла имеется 6 эквивалентных минимумов. Эти минимумы оказываются сильно анизотропны, эллипсоиды постоянной энергии (рисунок 9) сильно вытянуты от центра зоны: продольная (соответствующая сечению дисперсионной поверхности от центра зоны Бриллюэна) эффективная масса равна 0.98 m0, а поперечная — 0.19 m0 [9]. В принципе, в зоне проводимости есть и другие локальные минимумы, попадание в которые может быть важно при достаточно высоких температурах 10 (на границе зоны имеется минимум одной из ветвей спектра на высоте 1.2 эВ, на 0.08 эВ выше основного) .

Рисунок 10: Зонная структура GaAs. Слева: первая зона Бриллюэна и рассматриваемое сечение первой зоны. Справа: вычисленная в выбранном сечении энергия, показана только нижняя из зон проводимости. Ноль отсчёта энергии соответствует потолку валентной зоны. Из книги [8] .

В GaAs также имеется четыре поверхности ( ) в валентной зоне (рисунок 10), три из k них имеют максимум при k =0, у двух этот максимум совпадает с потолком зоны .

Главный минимум зоны проводимости оказывается также в центре зоны Бриллюэна, поэтому 10 Вблизи квадратичного экстремума спектра ( ) всегда есть максимум плотности состояний, поэтому k при сложной форме спектра основной вклад в различные усреднённые физические величины будут давать состояния вблизи экстремумов .

–  –  –

Рисунок 11: Сечение дисперсионных поверхностей арсенида галлия в направлениях [100] и [111]. С сайта [9] .

Рисунок 12: Сечение дисперсионных поверхностей германия в направлениях [100] и [111]. С сайта [9] .

Германий (рисунок 12), как и кремний, является непрямозонным полупроводником. В нём также имеется два основных типа дырок с массами 0.33 m0 и 0.043 m0. Главные стр. 15 из 35 12.03.2018 минимумы зоны проводимости лежат на границе зоны Бриллюэна в направлениях типа [111] .

Таких направлений всего 8 (это направления на вершину куба), однако так как только половина из каждой области попадает в первую зону Бриллюэна (точка минимума лежит в центре шестиугольных граней первой зоны, показанной на рисунках 7, 10), то всего имеется 4 симметрийно эквивалентных минимума. Энергия минимума 0.66 эВ, имеются также близкий минимум в центре зоны Бриллюэна с энергией 0.8 эВ и минимум в направлении [100] с энергией 0.85 эВ (который шестикратно размножится операциями симметрии) .

Электронные состояния в главных минимумах зоны проводимости, как и в кремнии, характеризуются сильно анизотропной эффективной массой: продольная эффективная масса равна 1.59 m0, а поперечная 0.0815 m0 [9] .

Таким образом, в реальных полупроводниках электронный спектр бывает устроен сложно и для точного описания может оказываться необходимым учитывать наличие нескольких участков дисперсионной кривой, соответствующих электронам или дыркам (причём число электронных и дырочных участков дисперсионных поверхностей может быть разным), а также возможную анизотропию эффективной массы носителя. В задачах нашего курса, как правило, подразумевается упрощённая ситуация, когда имеется единственный максимум валентной зоны (один тип дырок) и единственный минимум зоны проводимости (один тип электронов), причём эффективные массы изотропны. Описание реальных систем на языке такой упрощённой модели приводит к перенормировке параметров (таких как эффективная масса), поэтому параметры полупроводников, приводимые в задачах, могут несколько отличаться от приведённых здесь .

Свойства чистого полупроводника .

–  –  –

11 Иногда в полупроводнике уровень химического потенциала называют уровнем Ферми (например [1]) .

Строго говоря, термин химический потенциал является более корректным, так как поверхности Ферми в полупроводнике нет .

–  –  –

( ) 3/ 2 m T[К ] Q=2.511019 1/ см3, где m0 — масса свободного электрона .

m0 300 К Отметим для последующего изложения, что мы пока никак не использовали равенство концентраций электронов и дырок в чистом полупроводнике, поэтому эти вычисления концентрации подвижных электронов и дырок можно будет применять и для примесных полупроводников – от наличия примесного уровня должен будет как-то меняться химпотенциал полупроводника. Также отметим, что при наличии нескольких электронных или дырочных карманов в зонной структуре полупроводника нужно просуммировать такие вклады от каждого кармана. Причём видно, что при наличии электронов или дырок разной массы, при одинаковой энергии активации наиболее многочисленными окажутся более тяжёлые носители (экспоненциальные множители одинаковые, а Q m3/ 2 ) .

n e =n h Вернёмся теперь к нашей простой модели. В силу электронейтральности (электроны и дырки рождаются парами), поэтому для равновесной концентрации n 0=n e=nh имеем, перемножив полученные равенства и возвращая в запись постоянную

–  –  –

может казаться несколько контринтуитивным: в термоактивационном законе оказывается не щель между валентной зоной и зоной проводимости, а её половина. Это, однако совершенно логично: в показателе больцмановской экспоненты стоит не разница между дном и потолком соседних зон, а разница между энергией частицы и уровнем химпотенциала .

Если бы имелось несколько эквивалентных дырочных или электронных экстремумов в

–  –  –

, mh E m = g – k B T ln e 24 mh в последнем уравнении мы вернули в запись постоянную Больцмана для совместимости с литературой .

Таким образом, в чистом полупроводнике при T =0 уровень химического потенциала находится посередине запрещённой зоны, а при ненулевых температурах он смещается к той зоне, в которой масса носителей заряда меньше.12 В чистом полупроводнике химпотенциал E g /2 на величину порядка k B T. С типичной шириной может отличаться от запрещённой зоны полупроводника в доли электронвольта это приводит к изменению в пределах 10%. Это оправдывает сделанное выше предположение о возможности пренебречь единицей в фермиевском распределении. Однако это не является общим правилом — в узкозонном полупроводнике с сильно отличающимися массами электронов и дырок при конечной температуре уровень химпотенциала может даже попасть в валентную зону или зону проводимости .

Примесные слаболегированые полупроводники .

Донорные и акцепторные примеси в полупроводнике .

Практически важным вопросом является изменение свойств полупроводника при введении в него небольшого (критерий малости рассмотрим далее) количества примесных атомов, имеющих большее (донорные примеси) или меньшее (акцепторные примеси) количество валентных электронов. Для определённости будем говорить про кремний, в котором каждый атом связан со своими соседями четырьмя ковалентными связями (структура алмаза) .

Характерными концентрациями примесей, при которых применимы наши рассуждения 1014... 1017 1 /см3. Снизу этот диапазон ограничен являются концентрации порядка

–  –  –

стр. 18 из 35 12.03.2018 технологией (концентрация примесей 1014 1 /см3 соответствует чистоте материала на уровне 1010 ), а при концентрациях, больших чем примерно 1019 1/ см3, образуются так называемые примесные зоны. Если такая примесная зона сольётся с валентной зоной или зоной проводимости, то, строго говоря, полупроводник становится полуметаллом [3]. В нашем изложении мы будем предполагать, что образования примесной зоны не произошло .

Рисунок 13: Типичное положение примесного уровня (сплошная прямая, d,a ) и уровня химпотенциала при T =0 (пунктирная линия, ) в слаболегированном полупроводнике для донорной (а) и акцепторной (б) примеси. Из книги [2] .

Если один из атомов кремния заместить пятивалентным мышьяком, то четыре валентных электрона образуют ковалентные связи с соседними атомами кремния, а один избыточный электрон останется при T =0 на атоме примеси. Если энергия ионизации этого электрона окажется достаточно низкой, то этот избыточный электрон может перейти в зону проводимости (валентная зона занята полностью), оставив за собой полностью ионизованный атом примеси с избыточным положительным зарядом .

Если один из атомов кремния заменить трёхвалентным индием, то, наоборот, электронов примесного атома не хватает на устройство полного набора ковалентных связей в структуре алмаза. У одного из соседних атомов кремния на химической связи в направлении атома индия окажется неспаренный электрон, то есть на этой связи появится вакансия для электрона. На это вакантное место может попасть один из электронов из основной матрицы .

При этом в матрице оказывается нехватка одного электрона — образуется вакансия, которая может перемещаться по кристаллу. Это можно описать как ионизацию связанного состояния «атом индия — дырка». Соответственно, после отрыва дырки от примесного атома остаётся отрицательно заряженный ион примеси .

Если концентрация примесных атомов мала, то все атомы примеси на энергетической диаграмме можно приближенно охарактеризовать положением одного единственного уровня энергии ионизации примеси (примесного уровня) относительно валентной зоны и зоны проводимости.13 Это положение есть функция материала .

13 Необходимо подчеркнуть, что это упрощённое описание. Как мы увидим далее, электрон или дырка вблизи примесного иона могут иметь целую структуру водородоподобных уровней. Представление об единственном уровне позволяет однако существенно упростить вычисления и получить качественное описание многих явлений .

стр. 19 из 35 12.03.2018 Для теоретического определения положения примесного уровня необходимо решать уравнение Шредингера с учётом взаимодействия электронов примесного атома и с «родительским» атомом и с атомами матрицы полупроводника. Строгое решение этой задачи выходит за рамки курса, один из частных случаев для мелких примесных уровней будет рассмотрен далее. Ответ будет зависеть от деталей связи электронов с родительским атомом и от свойств полупроводника. Рассмотрим феноменологически последствия возможного попадания примесного уровня в различные области зонной структуры полупроводника .

Если примесной донорный уровень окажется выше дна зоны проводимости, то избыточным электронам с примеси будет энергетически выгодно перейти в зону проводимости основной матрицы, все примесные ионы ионизуются уже при T =0, и мы получим металлическое поведение нашей системы с маленькой (в меру концентрации примесей) концентрацией свободных носителей электронного типа. Аналогично, если примесной акцепторный уровень окажется ниже потолка валентной зоны (если образование связи «примесь-атом матрицы»

окажется выгоднее образования связи в матрице), то части электронов матрицы оказывается выгодно уже при T =0 перейти на примесь, часть состояний в валентной зоне оказывается вакантна и, опять, получим металл с маленькой концентрацией носителей заряда дырочного типа. В обоих этих случаях при нулевой температуре химпотенциал совпадёт с энергией Ферми образовавшихся свободных носителей заряда .

Если примесной донорный уровень окажется ниже потолка валентной зоны или примесной акцепторный уровень окажется выше дна зоны проводимости, то ничего существенного по сравнению с чистым полупроводником не произойдёт: для термодинамических свойств такой системы по-прежнему главным (наиболее вероятным) будет переход электронов между потолком валентной зоны и дном зоны проводимости, так как разница энергий между этими состояниями будет минимальна .

Наиболее интересным (в том числе и с точки зрения приложений) является случай, когда примесной уровень попадает в запрещённую зону. При этом стараются подобрать примеси так, чтобы донорный уровень оказался близко к дну зоны проводимости 14, а акцепторный — к потолку валентной зоны (рисунок 13). Такие неглубокие примесные уровни не являются единственно возможными, но, как мы увидим далее (стр. 30), у них есть наглядная физическая интерпретация в виде водородоподобного состояния электрона или дырки в окрестности ионизованной примеси .

Мы можем, опираясь на предыдущие результаты, сразу указать положение химпотенциала в легированном полупроводнике с единственным неглубоким примесным уровнем при T =0 и в высокотемпературном пределе: при T =0 уровень химпотенциала будет ровно посередине между примесным уровнем и дном зоны проводимости для донорной примеси и ровно посередине между примесным уровнем и потолком валентной зоны для акцепторной примеси, а при высоких температурах уровень химпотенциала сместится к середине запрещённой зоны к положению, характерному для чистого полупроводника. 15 Характерной температурой перехода от одного режима к другому является температура, при которой количество собственных носителей сравняется с количеством носителей, внесённых 14 В кремнии расстояние от примесного уровня донорной примеси (P, As, Sb) до дна зоны проводимости равно 0.04...0.05 эВ при ширине запрещённой зоны 1.12 эВ, в германии для тех же донорных примесей около 0.01 эВ при ширине запрещённой зоны 0.66 эВ.[1] 15 Это рассуждение не совсем общее — оно неявно предполагает, что имеется по одному экстремуму в валентной зоне и зоне проводимости и эффективные массы электронов и дырок равны. При таких условиях, действительно, высокотемпературный химпотенциал окажется посередине запрещённой зоны. В случае сильно отличающихся эффективных масс (см. например задачу 4.40 из задачника [10]) при высоких температурах химпотенциал может сильно сместиться и даже попасть в одну из зон. Аналогично, переход от низкотемпературного к высокотемпературному пределу определяется свойствами конкретного полупроводника и может оказаться нетривиальным .

стр. 20 из 35 12.03.2018 легированными примесями. Из этого рассуждения в частности следует, что для номинально чистого полупроводника (в котором в реальности всегда есть некоторое количество структурных или примесных дефектов) при T =0 химпотенциал окажется не посередине запрещённой зоны, а направление смещения химпотенциала в номинально чистом полупроводнике будет при низких температурах определяться не массами носителей, а типом случайно имеющихся дефектов. По этой, чисто технологической причине, кристаллы номинально чистого полупроводника оказываются слегка легированы центрами n или p-типа, для отработанных технологий тип этого «невольного» легирования известен .

Отметим также, что в одном и том же полупроводнике могут одновременно присутствовать и несколько видов примеси: доноры и акцепторы, доноры разной валентности или с разной глубиной уровней. Мы будем для простоты рассматривать случай наличия единственного типа примесей. Более сложные случаи рассматриваются аналогично: заселённости всех примесных уровней и зон определяются единственной характеристикой — химпотенциалом, в сочетании с условием электронейтральности это позволяет построить полную систему уравнений .

Концентрация носителей в легированных полупроводниках .

Закон действующих масс (правило рычага) .

Как легко заметить, ионизация донорных примесей приводит к появлению в полупроводнике избытка делокализованных электронов над дырками (такие полупроводники называют полупроводниками n-типа), а захват электронов акцепторами к появлению избытка дырок над электронами16 (такие полупроводники называют полупроводниками p-типа) .

Доминирующие носители называют основными носителями заряда, а второй тип носителей — неосновными .

Условие электронейтральности для легированного полупроводника превращается в (ion) (ion) N (ion) n e + N a =nh + N d, где — концентрация ионизованных акцепторных и a,d донорных примесей. Ионизованные примеси не участвуют в переносе заряда, поэтому для практики важно определение концентрации электронов и дырок в зоне проводимости и в валентной зоне .

При получении концентрации собственных носителей заряда ранее мы получили выражение, в которое не входит химпотенциал.

Следовательно, это выражение можно применять и для легированного полупроводника, просто теперь нельзя записать n 0=n e =n h и необходимо прямо выписывать произведение концентраций:

() kBT 3/ 2 n e n h=4 ( me mh ) eE /(k B T ) (напомним, что мы вычислили это в модели с g единственными экстремумами в валентной зоне и зоне проводимости). Это выражение и есть закон действующих масс, иногда называемый правилом рычага .

Отметим, что произведение концентраций электронов и дырок в легированном полупроводнике в точности равно этому произведению в собственном полупроводнике. Это означает, что, например, введение донорной примеси не только увеличивает количество электронов в зоне проводимости, но и во столько же раз уменьшает количество дырок .

Утверждение может показаться контринтуитивным, но на самом деле оно совершенно логично — при появлении вакансий в валентной зоне (т.е. при появлении дырок) электронам с донорного уровня энергетически выгодно перейти в валентную зону, заполнив вакантное 16 Захваченный акцепторной примесью электрон локализован, а оставшаяся в валентной зоне вакансия — делокализована .

–  –  –

Обратите внимание, что учёт температурной зависимости химпотенциала привёл к существенной перенормировке предэкспоненциального множителя. При 300К и для массы электрона равной массе свободного электрона Qe =2.51019 1/см 3N d1015...1016 1/см 3, то есть предэкспонента оказывается в десятки раз меньше, чем для чистого полупроводника .

Это однако с лихвой компенсируется показателем экспоненты, в котором теперь вместо «большой» энергетической щели стоит «маленькое» расстояние от примесного уровня до ближайшей зоны .

Для концентрации неосновных носителей заряда (дырок в этом примере), пользуясь тем, что E / T n e n h=Q e Q h e, получаем g

–  –  –

2 2 Na акцепторов и энергия акцепторного уровня .

Рассмотрим теперь высокотемпературный предел, когда доминируют «собственные»

электроны полупроводника, перешедшие из валентной зоны в результате термоактивации .

Будем считать, что химпотенциал при этом окажется близок к середине запрещённой зоны (но температура всё ещё много меньше ширины запрещённой зоны), что предполагает отсутствие сильного различия статфакторов валентной зоны и зоны проводимости. Тогда в уравнении электронейтральности для донорного уровня экспонента в знаменателе оказывается маленькой и все примеси будут полностью ионизованы. Для концентрации носителей тогда n e =n h+ N d и поправка к концентрации носителей может быть легко найдена при помощи правила рычага. С линейной точностью 17 концентрация электронов возрастёт на N d /2, а число дырок — уменьшится на N d /2 по сравнению с чистым полупроводником .

Для химпотенциала вычисляем по уравнению электронейтральности:

–  –  –

d E g, эти условия не противоречивы, но есть некоторая область температур, не подпадающая ни под один предел. Более подробный разбор вопроса о концентрации носителей в легированном полупроводнике, включающий этот случай «средних» температур проведён в задаче 4.10 задачника [10]. Для оценки, зависимости характерных для этих условий концентраций дефектов от температуры (для простоты положено me =m h=m0, Q=Q e =Qh, взяты параметры ширины запрещённой зоны для кремния) построены на рисунке 14. Видно, что практически для любой разумной концентрации примесей при комнатной температуре мы окажемся в пределе низких температур, когда свойства носителей заряда определяются легированием — это позволяет применять кремниевую полупроводниковую электронику при комнатных температурах. В то же время, видно, что при не слишком высокой температуре можно выйти из этого предела — это, в частности, объясняет, почему характеристики полупроводниковых приборов так чувствительны к температуре .

Рисунок 14: Оценка границ применимости низкотемпературного (красная кривая) и высокотемпературного (синяя кривая) приближений для легированного полупроводника .

Вычисления сделаны для параметров ширины запрещённой зоны кремния. Заштрихована область «средних» температур, в которой ни один из пределов не применим .

стр. 24 из 35 12.03.2018 Энергетические диаграммы для полупроводника .

Для многих практических задач и задач оценки оказываются не важны точные детали расположения зон в k-пространстве: прямозонный или не прямозонный полупроводник, количество электронных иди дырочных «карманов» и т.д., а важна только энергетическая щель, положение в ней уровня химпотенциала и примесных уровней. Эту информацию удобно изображать в виде упрощённой энергетической диаграммы (рисунок 15) .

В этом представлении показывается положение потолка валентной зоны и дна зоны проводимости (ширины этих зон в большинстве случаев показываются условно). Расстояние между этими зонами есть ширина запрещённой зоны, при необходимости указывается положение примесных уровней и химпотенциала. В некоторых задачах важно также положение минимального уровня уровня энергии электрона в вакууме относительно указанных зонных параметров. Расстояние от дна зоны проводимости до минимального уровня энергии электрона в вакууме называют сродством к электрону. Сродство к электрону есть работа, которую нужно затратить, чтобы вывести электрон со дна зоны проводимости в вакуум, то есть работа выхода. Отличие между минимальным уровнем энергии электрона в вакууме и уровнем химпотенциала в полупроводнике называют термодинамической работой выхода, которую необходимо отличать от сродства к электрону .

Рисунок 15: Упрощённое изображение зонной схемы полупроводника: (а) чистый полупроводник, (б) полупроводник с примесью донорного типа, (в) полупроводник с примесью — уровень химпотенциала, акцепторного типа. E g — ширина запрещённой зоны, E d, a — уровни донорной и акцепторной примеси. Положение химпотенциала показано для случая T =0. Положение минимального уровня энергии электрона в вакууме не показано .

стр. 25 из 35 12.03.2018 Электропроводность полупроводников .

Влияние концентрации носителей на электропроводность .

Электропроводность полупроводника имеет некоторую схожесть с электропроводностью металлов — движение электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне описывается уравнениями типа второго закона Ньютона (для квазиимпульса), поэтому с учётом процессов рассеяния мы получим в общем схожую картину об установлении дрейфовой скорости движения носителей заряда. Так как свободные носители заряда в полупроводнике сосредоточены вблизи экстремумов зон, они все описываются одной эффективной массой и поэтому здесь могут быть прямо применены рассуждения простой классической модели Друде-Лоренца .

Некоторая сложность связана с тем, что в полупроводнике имеются одновременно различные носители заряда (электроны и дырки) и, иногда, носители с несколькими массами. В принципе, это может приводить к возникновению дополнительных механизмов релаксации, связанных с взаимодействием этих заряженных квазичастиц (рекомбинации электрона и дырки, превращения лёгкой дырки в тяжёлую и наоборот). Мы будем пренебрегать такими процессами, что допустимо, если концентрация носителей мала .

Тогда фактически имеются несколько независимых систем носителей и для проводимости мы n e2 i можем обобщить формулу Друде-Лоренца: = i, где суммирование идёт по mi i разным видам носителей. Обратим внимание, что так как заряд носителя в проводимость входит в квадрате, то вклады электронов и дырок в проводимость суммируются .

Видно, что основной вклад в температурную зависимость проводимости даст концентрация носителей, экспоненциально нарастающая с ростом температуры. Для чистого e E /(2T), для легированного полупроводника основной зависимостью будет g полупроводника при низких температурах e E /(2T), где E — расстояние от примесного уровня до ближайшей зоны ( E=E g d для донорной примеси и E=a для акцепторной). Важно иметь в виду, что номинально чистый полупроводник является некоторой абстракцией — даже в отсутствие целенаправленного легирования в реальном кристалле будут иметься дефекты и случайные примеси .

Пример зависимости сопротивления полупроводникового термометра сопротивления на основе германия от температуры показан на рисунке 16. В зависимости R(T ) есть два участка, на которых R(T )e /T, но энергия активации на этих участках отличается на порядок. Причём обе этих области связаны с какими-то примесными уровнями: ширина запрещённой зоны для германия E g=0.66 эВ7600 К .

стр. 26 из 35 12.03.2018 Рисунок 16 Зависимость сопротивления полупроводникового термометра сопротивления от температуры от комнатной температуры до 4.2К. Данные автора .

Подвижность зарядов в полупроводнике† Из-за существенно изменяющейся концентрации носителей, в полупроводнике, в отличие от металла, проводимость является не самой удобной характеристикой для описания динамики движения заряда. Для этого обычно пользуются подвижностью, которую определяют (для изотропного случая) как отношение модуля средней дрейфовой скорости носителя заряда к v =. По историческим причинам это E напряжённости электрического поля: др обозначение несколько отличается от понятия подвижности в других разделах физики, где оно определяется как отношение дрейфовой скорости к силе. Иногда [3] при определении подвижности рассматривают не модули, а проекции скорости и напряжённости, тогда для электронов подвижность будет отрицательна, для дырок — положительна .

Подвижность может быть связана с временем пробега (сравните с формулой Друде-Лоренца) e =. Для малых концентраций носителей подвижность определяется рассеянием на m фононах и рассеянием на примесях. Рассеяние носителей друг на друге является маловероятным в силу из малой концентрации. Подвижность является функцией температуры, характерные величины подвижности электронов и дырок в кремнии при комнатной температуре для разных уровней легирования (из [11]) показаны на рисунке 17 .

–  –  –

Экспериментальные данные по подвижности в некоторых кристаллах полупроводников при комнатной температуре показаны в таблице 2. Для сравнения, подвижность электронов в меди при комнатной температуре 35 см 2 /( Всек), для высококачественных образцов хороших металлов отношение RRR может достигать нескольких тысяч, что позволяет достичь в металлах подвижности 10 4 см 2 /(Всек). В кристаллах PbTe при T =4 К подвижность достигает величины 5106 см 2 /(Всек) [1]. Мы не будем в нашем курсе подробно обсуждать вопросы температурной зависимости подвижности в полупроводнике, некоторые сведения по этому вопросу могут быть найдены в [2] .

–  –  –

стр. 29 из 35 12.03.2018 концентрациях растёт (в отсутствие носителей экранировка пропадает) .

Поэтому (в особенности при низких температурах) можно считать дебаевский радиус большим, по сравнению с межатомным расстоянием. 21 Это означает, что в ближайшей окрестности примесного иона экранирование можно не учитывать. Эти выводы останутся в силе и при рассмотрении газа из квазичастиц нескольких типов: дебаевский радиус при

–  –  –

Водородоподобные состояния вблизи примеси .

Рассмотрим поведение носителя заряда в полупроводнике вблизи от противоположно заряженной примеси. При низких температурах можно считать дебаевский радиус экранирования сколь угодно большим. Тогда взаимодействие носителя заряда с примесью можно описать, как взаимодействие с кулоновским центром .

Принципиальным для дальнейшего решения оказывается вопрос о соотношении между дебройлевской длиной волны рассматриваемого электрона и межатомным расстоянием в кристалле. Для строгого ответа необходимо решать уравнение Шредингера с учётом свойств примесного атома и взаимодействия электрона с кристаллом. Мы воспользуемся тем, что из опыта известно, что у некоторых примесей энергии связи электрона оказываются маленькими и, соответственно, размер локализации электрона оказывается большим .

В этом случае можно считать, что электрон движется в сплошной среде, и нужно учесть диэлектрическую проницаемость среды, заменив заряд центра Ze на Ze. В этом же пределе динамика движения электрона в кристалле на большом удалении от примеси должна описываться эффективной массой .

Отсюда, используя результат для атома водорода, сразу получаем для уровней энергии:

Z 2 m 1 E n= 2 Ry 2, где уровни отсчитываются от энергии делокализованного носителя (то m0 n есть от края зоны проводимости для электронов и от потолка валентной зоны для дырок) вглубь запрещённой зоны. Видно, что для типичного для полупроводника значения 10 и m 0.1 m0, масштаб энергий оказывается 0.01 эВ100K. Это как раз масштаб энергий для тепловой ионизации при комнатной температуре. То есть такие примеси с «почти свободным» носителем заряда (который уже не привязан жёстко к примесному атому, но ещё не может далеко уйти) позволяют создавать обычные полупроводниковые приборы, работающие при комнатной температуре .

Характерное расстояние до дефекта (радиус боровской орбиты) аналогично пересчитывается m0 из известного результата: r 0= a0, и для тех же параметров получим r 050 .

Zm Отметим, что если расстояние между примесными центрами окажется меньше r 0, то эти связанные с примесями носители заряда делокализуются, аналогично делокализации частиц в задаче о сильной связи. В том случае образуется примесная зона и полупроводник приобретает металлические свойства .

=10 и T =300K обратная длина экранирования 21 Вычисленная для концентрации 10 1/см, 105 1/см .

стр. 30 из 35 12.03.2018 Экситоны Ваннье-Мотта .

Связанное состояние могут образовывать и разноимённые квазичастицы. Это связанное состояние аналогично, например, связанному состоянию электрона и позитрона — позитронию, о котором упоминалось в курсе атомной физики. Эти состояния не привязаны к дефектам, поэтому могут распространяться по кристаллу. Их появление можно описать как появление в полупроводнике новых нейтральных квазичастиц — экситонов .

Если характерное расстояние между электроном и дыркой в экситоне много больше межатомного, то такой экситон называют экситоном Ванье-Мотта. Если расстояние между электроном и дыркой в экситоне оказывается порядка межатомного, то такую систему называют экситоном Френкеля. Мы ограничимся только рассмотрением экситонов ВаньеМотта. Для экситона Ванье-Мотта при рассмотрении энергии взаимодействия электрона и дырки можно использовать приближение сплошной среды и зонные эффективные массы .

Энергия связи экситона тогда легко определяется перенормировкой формул для атома me m h водорода: E n= 2 Ry 2, где Ry=13.6 эВ .

m 0 (me + mh) n

Отсчитанная от потолка валентной зоны энергия экситона:

me mh 2 k 2, где k — волновой вектор экситона. Важно E=E g 2 Ry 2 + m 0 ( m e + m h) n 2(me +mh ) отметить, что для образования экситона требуется несколько меньшая энергия, чем для образования свободной электронно-дырочной пары. Поэтому образование экситонов можно наблюдать в оптическом эксперименте как появление узких линий оптического поглощения при энергии фотона чуть меньшей (на величину энергии связи), чем ширина запрещённой зоны. Соответствующие частоты поглощения определяются очевидным условием me mh =E g 2 Ry 2 : так как для оптических фотонов длина волны много m0 (me +m h ) n больше межатомного расстояния, их волновой вектор мал по сравнению с бриллюэновским и можно считать, что при поглощении фотона k =0 и возбуждаются только покоящиеся экситоны .

Рисунок 18: Спектр пропускания полупроводника Cu2O на границе жёлтого края поглощения. Температура 1.3 К. По книге [4] .

Экситоны были впервые наблюдены в 50-х годах 20 века в полупроводниковой закиси меди Cu2O советским физиком Е.Ф.Гроссом и его сотрудниками (см., например, учебник [4]) .

Пример фотографии спектра пропускания из оригинальной работы показан на рисунке 18 .

Пока энергия светового кванта меньше ширины запрещённой зоны поглощения с передачей энергии электрону быть не может. Однако вблизи границы поглощения (когда энергия кванта сравнивается с шириной запрещённой зоны) наблюдался ряд полос поглощения, связанных с возбуждением экситонных состояний.22 22 Строго говоря, в случае Cu2O из-за особенностей зонной структуры (обсуждаемых, например, в приложениях к статье [12]) возбуждаются экситоны в состоянии с орбитальным моментом l=1 (Pэкситоны). Это связано с дополнительными правилами отбора по чётности, возникающими при анализе стр. 31 из 35 12.03.2018 Рисунок 19: Структура и зонная схема закиси меди. Из статьи [12] .

Этот эксперимент был недавно повторён с использованием современного оборудования [12] .

С использованием перестраиваемого лазера в качестве источника света удалось наблюдать переходы в экситонные состояния с n25 (рисунок 20). Радиус экситона в состоянии с n=25 составляет около 1 мкм .

Рисунок 20: (a) Поглощение (оптическая плотность) в Cu 2O как функция энергии фотона .

Температура 1.2К. (b) Природный кристалл Cu2O, из которого вырезались образцы для исследования. (c) смонтированные на приборные столики пластинки Cu2O. Толщина образцов около 30 мкм. (d) Расчёт волновой функции экситона с n=25, для масштаба показана синусоида с длиной волны равной длине волны используемого для возбуждения света. Из статьи [12] .

Зависимость энергии экситонного состояния (отсчитанной от дна зоны проводимости) от квантового числа n следует предсказанию простой водородоподобной модели 2 n (рисунок 21) .

поглощения света. Подробное рассмотрение выходит за рамки нашего курса. По этой причине оптический переход в состояние с n=1 не наблюдается (для n=1 есть только s-состояния) .

–  –  –

23 Физическим механизмом взаимодействия остаётся, как и в металле, взаимодействие электрона с поляризацией решётки при распространении упругой волны. Однако, в отличие от находящегося в тепловом равновесии электронного газа в металле, рождение экситона при низких температурах есть процесс неравновесный (в электронную систему «закачивается» избыток энергии), поэтому процессы с рождением фонона возможны и при низких температурах. Процессы с поглощением фонона требуют наличия в кристалле «подходящих» фононов, поэтому они происходят только при достаточно высоких температурах .

24 Напомним также, что именно в оптических фононных модах возникает наиболее сильная поляризация кристалла на малых волновых векторах, так как в этих модах разные ионы колеблются в противофазе .

стр. 33 из 35 12.03.2018 Рисунок 22: Схема процесса рождения экситона с рождением фонона .

Рисунок 23: Коэффициент поглощения света в полупроводнике Cu2O вблизи первой (n=1) экситонной линии поглощения. Слева: при температуре 77К. Справа: при температуре

4.2К. На основе рисунка из работы [13] .

Рассмотрим пример экспериментального наблюдения таких процессов в полупроводнике Cu2O [13]. Ширина запрещённой зоны Cu2O (см. схему зон на рисунке 19) составляет 2.17 эВ, первый экситонный уровень находится на 150 мэВ ниже дна зоны проводимости, его энергия, отсчитанная от потолка валентной зоны приблизительно равна 2.02 эВ. Энергия оптической фононной моды равна 13.6 мэВ. Отметим также, что в силу особенностей формирования зонной структуры в Cu2O рождение экситонов с n=1 в безфононном процессе запрещено правилами отбора (см. сноску на стр.31). В процессах с рождением и уничтожением фононов это правило отбора не действует — недостающий или избыточный момент импульса может быть передан всему кристаллу .

Пример экспериментальных данных по поглощению света в кристалле Cu2O показан на рисунке 23. При энергии кванта света 2.033 эВ наблюдается слабый резонансный пик, связанный с безфононным процессом рождения экситона в состоянии с n=1. Этот процесс вероятно оказывается слабо разрешён какими-то дефектами кристалла. Вблизи этой энергии фотона (но всегда энергия фотона остаётся меньше ширины запрещённой зоны и меньше энергии второго экситонного уровня) наблюдаются непрерывные полосы поглощения в виде двух ступеней при T =77К и одной ступени при T =4.2К. При этом стр. 34 из 35 12.03.2018 одна полоса начинается в точности на энергию оптического фонона до энергии безфононного процесса, а вторая — в точности на энергию оптического фонона после безфононного процесса. В соответствии с описанным выше, поглощение света при 77К в интервале энергий от 2.01 мэВ до 2.037 мэВ связано с процессами с поглощением фонона, и это поглощение предсказуемо пропадает при охлаждении до 4.2К, температуры много меньше энергии оптических фононов. Поглощение света при энергии кванта выше 2.037 мэВ связано в основном с процессами с излучением фонона, этот процесс остаётся возможным и при низкой температуре .

Рекомбинация носителей† Как мы уже упомянули, в полупроводниках возможно поглощение фотонов с образованием свободных электронно-дырочных пар. Пороговая частота для такого процесса поглощения определяется шириной запрещённой зоны. При этом, в принципе, мы можем создать неравновесное распределение электронов и дырок (создать избыточное количество электронов и дырок, по сравнению с тепловым равновесием, и создать электронный и дырочный газы с неравновесным распределением по энергии). Простейшим способом будет облучение светом с частотой заметно выше пороговой — тогда будут появляться электроны и дырки в состояниях, которые в равновесии при этой температуре свободны от квазичастиц .

Во многих случаях можно считать, что процесс восстановления равновесного числа носителей медленнее, чем процесс восстановления равновесного распределения носителей по энергии. При комнатных температурах время установления равновесия в газе квазичастиц порядка 1013 сек, а времена восстановления равновесного числа частиц меняются от 107 сек в прямозонных полупроводниках до секунд и даже часов в непрямозонных [2] .

Таким образом, можно считать, что через небольшое время мы, независимо от способа воздействия, получим газы электронов и дырок с тепловыми энергиями (соответствующие квазичастицы соберутся вблизи минимумов своих энергетических спектров), но концентрация этих квазичастиц будет избыточна по сравнению с «настоящим равновесием» и пойдёт более медленный релаксационный процесс восстановления равновесной концентрации квазичастиц .

Процесс восстановления равновесного числа частиц заключается в уничтожении «лишних»

электронно-дырочных пар. Этот процесс называют рекомбинацией, он похож на процесс аннигиляции частицы и античастицы в ядерной физике (но в отличие от электронпозитронной анигиляции в кристалле возможна рекомбинация электрона и дырки с испусканием единственного фотона, недостающий импульс можно передать кристаллу). При рекомбинации должны выполняться законы сохранения энергии и квазиимпульса .

Рекомбинация может быть излучательной, когда вся энергия передаётся кванту света, и безызлучательной, когда энергия, например, передаётся другому носителю заряда (рекомбинация Оже). Закон сохранения квазиимпульса тривиально выполняется для прямозонных полупроводников (напомним, что для оптических фотонов с энергией 1 эВ волновой вектор много меньше бриллюэновского, поэтому оптические переходы происходят почти без изменения волнового вектора состояния). Для непрямозонных полупроводников недостающий импульс передаётся фонону, этот процесс требует участия дефекта решётки (так называемый процесс Холла-Шокли-Рида) .

Отметим также, что высвечивание фотонов при рекомбинации происходит с частотой =c E g /, а генерация неравновесных носителей заряда производится путём c. Таким образом, мы имеем дело с облучения светом другой частоты фотолюминисценцией: несовпадением частот облучающего и переизлучаемого света.



Похожие работы:

«www.4vision.ru • info@4vision.ru • +7 (495) 150-09-34 г. Москва, Каширский проезд, д. 17, строение 5 OSMO MOBILE 2 Руководство пользователя v1.0 2018,02 www.4vision.ru • info@4vision.ru • +7 (495) 150-09-34 г. Москва, Каширский проезд, д. 17, строение 5 Поиск п...»

«ООО "АВАНГАРДСПЕЦМОНТАЖПЛЮС" ООО "АВАНГАРДСПЕЦМОНТАЖПЛЮС" Республика Беларусь Республика Беларусь ОПОВЕЩАТЕЛИ ПОЖАРНЫЕ СЕРИИ "АСТО" ОПОВЕЩАТЕЛИ ПОЖАРНЫЕ СЕРИИ "АСТО" ОП бс2-Пп1-IIIV1В/3 У "АСТО12-ВЗ" ОП бс2-Пп1-IIIV1В/3 У "АСТО12-ВЗ" ОП бс2-Пп1-IIIV1В/3 У "АСТО12/1-ВЗ" ОП бс2-Пп1-IIIV1В/3 У "АСТО12/1-ВЗ" ОП вк...»

«1. Общие положения 1.1. Настоящее положение определяет назначение, цели, задачи, функции, права, ответственность и основы деятельности административнохозяйственной части (далее АХЧ).1.2. АХЧ осуществляет административно-хозяйственное обеспечение деятельности института.1.3. АХЧ является самостоятельн...»

«т МИНИСТЕРСТВО СТРОИТЕЛЬСТВА И ЖИЛИЩНО-КОММУНАЛЬНОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (МИНСТРОЙ РОССИИ) ПРИКАЗ Москва Об утверждении свода правил "Трубопроводы промысловые для нефти и газа. Правила проектирования и производства работ" В соответствии с Правила...»

«МИНИСТЕРСТВО МОРСКОГО ФЛОТА СССР ДИЗЕЛИ СУДОВЫЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ КРЫШЕК ЦИЛИНДРОВ С ПРИМЕНЕНИЕМ СВАРКИ ТИПОВЫЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ РД 31.52.23-89 вязаный жакет Москва 1990 СССР Руководителям предприятий МИНИСТЕРСТВО и организаций М...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" _...»

«ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ Тяговые электродвигатели ТЭД предназначены для преобразования электрической энергии в механическую в режиме тяги и, наоборот в режиме электрического торможения. На ВЛ80С устанавливаются компенсированные тяговые двигатели пульсирующего тока НБ-41...»







 
2019 www.librus.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - собрание публикаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.