WWW.LIBRUS.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - собрание публикаций
 

«ресурсозбереження ВІСНИК КНУТД №6 (116), 2017 Mechatronic Systems. Energy Efficiency & Resource Saving БАЛДУК П. Г., ДЕНИСЕНКО В. Ю., СУРЬЯНИНОВ Н. Г. УДК 69.04 (075.8) Одесская ...»

Мехатронні системи. Енергоефективність та

ISSN

ресурсозбереження

ВІСНИК КНУТД №6 (116), 2017

Mechatronic Systems. Energy Efficiency & Resource Saving

БАЛДУК П. Г., ДЕНИСЕНКО В. Ю., СУРЬЯНИНОВ Н. Г .

УДК 69.04 (075.8)

Одесская государственная академия строительства и архитектуры

К РАСЧЕТУ УСТОЙЧИВОСТИ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ

ЭЛЕМЕНТОВ Цель. Решение задачи об устойчивости прямоугольной ортотропной пластины при любых вариантах граничных условий .

Методика. Преобразование дифференциального уравнения устойчивости ортотропной прямоугольной пластины из двумерного в одномерное путем применения вариационного метода Канторовича-Власова. Применение алгоритма численно-аналитического метода граничных элементов. Решение характеристического уравнения и анализ всех его корней .

Результаты. Получено дифференциальное уравнение устойчивости ортотропной прямоугольной пластины. Определена полная система его фундаментальных решений. Построено трансцендентное уравнение устойчивости, решение которого позволяет определять критические силы как статическим методом, так и динамическим. Из этого уравнения можно получить спектр критических сил при фиксированном числе полуволн в направлении одной оси и множественном числе полуволн в направлении второй оси .

Научная новизна. Получены 64 аналитических выражения фундаментальных функций и выражения функций Грина, соответствующие каждому варианту корней характеристического уравнения. Впервые приведено решение задачи об устойчивости прямоугольной ортотропной пластины при любых условиях закрепления ее кромок .

Практическая значимость. Полученные результаты позволяют аналитически построить полную систему фундаментальных функций рассматриваемой задачи. Предложенная методика позволяет получить решение задачи устойчивости прямоугольной ортотропной пластины при любых однородных и неоднородных граничных условиях .

Ключевые слова: устойчивость, ортотропная пластина, метод Канторовича-Власова, метод граничных элементов, фундаментальные функции .

Введение. Во многих отраслях промышленности находят широкое применение конструкции в форме пластинок, изготовленные из ортотропных материалов, обладающие тремя плоскостями симметрии упругих свойств. При определенных условиях работа таких пластинок сопровождается появлением сжимающих напряжений в срединной плоскости, что может привести к потере устойчивости и несущей способности пластинки .

Определение критической нагрузки на пластинку представляет серьезные трудности математического характера не только для ортотропных, но и для изотропных пластин. В известных монографиях и справочниках приведено решение только задачи устойчивости прямоугольной пластины с шарнирным опиранием по контуру [1 – 6] .

Анализ последних исследований и публикаций. Задача устойчивости изотропной прямоугольной пластины, нагруженной по двум противоположным краям усилиями, распределенными по линейному закону, впервые была решена И. Г. Бубновым [7] и С. П .

Тимошенко [8]. Для ортотропной пластины эта задача решена С. Г. Лехницким [9]. Все эти классические решения получены для случая шарнирного закрепления краев пластины в форме двойных тригонометрических рядов .

Современных работ, посвященных устойчивости анизотропных пластин, крайне мало .

Отметим статью [10], где решается задача устойчивости анизотропной пластинки (но опятьтаки при шарнирном опирании по контуру) и работу [11], где решена задача устойчивости

–  –  –





пластины; µ xy, µ yx коэффициенты Пуассона; W ( x, y ) амплитудное значение прогиба;

N x ( y ); N xy ; N y ( x) усилия в срединной плоскости; q ( x, y ) амплитудное значение поперечной нагрузки .

Уравнение устойчивости (1) имеет четвертый порядок и является дифференциальным уравнением в частных производных. Функция W ( x, y ), являющаяся решением этого уравнения, зависит от двух переменных, т.е. имеет место двумерная задача. В то же время алгоритм ЧА МГЭ предполагает решение одномерной задачи. Переход от двумерной задачи к одномерной можно осуществить путем применения вариационного метода КанторовичаВласова .

Разложим прогиб W ( x, y ) в функциональный ряд:

Мехатронні системи. Енергоефективність та ISSN ресурсозбереження ВІСНИК КНУТД №6 (116), 2017 Mechatronic Systems. Energy Efficiency & Resource Saving

–  –  –

Безразмерную систему функций X i ( x ) необходимо выбрать такой, чтобы она максимально точно описывала форму изогнутой поверхности пластины в направлении оси ox. Этому требованию удовлетворяют кривые прогиба балки, имеющей такие же условия опирания, как и пластина в направлении оси ox. Для выбора функции поперечного распределения прогибов X i ( x ) известны два способа статический и динамический [12] .

При использовании статического способа прогиб балки определяется статической нагрузкой .

Эта нагрузка должна быть такой, чтобы последовательно чередовались симметричные и кососимметричные формы кривой прогиба. Функции X i (x ) представляются в виде степенных полиномов, которые легко дифференцировать, интегрировать и вычислять без применения сложных программ. При использовании динамического способа прогибы балки представляются формами ее собственных колебаний. В статическом способе необходимо строить функции X i (x ) в зависимости от нагрузки и реакций балки. В динамическом способе достаточно менять только значения собственных частот, что весьма удобно .

Будем удерживать в (2) один член ряда, что оказывается вполне достаточным [12] для получения результата приемлемой точности, т.е .

W ( x, y ) = W ( y ) X ( x). (3)

Подставим (3) в (1):

D1 X 1V W + 2 D3 X W + D2 XW 1V + N x ( y )WX + 2 N xyW X + N y ( x)W X = q ( x, y ). (4) Умножим обе части (4) на X и проинтегрируем в пределах [0; l1 ], где l1 размер пластины в направлении оси x (рис.

1):

l1 l1 l1 D1W X 1V Xdx + 2 D3W X Xdx +D2W 1V X 2 dx + l1 l1 l1 l1 + N x ( y ) X Xdx + 2W N xy X Xdx +W N y ( x) X 2 dx = q ( x, y ) Xdx .

Введем обозначения:

–  –  –

t1 4 = ± r 2 ± r 4 s 4 .

Вид фундаментальных функций определяется соотношением между r и s, которое зависит от условий закрепления продольных кромок ортотропной пластины.

Для этого соотношения возможны четыре варианта:

1. s r комплексные корни: t14 = ± ± i,

–  –  –

3. s 4 0, s r, r 2 0 корни мнимые: t1 2 = ±i ; t 3 4 = ±i .

4. s 4 0, r 4 s 4 0, r 2 0 корни действительные и различные: t1 2 = ± ; t 3 4 = ± .

После определения фундаментальных функций можно составить трансцендентное уравнение устойчивости ортотропной пластины, которое в общем случае будет иметь вид A* ( N x, N y, N xy ) = 0, (8) где A* квадратная матрица значений фундаментальных ортонормированных функций с компенсирующими элементами, описывающими топологию системы .

Корни уравнения (8) образуют спектр критических сил рассматриваемой пластинки .

Выводы. Таким образом, задача об устойчивости ортотропной прямоугольной пластины приводит к четырем комбинациям корней характеристического уравнения задачи, а, значит, полное решение задачи будет определяться 64 аналитическими выражениями фундаментальных функций .

Следует отметить, что матрица A* является сильно разреженной, ее система фундаментальных ортонормированных функций хорошую устойчивость численного процесса решения краевой задачи, а в определителе нет точек разрыва 2-го рода .

Полученное трансцендентное уравнение (8) позволяет определять критические силы как статическим методом, так и динамическим. Из этого уравнения можно получить спектр критических сил при фиксированном числе полуволн в направлении оси ox (рис. 1) .

Например, одна полуволна в направлении оси ox и множество полуволн в направлении оси oy, две полуволны в направлении оси ox и множество полуволн в направлении оси oy и т.д., в зависимости от величины коэффициентов A, B, K, C .

Использованный подход позволяет получить решение задачи устойчивости ортотропной пластины при любых однородных и неоднородных граничных условиях .

–  –  –

ДО РОЗРАХУНКУ СТІЙКОСТІ ОРТОТРОПНИХ ПЛАСТИН ЧИСЕЛЬНОАНАЛІТИЧНИМ МЕТОДОМ ГРАНИЧНИХ ЕЛЕМЕНТІВ

БАЛДУК П. Г., ДЕНИСЕНКО В. Ю., СУР’ЯНІНОВ М. Г .

Одеська державна академія будівництва та архітектури Мета. Розв'язок завдання про стійкість прямокутної ортотропної пластини при будь-яких варіантах граничних умов .

Методика. Перетворення диференціального рівняння стійкості ортотропної прямокутної пластини із двовимірного в одномірне шляхом застосування варіаційного методу КанторовичаВласова. Застосування алгоритму чисельно-аналітичного методу граничних елементів. Розв'язок характеристичного рівняння та аналіз усіх його коренів .

Результати. Отримане диференціальне рівняння стійкості ортотропної прямокутної пластини. Визначена повна система його фундаментальних розв'язків. Побудоване трансцендентне рівняння стійкості, розв'язок якого дозволяє визначати критичні сили як статичним методом, так і динамічним. Із цього рівняння можна одержати спектр критичних сил при фіксованім числі півхвиль у напрямку однієї осі й множині півхвиль у напрямку другої осі .

Наукова новизна. Отримано 64 аналітичних вираження фундаментальних функцій і вираження функцій Гріна, відповідні до кожного варіанта коренів характеристичного рівняння .

Вперше наведений розв'язок завдання про стійкість прямокутної ортотропної пластини при будьяких умовах закріплення її крайок .

Практична значимість. Отримані результати дозволяють аналітично побудувати повну систему фундаментальних функцій розглянутого завдання. Запропонована методика дозволяє одержати розв'язок завдання стійкості прямокутної ортотропної пластини при будь-яких однорідних і неоднорідних граничних умовах .

Ключові слова: стійкість, ортотропна пластина, метод Канторовича-Власова, метод граничних елементів, фундаментальні функції .

–  –  –

Goal. The solution of the problem of the stability of a rectangular orthotropic plate under any variants of the boundary conditions .

Methodology. Transformation of the differential equation of stability of an orthotropic rectangular plate from two-dimensional to one-dimensional by applying the variational method of Kantorovich-Vlasov .

Application of the algorithm of the numerical-analytic method of boundary elements. Solution of the characteristic equation and analysis of all its roots .

Results. A differential equation for the stability of an orthotropic rectangular plate is obtained. A complete system of its fundamental solutions is defined. A transcendental equation of stability is constructed, the solution of which makes it possible to determine the critical forces both by the static method and by the dynamic method. From this equation, one can obtain a spectrum of critical forces for a fixed number of halfwaves in the direction of one axis and a plural number of half-waves in the direction of the second axis .

Scientific novelty. 64 analytic expressions of fundamental functions and expressions for Green's functions corresponding to each variant of the roots of the characteristic equation are obtained. The problem of the stability of a rectangular orthotropic plate for the first time is given for the first time under any conditions for fixing its edges .

Practical significance. The results obtained make it possible analytically to construct a complete system of fundamental functions of the problem under consideration. The proposed technique makes it possible to obtain a solution to the problem of stability of a rectangular orthotropic plate under any homogeneous and inhomogeneous boundary conditions .

Keywords: stability, orthotropic plate, Kantorovich-Vlasov method, boundary element method,




Похожие работы:

«Секция 2: Инновационные технологии получения и обработки материалов в машиностроении ПОЛУЧЕНИЕ И СВОЙСТВА МНОГОКОМПОНЕНТНОГО ИНСТРУМЕНТАЛЬНОГО ПОКРЫТИЯ Н.Н. Рахымтай1, студент, Е.А. Кайролла1, студент, И.М. Гончаренко1,2, к.т.н., доц. Национальный исследо...»

«Приказ Минстроя России от 08.09.2015 N 643/пр Об утверждении порядка взаимодействия Национального объединения саморегулируемых организаций и саморегулируемой организации в случае исключения сведений о саморегулируемой орган...»

«Министерство науки и высшего образования Российской Федерации ФГАОУ ВО "Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н . Ельцина" ФГБОУ ВО "Уральский государственный педа...»

«Система автоматического оповещения ALT-240FP/500FP Руководство пользователя Содержание Безопасность Распаковка и установка Комплектность Назначение Функциональные возможности Порядок включения Порядок работы Передняя панель Блок проигрывателя МР3 тюнера Задняя панель Схема подключения...»

«Васильев Иван Петрович ТЕХНОЛОГИЯ АКТИВАЦИОННОГО СПЕКАНИЯ ОКСИД-ЦИРКОНИЕВОЙ КЕРАМИКИ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ПОТОКОВ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ Специальности: 05.17.11 – Технология силикатных и тугоплавких неметаллических материалов 01.04.07 – Физика конденсированного состояния. Автореферат дис...»

«XIV МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ СТУДЕНТОВ, АСПИРАНТОВ И МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ "ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ НАУК" ГАЗОФАЗНОЕ ГИДРИРОВАНИЕ ЦИРКОНИЕВОГО СПЛАВА Э110 ДО РАЗЛИЧНЫХ КОНЦЕНТРАЦИЙ ВОДОРОДА С РАВНОМЕРНЫМ РАСПЕРДЕЛЕНИЕМ Сюэ Юйхан Научный руководитель: ассис...»

«Секция 3: Современные технологии ликвидации ЧС и техническое обеспечение аварийно-спасательных работ отличие от применявшихся ранее систем алгоритм работы современных систем позволяет определить очаг возникновения пожара. Адресно-аналоговая система пожарной сигнализации явля...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" Ресурсоэффективные системы в управлении и контроле: взгляд в будущее Сборник научных...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ТЕХНИЧЕСКОМУ РЕГУЛИРОВАНИЮ И МЕТРОЛОГИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГО СТР СТАНДАРТ мэк РОССИЙСКОЙ 60601-2-47— ФЕДЕРАЦИИ ИЗДЕЛИЯ М ЕДИЦ ИНСКИЕ Э ЛЕКТРИЧЕСКИЕ Часть 2-47 Частные требования безопасности с учетом основных функциональных характеристик к амбулаторным электрокардиографич...»







 
2019 www.librus.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - собрание публикаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.