WWW.LIBRUS.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - собрание публикаций
 

Pages:   || 2 |

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) С.В. НИКИТИН, М.Ю. КАРЕЛИНА ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Часть 1. Сопротивление материалов Учебно-методическое пособие МОСКОВСКИЙ ...»

-- [ Страница 1 ] --

МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ)

С.В. НИКИТИН, М.Ю. КАРЕЛИНА

ПРИКЛАДНАЯ

МЕХАНИКА

Часть 1. Сопротивление материалов

Учебно-методическое пособие

МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

(МАДИ)

С.В. НИКИТИН, М.Ю. КАРЕЛИНА

ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА

Часть 1. Сопротивление материалов Допущено УМО вузов РФ по образованию в области транспортных машин и транспортно-технологических комплексов в качестве учебно-методического пособия для студентов вузов, обучающихся по направлению подготовки бакалавров «Технология транспортных процессов»

МОСКВА МАДИ УДК 531.8:624.042 ББК 34.41:30.121 Н624

Рецензенты:

зав. каф. «Теоретическая механика и теория механизмов и машин»

ФГБОУ ВПО ИжГТУ им. М.Т. Калашникова, д-р техн. наук, проф. Кузнецов Н.П.;

проф. каф. «Технологические комплексы, машины и механизмы»

БГТУ им. В.Г. Шухова д-р техн. наук, проф. Носов О.А .

Никитин, С.В .

Н624 Прикладная механика. В 3 ч. Ч. 1. Сопротивление материалов: учебно-методическое пособие / С.В. Никитин, М.Ю. Карелина .

– М.: МАДИ, 2014. – 244 с .

В данном учебно-методическом пособии рассматриваются следующие темы дисциплины «Сопротивление материалов», относящейся к разделам курсов «Прикладная механика» и «Механика»: введение в дисциплину, растяжение-сжатие, напряженно-деформированное состояние, геометрические характеристики, кручение, изгиб, сложное сопротивление, расчеты на прочность при циклическом нагружении, контактные напряжения, устойчивость сжатых стержней .

Рассматриваемый раздел – «Сопротивление материалов» – является составной частью дисциплин «Прикладная механика» и «Механика». В связи с этим в данном пособии рассмотрены практические расчеты на прочность разъемных и неразъемных соединений, а также особенности их конструирования. В основном рассматриваемые соединения работают на срез и растяжение, что делает логичным рассмотрение этого раздела, относящегося к разделу «Детали машин», сразу после рассмотрения теоретических основ расчета на растяжение и срез в разделе «Сопротивление материалов». Дано большое количество примеров решения задач по этим темам. Учебное пособие предназначено для студентов МАДИ, изучающих курс «Прикладная механика» и «Механика» на немеханических специальностях .

УДК 531.8:624.042 ББК 34.41:30.121 © МАДИ, 2014

1. ВВЕДЕНИЕ В ДИСЦИПЛИНУ

1.1. Основные понятия и определения, связь с другими дисциплинами На различные конструкции (сооружения, машины, отдельные элементы, из которых они состоят) в процессе их эксплуатации действует большое разнообразие внешних воздействий, в первую очередь в виде нагрузок, которые могут быть статическими (постоянными или переменными во времени), динамическими (вызывающим появление ускорений) и т.д. Для того чтобы конструкции могли выдерживать эти нагрузки без разрушения, они должны иметь необходимые размеры и быть сделаны из соответствующих материалов. Размеры деталей конструкций определяются расчетом .

Созданием основ для расчета на прочность деталей (элементов) конструкций занимается наука, называемая сопротивлением материалов. В сопротивление материалов широко используются принципы и выводы, полученные в физике, математике, теоретической механике .





Для рационального выбора материалов и наиболее полного и экономичного их использования необходимо иметь данные, определяющие важнейшие их свойства. Здесь, прежде всего, имеются ввиду данные, которые характеризуют прочностные и деформативные свойства материалов. Под прочностью конструкции понимают ее способность сопротивляться действию внешних нагрузок не разрушаясь. Под разрушением конструкции понимают не только разделение ее на несколько частей, но и достижение состояния, когда ее дальнейшая эксплуатация становится невозможной (например, получение больших деформаций, потеря герметичности и пр.) .

Для решения этих задач в сопротивлении материалов введен ряд понятий. Важнейшие из них – это понятие о деформации и напряжении. Деформирование твердых тел, т.е. изменение их размеров и формы, под действием внешних сил является одним из их основных свойств. Различают деформации абсолютные и относительные, линейные и угловые. Перемещение – изменение положения тела или его отдельных частей в пространстве .

Кроме этого, твердые тела обладают способностью противодействовать изменению под действием внешних нагрузок относительного расположения своих частиц. Это проявляется в возникновении внутри тел сил, которые сопротивляются его деформации и стремятся вернуть частицы в положение, которое они занимали до нагружения. Эти силы называются внутренними силами; само же свойство твердых тел устранять деформацию, вызванную внешними силами, после прекращения их действия, называется упругостью. Мерой для оценки внутренних сил служит так называемое напряжение (сила, отнесенная к единице площади, на которой она действует) .

Деформация, полностью исчезающая после прекращения действия внешних сил, называется упругой деформацией. Неисчезающие деформации называются пластическими. При проектировании конструкций их частям (элементам) придают, как правило, такие размеры, при которых в них не возникали бы остаточные (пластические) деформации .

Таким образом, в сопротивлении материалов для различных случаев действия внешних сил устанавливаются математические соотношения между внешними силами, геометрическими размерами деталей конструкций, возникающими силами упругости и деформациями. Пользуясь этими соотношениями и характеристиками прочности материалов, которые определяются экспериментально, получают необходимые размеры проектируемых деталей конструкций .

Введем еще два понятия, важные при изучении поведения конструкций под действием нагрузок .

Жесткость – способность конструкции или ее элементов сопротивляться упругим деформациям .

Устойчивость – способность конструкции и ее элементов сохранять определенную форму равновесия .

С учетом изложенного можно определить, что сопротивление материалов – наука об инженерных методах расчета на прочность, жесткость и устойчивость элементов сооружений и деталей машин .

1.2. Гипотезы и допущения Наука о сопротивлении материалов, отказываясь от принятого в теоретической механике допущения об абсолютной твердости тел, т.е .

учитывая, что тела под действием приложенных сил деформируются, все же не может при построении теории расчетов на прочность и жесткость отразить все многообразие свойств реальных материалов. Поэтому в сопротивлении материалов приходится вводить ряд допущений (гипотез) о свойствах материалов, позволяющих построить достаточно простую и удобную для инженерной практики теорию расчетов элементов конструкций .

Приведем здесь допущения, принятые в сопротивлении материалов:

1. Гипотеза об однородности материалов – материал однороден, т.е. свойства любых сколь угодно малых его частиц совершенно тождественны .

2. Гипотеза сплошности – материал полностью заполняет весь объем тела без каких-либо пустот, т.е. тело рассматривается как сплошная среда. Представление о теле как о сплошной среде дает возможность применять при исследованиях, выполняемых в сопротивлении материалов и в смежных науках, методы анализа бесконечно малых величин (дифференциальное и интегральное исчисления) .

3. Гипотеза изотропности – физико-механические свойства материала по всем направлениям одинаковы, т.е. материал изотропен. Материалы, не обладающие указанным свойством, называют анизотропными .

4. Гипотеза об упругости тела – в известных пределах нагружения материал обладает идеальной (совершенной) упругостью, т.е. после снятия нагрузки деформации полностью исчезают и тело возвращается к первоначальным размерам и форме .

5. Принцип начальных размеров – перемещения точек тела (конструкции), обусловленные его упругими деформациями, весьма малы по сравнению с размерами самого тела. Из этого допущения следует, что изменения в расположении сил, происходящие при деформации конструкции, не следует учитывать при составлении уравнений равновесия (при определении реакций) .

6. Допущение о линейной связи между нагрузками и деформациями – перемещения точек упругого тела в известных пределах нагружения прямо пропорциональны силам, вызывающим эти перемещения .

7. Принцип независимости действия сил – эффект (напряжения, деформации и др.) от суммы воздействий на конструкцию равен сумме эффектов от каждого воздействия в отдельности .

8. Принцип Сен-Венана: в сечениях, достаточно удаленных от места приложения нагрузки, напряженно-деформированное состояние не зависит от способа приложения нагрузки .

Далее при рассмотрении конкретных случаев действия нагрузок на реальные тела будут рассмотрены способы и достоинства применения тех или иных допущений, а также и ограничения на их использование .

1.3. Классификация внешних сил и элементов конструкций

Силы делятся на внешние и внутренние. Внешние силы характеризуют взаимодействие между телами, внутренние – взаимодействие между частицами одного тела .

Внешние силы, действующие на элементы конструкций, делятся на активные, называемые нагрузкой, и реактивные (реакции связей) .

Нагрузка подразделяется на поверхностную и объемную. К поверхностной нагрузке относятся силы контакта, возникающие при сопряжении двух элементов конструкции или при их взаимодействии; к объемным (массовым) силам – силы, действующие на каждый бесконечно малый элемент объема. Примерами объемных сил являются силы инерции, силы тяжести, силы магнитного взаимодействия .

По характеру действия на конструкцию различают нагрузку:

– статическую – изменяется медленно и плавно от нуля до конечного значения так, что ускорения точек системы, возникающие при этом, весьма малы, поэтому силами инерции по сравнению с нагрузкой можно пренебречь;

– динамическую – прикладывается к телу за малый промежуток времени или мгновенно с образованием значительных ускорений;

– повторно-переменную – изменяющуюся по произвольному периодическому закону .

Нагрузки, распределенные по некоторой поверхности, характеризуются величиной давления [р], т.е. силы, приходящейся на единицу площади, и, следовательно, измеряются в Н/м2 (Па), кН/м2, Мн/м2 (МПа) .

Во многих случаях приходится встречаться с нагрузками, распределенными по длине элемента конструкции, например, можно говорить о силе тяжести единицы длины балки, при этом если сечение балки не постоянно, то и сила тяжести единицы ее длины будет переменной величиной .

Величина распределенной по длине нагрузки [q] выражается в единицах силы, отнесенных к единицам длины (Н/м, кН/м) .

Вопрос о связях и их реакциях достаточно подробно рассмотрен в курсе теоретической механики. Здесь ограничимся лишь напоминанием о наиболее распространенных типах связей .

Рис. 1.1

Шарнирно-подвижная опора (односвязная опора) схематически изображается, как показано на рис. 1.1а. Это изображение обычно применяется в сопротивлении материалов взамен принятого в теоретической механике (рис. 1.1б). Реакция такой опоры всегда перпендикулярна опорной поверхности, т.е. направлена вдоль опорного стержня .

Шарнирно-неподвижную опору (двухсвязная опора) будем схематически изображать, как показано на рис. 1.1в или 1.2г. Реакция шарнирно-неподвижной опоры проходит через центр шарнира, а ее направление зависит от действующих активных сил. Вместо отыскания величины и направления этой реакции удобнее искать отдельно две ее составляющие (рис. 1.1г) .

В жесткой заделке (трехсвязная опора) возникают реактивный момент и реактивная сила; последнюю также удобнее представлять в виде двух ее составляющих (рис. 1.1д) .

Реальные тела, которые рассматриваются при расчете на прочность, в сопротивлении материалов схематизируются таким образом, что во внимание принимаются лишь их главные геометрические характеристик (размер, форма поперечного сечения и продольной оси) .

Виды элементов конструкций чрезвычайно разнообразны, но с большей или меньшей степенью точности каждый из них можно для расчетных целей рассматривать либо как брус, либо как оболочку или пластинку, либо, наконец, как массив .

Брус – тело, два измерения которого малы по сравнению с третьим (длиной). Линия, соединяющая центры тяжести поперечных сечений бруса, называется его осью (рис. 1.2). В зависимости от формы оси различают прямые и кривые брусья; брусья бывают постоянного и переменного сечения, сплошного и несплошного, с открытым и закрытым профилем поперечного сечения. На рисунке 1.3 приведены примеры некоторых видов брусьев .

–  –  –

Пластинка и оболочка (рис. 1.4) характеризуются тем, что их толщина невелика по сравнению с остальными размерами. Пластинку можно рассматривать как частный случай оболочки .

–  –  –

Массивное тело – тело, все три измерения которого величины одного порядка. Например, фундамент под машину, шарик или ролик подшипника качения .

1.4. Внутренние силовые факторы. Метод сечений Пусть свободное тело под действием системы сил Р1 – Р5 находится в равновесии (рис. 1.5а). Требуется определить внутренние силы в сечении I–I. Мысленно разрежем тело на две части по данному сечению и рассмотрим условия равновесия одной (любой) части тела. Обе части после разрезания, вообще говоря, не будут находиться в равновесии, так как нарушены внутренние связи. Заменим действие левой части тела на правую и правой на левую некоторой системой сил в сечении I–I, т.е. внутренними силами (рис. 1.5б). Характер распределения внутренних сил в сечении неизвестен, но они должны обеспечить равновесие каждой части тела. Для составления условия равновесия отсеченной части приведем внутренние силы в виде главного вектора и главного момента к центру тяжести сечения и спроецируем их на оси координат (рис. 1.5в). Получим три проекции главного вектора Nz, Qy, Qx и три проекции главного момента Мх, Му, z, которые называются внутренними силовыми факторами и имеют специальные названия: z – продольная сила; Qx, Qy – поперечные силы; Мz – крутящий момент, Мx, Му – изгибающие моменты .

–  –  –

1.5. Понятие о напряжениях Согласно гипотезе сплошности можно считать, что внутренние силы непрерывно распределены по площади поперечного сечения бруса .

Пусть на малую, но конечную площадку А (рис. 1.7а) действует внутренняя элементарная сила R. Разложив R на составляющие по осям х, у, z, получим ее компоненты Nz, Qx, Qy. Отношение вида pcp = = R / определяет среднее напряжение на данной площадке в данной точке. Выполняя предельный переход при 0 получим полное или истинное напряжение в точке p = lim R/, которое определяет интенсивность внутренних сил в данной точке рассматриваемого сечения. Поскольку через точку тела можно провести бесчисленное множество сечений, то в данной точке имеется бесчисленное множество напряжений, связанных с площадками действия. Совокупность всех напряжений, действующих на разных площадках в данной точке, называется напряженным состоянием точки. Единица напряжения – Н/м2 или Па, 1 МПа = 106 Па = 1 Н/мм2 .

–  –  –

Контрольные вопросы

1. В чем заключаются задачи курса «Сопротивление материалов»?

2. Что называют прочностью, жесткостью, устойчивостью детали?

3. Укажите геометрические признаки стержня, оболочки и массивного тела .

4. Какие силы в сопротивлении материалов считают внешними?

Какие силы являются внутренними?

5. Какими методами определяют внешние силы? Как называют метод для определения внутренних сил?

6. Как классифицируются нагрузки, действующие на части машин и сооружений?

7. Что в сопротивлении материалов называют внутренними силовыми факторами? Перечислите внутренние силовые факторы .

8. Как определяются внутренние силовые факторы через внешние силы?

9. Какие деформации вызываются каждым из внутренних силовых факторов?

10. Как выражаются внутренние силовые факторы через напряжения?

11. Дайте определение понятия «напряжения» и какие виды напряжения вы знаете?

12. В каких единицах измеряются напряжения?

13. Что называется деформацией? Какие деформации называют упругими?

14. Какие гипотезы и допущения используются при изучении курса «Сопротивление материалов»?

15. Что следует понимать под напряженным состоянием в точке?

16. Сформулируйте принцип суперпозиции .

17. Дайте формулировку принципа Сен-Венана?

18. Что называется абсолютным удлинением?

19. Что понимается под гипотезой плоских сечений?

20. В чем сущность и значение для расчетов принципа малости деформаций?

2. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

2.1. Определение нормальной силы Центральное растяжение (сжатие) – одно из наиболее простых видов нагружения. Методом сечений в поперечном сечении бруса обнаруживается только один внутренний силовой фактор – нормальная сила Nz. Ее вектор перпендикулярен к поперечному сечению и направлен вдоль продольной оси бруса (рис. 1.7в). Брус, работающий на растяжение – сжатие, принято называть стержнем .

Согласно методу сечений величина и направление продольной силы определяются из уравнения равновесия, составленного для отсеченной части бруса (левой или правой относительно сечения, где определяется продольная сила):

Рxi. (2.1) Nz отс Таким образом, продольная (нормальная) сила в произвольном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на продольную ось всех внешних (активных и реактивных) сил, приложенных к отсеченной части .

В общем случае Рxi + q(z)dz, (2.2) Nz отс l где q(z) – интенсивность нагрузки, распределенной вдоль оси бруса на участке от 0 до z .

Продольная сила z считается положительной, если она вызывает растяжение, т.е. направлена от сечения. В поперечном сечении бруса она является равнодействующей внутренних нормальных сил, возникающих в этом сечении .

График функции Nz = f(z) называется эпюрой нормальных сил. Из выражения (2.2) следует, что (2.3) q(z) = dN(z)/dz, т.е. интенсивность распределенной нагрузки в каждом сечении равна по величине и знаку тангенсу угла наклона касательной к эпюре Nz в соответствующей рассматриваемому сечению точке эпюры .

Пример 2.1 .

Построить эпюру продольных сил для бруса, изображенного на рис. 2.1а .

Решение. Разбиваем брус на участки, начиная от свободного конца. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы .

Применяя метод сечений, оставляем правую и отбрасываем левую часть бруса: это позволяет не определять реакцию заделки. Проводя произвольное сечение а – а на участке I и составляя для части бруса, показанной отдельно на рис. 2.1б, уравнение равновесия Z = 0 .

Рис. 2.1

Получаем:

Р – NI = 0, откуда NI = Р .

Легко видеть, что во всех поперечных сечениях данного участка продольная сила одинакова. То же относится и ко всем остальным участкам, поэтому совершенно безразлично, где проводить сечение в пределах того или иного рассматриваемого участка .

Проводя сечение b – b на участке II и рассматривая правую оставленную часть бруса (рис. 2.1в), получаем:

Z = P1 – P2 – NII = Р – 2Р – NII = 0, откуда NII = – .

Знак минус указывает, что фактическое направление силы NII противоположно показанному на рис. 2.1в, т.е. сила направлена к сечению и, следовательно, участок II испытывает сжатие .

Аналогично определяем продольную силу в произвольном сечении с – с участка III (рис.

2.1г):

NIII = 3 Р .

Конечно, для определения продольных сил нет необходимости изображать каждый раз отдельно отсеченную часть бруса, можно просто найти алгебраическую сумму проекций на ось бруса внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения .

Применяя метод сечений, можно было бы каждый раз оставлять левую и отбрасывать правую часть бруса, но тогда решение следовало бы начинать с определения реакции заделки (рис. 2.1а), так как эта реакция относится к числу внешних сил, приложенных к оставленной (левой) части бруса .

Для построения эпюры N проводим ось абсцисс графика (ось или базу эпюры) параллельно оси бруса (рис. 2.1г). В пределах каждого из участков продольная сила постоянна, т.е. эпюра параллельна оси абсцисс. Величины продольных сил откладываем в выбранном масштабе от оси эпюры; при этом положительные значения N (растяжение) откладываем вверх, а отрицательные – вниз от оси. Условимся ось эпюры проводить тонкой, а саму эпюру толстыми линиями. Иногда на эпюре N (а также и для других случаев деформирования бруса: изгиб, кручение и др.) для лучшего понимания целесообразно изобразить схему закрепления стержня (рис. 2.1г) .

В местах приложения сосредоточенных сил на эпюре получаются скачкообразные изменения ординат – «скачки». Величина «скачка»

равна приложенной в соответствующем месте бруса внешней сосредоточенной силе. При нагружении бруса сосредоточенными силами эпюра N всегда имеет такой характер, как в рассмотренном примере .

Скачкообразные изменения ординат эпюры N носят условный характер, так как условно и само понятие «сосредоточенная сила». Фактически внешняя сила распределена по некоторой небольшой части длины бруса; в пределах этой части значение N изменяется (например, в зоне приложения силы Р2 от значения +Р до –Р) по некоторому закону, установить который не представляется возможным. Неизвестный криволинейный переходной участок эпюры заменяют условным «скачком» .

Эпюру принято штриховать; при этом штриховка перпендикулярна оси эпюры – каждая линия штриховки (ордината графика) дает в принятом масштабе величину продольной силы в соответствующем поперечном сечении бруса .

2.2. Нормальные напряжения и деформации При растяжении (сжатии) бруса в поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения. Чтобы задача определения по известным Nz и А имела единственное решение, необходимо установить закон распределения (z) по сечению. Для этого используется гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к его оси и при деформации. Поперечные сечения лишь перемещаются вдоль оси, оставаясь параллельными друг другу .

Допустим, брус состоит из бесконечно большого числа продольных волокон. Из гипотезы Бернулли следует, что все волокна деформируются одинаково. Поскольку, согласно закону Гука, равным деформациям соответствуют равные напряжения, то при растяжении (сжатии) бруса нормальные напряжения равномерно распределяются по поперечному сечению, т.е. (z) = const .

Эта гипотеза имеет и экспериментальное подтверждение. Возьмем стержень из легко деформируемого материала, например, резину и нанесем на его боковой поверхности параллельные между собой продольные и поперечные линии (рис. 2.2). После деформирования линии переместятся, но останутся прямыми и параллельными. Можно предположить, что и внутри тела будет происходить то же самое. Это и служит подтверждением предложенной гипотезы .

–  –  –

Для стали и большинства металлических материалов = 0,3. В общем случае 0 0,5 ( = 0 – пробка, = 0,5 – каучук) .

2.3. Напряженное состояние бруса при растяжении Напряженное состояние в точке характеризуется совокупностью нормальных и касательных напряжений, возникающих на произвольно расположенных площадях .

Пусть брус нагружен осевой силой Р (рис. 2.3а). Определим усилие и напряжение в наклонном сечении .

Рассечем брус наклонной плоскостью под углом к нормальному сечению и рассмотрим равновесие отсеченной части (рис.

2.5б):

Z= 0; – Р+ R = 0; R = F, где R – равнодействующая внутренних сил в наклонной плоскости, А0 – площадь поперечного сечения, Аа – площадь сечения, наклоненного под углом .

–  –  –

NV 30 103 30 H / мм2 .

для участка V V 2 F3 10 10 В пределах каждого из участков напряжения постоянны, т.е. эпюра на данном участке – прямая, параллельная оси абсцисс (рис. 2.6) .

Для расчета на прочность интерес представляют в первую очередь те сечения, в которых возникают наибольшие напряжения, так называемые опасные сечения. Существенно, что в рассмотренном случае они не совпадают с теми сечениями, где продольные силы максимальны .

2.4. Механические свойства материалов .

Экспериментальные исследования при растяжении (сжатии) Конструктор, выбирая материал для проектируемой детали, а затем, рассчитывая ее на прочность (жесткость, устойчивость), должен располагать данными о механических свойствах материала, т.е. его прочности, пластичности и т.д., а также знать величины упругих постоянных – модуля продольной упругости () и коэффициента Пуассона () .

Основными механическими свойствами, числовые характеристики которых определяют при испытаниях материалов, являются:

1. Прочность – способность материала, не разрушаясь, воспринимать внешние механические воздействия .

2. Пластичность – способность материала допускать значительные остаточные деформации, не разрушаясь .

3. Упругость – способность материала восстанавливать после снятия нагрузок свои первоначальные формы и размеры .

4. Твердость – способность материала сопротивляться проникновению в него другого, практически не получающего остаточных деформаций, тела .

Характер нагружения (статическое, динамическое, повторно-переменное) и условия работы деталей машин и инженерных сооружений весьма разнообразны. Располагая сведениями о свойствах материала при определенном виде деформации (например, растяжении) и характере нагружения (например, статическом), судить о его свойствах при других условиях можно лишь весьма приближенно, что в ряде случаев недопустимо. Поэтому механические испытания материалов отличаются большим разнообразием .

По характеру нагружения различают испытания статические, динамические (ударной нагрузкой) и испытания на выносливость (при напряжениях, периодически изменяющихся во времени) .

По виду деформации различают испытания на растяжение, сжатие, срез, кручение, изгиб. Реже проводят испытания при сложном нагружении, например, на совместное действие изгиба и кручения .

Большинство испытаний проводится при нормальной (комнатной) температуре, но для деталей паровых котлов, турбин, реактивных двигателей и т.п. необходимо знать их свойства при высоких температурах .

В отдельных случаях возникает необходимость в испытаниях конструкционных материалов при низких температурах .

Механические испытания проводят на образцах, форма и размеры которых установлены ГОСТами или техническими условиями .

Широкое распространение получили натурные испытания отдельных деталей и узлов машин. В зависимости от целей испытания; деталь (узел) либо доводится до разрушения, либо исследуется напряженное состояние в отдельных ее точках при заданных нагрузках. В этом случае для измерения деформаций широко применяется электротензометрия .

В ряде случаев, когда натурные исследования затруднены или нецелесообразны, исследовании проводят на геометрически подобных моделях из упругих, легко деформируемых материалов (органическое стекло, эпоксидные смолы), где используется либо электротензометрия, либо поляризационно-оптический и др. методы .

2.4.1. Испытание на растяжение Механические свойства материалов при растяжении определяются в лабораториях механических испытаний на разрывных машинах по образцам, изготовленным из исследуемого материала. Графическое представление зависимости между действующей силой F и удлинением l называется диаграммой растяжения или сжатия образца l = f(F). Поскольку исследуется не конкретный образец, а материал, то принято по результатам испытаний ряда образцов строить диаграмму материала в относительных величинах. С этой целью усилия F относят к первоначальной площади А0, а абсолютное удлинение l – к первоначальной длине образца l0. Получается диаграмма материала = f() .

Пластичные материалы разрушаются при больших остаточных деформациях. К таким материалам можно отнести, например, мягкую углеродистую сталь, медь, алюминий. Хрупкие материалы разрушаются при малых остаточных деформациях. К хрупким материалам можно отнести закаленную сталь, чугун, стекло, бетон, камень и др. Хрупкие материалы разрушаются, главным образом, в результате нарушения сопротивления отрыву частиц, пластичные материалы – вследствие нарушения сопротивления сдвигу. В ряде случаев хрупкие материалы могут находиться в пластичном состоянии и наоборот .

На рисунке 2.7 приведен пример цилиндрического образца, используемого при определении механических характеристик сталей на растяжение. Применяются также цилиндрические образцы с диаметром цилиндрической части 10 мм с длиной рабочей части 200 мм, а также так называемы короткие образцы диаметром 5 мм. Образцы плоской формы используются при исследовании листовых материалов .

На рисунке 2.8а показана диаграмма, устанавливающая связь между величиной растягивающей образец из малоуглеродистой стали (пластичный материал) силой Р и абсолютным удлинением l. Количественная оценка физических свойств материала выполняется при помощи диаграммы растяжения (рис. 2.8б) в системе координат (, ) .

–  –  –

Напряжение, откладываемое по вертикальной оси: = Р/Ао, где A0

– площадь поперечного сечения образца до испытания .

Относительное удлинение образца, откладываемое по горизонтальной оси:

= l/lo, где lo – длина расчетного участка образца до испытания .

Диаграмма растяжения = f() носит название условной диаграммы растяжения, так как напряжения и относительные удлинения вычисляют соответственно по отношению к первоначальной площади сечения и к первоначальной длине .

Рассмотрим характерные точки и участки диаграммы. Точка А – конец прямолинейного участка, участок 0 – А называется участком прямолинейной зависимости между нормальным напряжением и относительным удлинением, что отражает закон Гука =. Точка А соответствует пределу пропорциональности: пц = РПЦ/А, где РПЦ – нагрузка, соответствующая проделу пропорциональности, – модуль упругости материала. Несколько выше точки А находится точка В, соответствующая пределу упругости у, т.е. наибольшему напряжению, при котором в материале еще нет остаточных деформаций: у = Рy/A0, где Рy – нагрузка, соответствующая пределу упругости .

Относительная деформация, соответствующая пределу упругости (весьма близкая к пределу пропорциональности), для малоуглеродистой стали примерно достигает 0,1% .

За точкой В возникают заметные остаточные деформации. В точке С диаграммы материал переходит в область пластичности – наступает явление текучести материала. Участок С – D практически параллелен оси абсцисс (площадка текучести). Для данной площадки характерен рост деформации при постоянном напряжении.

Напряжение, соответствующее участку С – D, называется пределом текучести:

T = РT/A0, где РT – усилие, соответствующее пределу текучести .

От точки D до точки K наблюдается упрочение материала. В районе точки K происходит местное сужение образца – появляется так называемая «шейка». Отношение = РВ/A0 называется пределом прочности .

Участку D – K соответствует быстрое уменьшение сечения образца в зоне «шейки». В точке R происходит разрыв образца при разрушающей нагрузке РРАЗР .

На рисунке 2.9 показаны размеры и форма образцов в процессе деформирования: а – исходное состояние образца, б – в зоне OL, в – в районе точки K, г – в точке R после разрыва в области шейки .

Условно материал считается пластичным, если 5%, и хрупким, если 5% .

Для оценки пластичности материала служит величина относительного остаточного удлинения при разрыве, определяемая (в процентах) по соотношению lк lo 100, lo где lК и l0 – длина расчетной части образца соответственно после разрыва и первоначальная длина. На диаграмме растяжения (см. рис. 2.8) величина выражается отрезком OM .

Рис. 2.9

После разрыва образца замеряют его диаметр в наиболее тонком месте – «шейка» (рис.

2.9г), вычисляют соответствующую площадь сечения АК и определяют (в процентах) относительное остаточное уменьшение площади начального сечения образца при разрыве:

Ao Aк 100 .

Ao Эта механическая характеристика, так же как и, служит для оценки пластичности материала .

При механических испытаниях материала также определяется модуль упругости по участку прямой пропорциональной зависимости диаграммы. Таким образом, в результате механических испытаний материалов получают механические характеристики пц, у, T,,,, .

Большинство материалов не имеет явно выраженной площадки текучести, поэтому определяют условный (технический) предел текучести по величине остаточной деформации. Условным пределом текучести принято считать такое напряжение, при котором остаточная деформация = 0,2%, или когда lост = 0,002l0. Он обозначается 0,2 .

2.4.2. Испытание на сжатие

Строительные материалы, такие как бетон, цемент, естественные камни различных пород, испытывают в основном на сжатие. Дерево испытывают на сжатие как вдоль, так и поперек волокон. Металлы испытывают на сжатие значительно реже, чем на растяжение .

Образцы для испытания на сжатие стали и чугуна имеют форму цилиндра с отношением высоты к диаметру 2:1 (в отдельных случаях до 3:1). Длинные образцы применять нельзя, так как даже при незначительной внецентренности приложения сжимающей нагрузки они изгибаются и результаты опыта сильно искажаются. На результаты испытания влияет трение между плитами пресса и торцами образца, а также соотношение его размеров .

Рис. 2.10

На рисунке 2.10 показан вид образца из малоуглеродистой стали до и после испытания. При больших сжимающих нагрузках образец пластически деформируется (расплющивается), но разрушен быть не может .

Таким образом, для пластичных материалов понятие предел «прочности при сжатии» не существует .

Условная диаграмма сжатия малоуглеродистой стали (рис. 2.11) до предела текучести подобна диаграмме растяжения, но площадка текучести выявлена слабо, что определяется непрерывным ростом размера поперечного сечения за счет коэффициента Пуассона. Для удобства отрицательные величины отложены вверх. Значения пределов пропорциональности для пластичных материалов при растяжении и сжатии практически одинаковы .

Для большинства пластичных материалов в результате испытаний на сжатие определяют условный предел текучести 0,2с .

В тех случаях, когда пределы текучести при растяжении и сжатии различны, их обозначают соответственно 0,2р и 0,2с (или т и тс). Примерами материалов, для которых 0,2с 0,2р служат некоторые легированные стали подвергнутые закалке, чугун. Например, для стали ЗОХГС 0,2р 0,880,2с. Такие материалы называют хрупкопластичными .

–  –  –

Расчет на прочность и жесткость осуществляется двумя методами:

методом допускаемых напряжений, деформаций и методом допускаемых нагрузок .

Напряжения, при которых образец из данного материала разрушается или при которых развиваются значительные пластические деформации, называются предельными. Эти напряжения зависят от свойств материала и вида деформации .

Напряжение, величина которого регламентируется техническими условиями, называется допускаемым .

Допускаемые напряжения устанавливаются с учетом материала конструкции и изменяемости его механических свойств в процессе эксплуатации, степени ответственности конструкции, точности задания нагрузок, срока службы конструкции, точности расчетов на статическую и динамическую прочность .

Для пластичных материалов допускаемые напряжения [] выбирают так, чтобы при любых неточностях расчета или непредвиденных условиях эксплуатации в материале не возникло остаточных деформаций, т.е .

[] = 0 2/[n]т. (2.14) Здесь [n]т – коэффициент запаса прочности по отношению к T .

Для хрупких материалов допускаемые напряжения назначаются из условия, что материал не разрушится. В этом случае [] = /[n] .

Коэффициент запаса прочности [n] имеет сложную структуру и предназначен для гарантии прочности конструкции от любых случайностей и неточностей, возникающих при проектировании и эксплуатации конструкции .

Таким образом, коэффициент запаса прочности учитывает следующие основные факторы:

1. Погрешности в создании рабочей модели (идеализации конструкции) .

2. Возможные превышения, нагрузки в процессе эксплуатации .

3. Степень ответственности изделия .

4. Несовершенства в определении свойств материала .

5. Вероятность возможных экстремальных ситуаций (землетрясение, случайный удар и т.п.) .

В таблице 2.2 приведены ориентировочные значения коэффициентов запаса прочности для конструкционных материалов .

Таблица 2.2 Виды допускаемых напряжений и коэффициенты запаса прочности при статических нагрузках

–  –  –

Работой деформации или работой внешних сил называется работа, совершаемая внешними силами при деформации тела. Работа внешних сил совершается на перемещениях, которые получают точки приложения сил к телу в результате деформации. Если деформации тела совершенно упруги, то после снятия нагрузки затраченная энергия возвращается телом в виде механической энергии .

–  –  –

В предыдущих параграфах был рассмотрен ряд примеров определения перемещений и расчета на прочность .

Во всех этих примерах применение метода сечений позволяло установить зависимость между продольными силами, возникающими в поперечных сечениях стержней, и действующими на систему (конструкцию) внешними силами. Иными словами, внутренние силы определялись только на основе условий равновесия отсеченной части системы (или отдельного бруса). Системы, подобные рассмотренным, называют статически определимыми. Системы, в которых внутренние силовые факторы, в частности, продольные силы, не могут быть определены с помощью только метода сечений, называют статически неопределимыми системами .

Соответственно задачи, связанные с расчетом указанных систем, также принято называть статически неопределимыми .

Некоторые примеры статически неопределимых систем приведены на рис. 2.14 .

Брус, изображенный на рис. 2.14а, жестко заделан обоими концами; в заделках возникают реакции, направленные вдоль оси бруса. Таким образом, на брус действует система сил, направленных по одной прямой; статика в этом случае дает одно уравнение равновесия, неизвестных же сил две .

Для балки, подвешенной на трех параллельных стержнях (рис .

2.14б), можно составить два уравнения равновесия, которых, конечно, недостаточно для определения усилий в стержнях. Эти две конструкции относятся к категории один раз статически неопределимых систем – число неизвестных на единицу больше числа уравнений статики. Вообще степенью статической неопределимости называется разность между общим числом неизвестных и количеством независимых уравнений статики, которые можно составить для данной системы .

Один раз статически неопределима также система, представленная на рис. 2.14в: вырезая узел А, можно составить для него два уравнения равновесия (плоская система сходящихся сил), а неизвестных усилий в стержнях три .

Примеры дважды статически неопределимых систем даны на рис .

2.14г, д .

Рис. 2.14

Для решения статически неопределимой задачи надо составить, помимо уравнений статики, так называемые уравнения перемещений, основанные на рассмотрении деформации системы (геометрическая сторона задачи) и применении закона Гука. Поясним это указание простейшим примером .

Рис. 2.15

Пусть требуется определить усилия в стержнях, на которых подвешена невесомая весьма жесткая балка, нагруженная силой Р, как показано на рис. 2.15. Стержни изготовлены из одинакового материала, сечения стержней таковы: F2 = F, F1 = F3 = 2 F. Система один раз статически неопределима: для плоской системы параллельных сил статика дает два независимых уравнения равновесия, а неизвестных усилий три .

Рассекаем стержни и составляем уравнения равновесия приложенных к балке сил (рис. 2.15):

V = 0; 1 + 2 + 3 – = 0; (а) mА = 0; N1a – N3a = 0. (б) В результате деформации стержней балка займет положение, показанное на рис. 2.15б штриховыми линиями. Действительно, предположение о высокой жесткости балки позволяет пренебречь ее изгибом, а симметрия самой системы и нагрузки приводит к заключению, что все стержни удлиняются одинаково .

Таким образом, геометрическая сторона задачи может быть выражена уравнением l1 = l2 = l3 .

Выражая удлинения стержней по формуле Гука, получаем:

N1l N 2l N3l или N1 N3 2 N2. (в) E 2 F EF E 2F

Решая совместно (а), (б) и (в) находим усилия в стержнях:

N1 N3 P ; N2 P .

Конечно, в других статически неопределимых задачах уравнения перемещений могут быть иные .

Пример 2.4 .

Для бруса, жестко заделанного обоими концами и нагруженного вдоль оси силами P1 и Р2, приложенными в его промежуточных сечениях (рис. 2.16а), требуется построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений. Проверить прочность бруса, если материал сталь Ст. 4 (Т = 260 Н/мм2), требуемый коэффициент запаса [nT] = 1,6 .

–  –  –

т.е. перемещение от совместного действия всех сил равно алгебраической сумме перемещений от действия каждой силы в отдельности .

В обозначениях перемещений первая буква индекса указывает о перемещении какого сечения идет речь; вторая – причину, вызывающую это перемещение (сила 1 и т.д.) .

На рисунке 2.17 показаны схемы нагружения бруса каждой из сил в отдельности, там же показаны соответствующие реакции левой заделки .

–  –  –

1. Что такое абсолютные и относительные удлинения? Чем определяется их знак?

2. Для чего необходимо изучение механических свойств материалов?

3. Что такое диаграмма растяжения? Как она строится?

4. Почему для удобства пользования диаграмму растяжения –l перестраивают в диаграмму –? Почему последнюю называют диаграммой условных напряжений?

5. Назовите характерные участки на диаграмме – для малоуглеродистой стали и определяющие их напряжения .

6. Что называют механическими характеристиками материалов? С какой диаграммы снимают эти характеристики?

7. Что такое остаточная деформация?

8. Для каких материалов вводятся условные пределы упругости и текучести? Чем это вызвано?

9. Что такое удлинение при разрыве? Что отражает эта характеристика материала?

10. Какой материал называется пластичным? Приведите примеры .

11. Какой материал называется хрупким? Приведите примеры таких материалов. В чем различие характера разрушения этого материала при растяжении и сжатии?

12. Как математически выражается закон Гука и формула Гука?

13. Что такое коэффициент Пуассона?

14. Какие три типа задач встречаются при расчетах на прочность?

15. Что такое коэффициент запаса прочности и что он учитывает?

16. Какое напряженно-деформированное состояние бруса называется центральным растяжением-сжатием? При каких внешних нагрузках оно возникает?

17. Как распределяются нормальные напряжения z по поперечному сечению бруса при центральном растяжении – сжатии? Как их вычислить?

18. Что необходимо рассмотреть (помимо условий равновесия) для решения статически неопределимой задачи?

3. НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ .

ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

3.1. Общие сведения о напряженном состоянии в точке тела При изучении поведении бруса при действии растяжения – сжатия нами было установлено, что в наклонных площадках возникают нормальные и касательные напряжения, величины которых зависят от ориентации этих площадок. На площадках параллельных продольной оси бруса напряжения в этом случае отсутствуют. Осевое растяжениесжатие – частный случай деформирования бруса .

Очевидно предположить, что в общем случае нагружения тела через какую-либо его точку можно провести площадки, на которых будут и нормальные и касательные напряжения, величины которых зависят от ориентации этих площадок. Здесь, не приводя пока никаких доказательств, рассмотрим основные положения общей теории напряженного состояния. Напряженное состояние в данной точке тела характеризуется совокупностью нормальных и касательных напряжений, возникающих на бесчисленном множестве различно ориентированных в пространстве площадок, которые можно провести через эту точку .

Выделим в материале конструкции в окрестности точки 0 элементарный параллелепипед. На его гранях действуют в общем случае нормальные и касательные напряжения (рис. 3.1). Всего имеется девять компонентов напряжений x, у, z, ху, уx, xz, zх, уz, zy. Из условия равновесия выделенного элемента следует, что, как это было получено и ранее в случае осевого действия нагрузки, составляющие касательных напряжений, возникающих на любых двух взаимно перпендикулярных площадках, перпендикулярные к общему ребру этих площадок, равны по абсолютной величине и противоположны по знаку (направлению), т.е .

xy yx, yz zy, zx xz .

Это положение называют законом парности касательных напряжений. Таким образом, независимыми являются только шесть компонентов напряжений .

При исследовании напряженного состояния в точке предполагается, что компоненты напряжений известны. Установим зависимость между компонентами напряжений, действующих на трех взаимно перпендикулярных площадках, и напряжениями, действующими на наклонной площадке ABC (рис. 3.2). Три грани тетраэдра, совпадающие с координатными плоскостями, – это исходные площадки, а четвертую грань (площадку) проводят произвольно. Возникающие на ней напряжения можно определить, используя три уравнения равновесия, составленных для тетраэдра: X 0; Y 0; Z 0 .

Рис. 3.1 Рис. 3.2

Имея зависимости, позволяющие найти напряжения по любой площадке, далее исследуем вопрос о наибольших нормальных и наибольших касательных напряжениях для рассматриваемой точки .

Пусть нормаль к площадке составляет с осями координат х, у, z углы,, (рис. 3.3). Ha наклонной площадке действует полное напряжение p (в общем случае не перпендикулярное к площадке, рис. 3.2) .

–  –  –

Если все три главных напряжения отличны от нуля (рис. 3.4в), напряженное состояние называют объемным, пространственным или трехосным. В случае, если одно из главных напряжений равно нулю (рис. 3.4б), напряженное состояние называют плоским или двухосным, и, наконец, если лишь одно из главных напряжений отлично от нуля (рис. 3.4а), напряженное состояние линейное или одноосное .

3.2. Исследование напряженного состояния при известных главных напряжениях Предположим, что в окрестности некоторой точки тела выделен элемент, грани которого совпадают с главными площадками (рис. 3.5а);

напряжения 1, 2, 3 на этих гранях известны. Ограничимся определением нормальных и касательных напряжений для серии площадок, параллельных одному из главных напряжений. Серией, или семейством, площадок называют совокупность бесчисленного множества площадок, параллельных одной и той же оси, или, что тоже самое, перпендикулярных к одной и той же плоскости .

Рассечем элемент произвольной плоскостью, параллельной вектору 3 (рис. 3.5а), и из уравнений равновесия, составленных для отсеченной трехгранной призмы (рис. 3.5б), определим напряжения, возникающие на наклонной площадке .

Рис. 3.5

Обозначив dF площадь указанной площадки и спроектировав все силы, действующие на выделенную призму, на оси и t, получим:

прv 0; dF 1dF cos cos 2dF sin sin 0, откуда 1 cos2 2 sin 2 ; (3.3) dF 1dF cos sin 2dF sin cos 0, тогда 1 2 sin cos, или 1 sin 2. (3.4) Проанализируем полученные результаты. В первую очередь отметим, что напряжения, возникающие на наклонных площадках, не зависят от главного напряжения, параллельного этим площадкам (в рассматриваемом случае от 3). Этот результат вполне понятен и очевиден – ведь вектор напряжения 3 перпендикулярен к плоскости, в которой лежат оси проекций и, следовательно, проектируется на каждую из них в точку, т.е .

не входит в уравнения равновесия .

Воспользовавшись известными тригонометрическими формулами 1 cos 2 1 cos 2 cos2 ; sin 2, взамен формулы (3.3) получим:

1 cos 2 .

(3.5) Очевидно, наибольшее значение будет при = 0°: max = 1 и минимальное – при = 90°: min = 2 .

Следовательно, наибольшее и наименьшее нормальные напряжения для рассматриваемых площадок – это главные напряжения .

Из формулы (3.4) следует, что наибольшее для данного случая деформирования касательное напряжение возникает на площадке, нормаль к которой составляет угол 45° (или 135°) с направлением 1 .

Формулы (3.3), (3.4), очевидно, справедливы (при соответствующей замене индексов) для любой из трех серий площадок, каждая из которых параллельна одному из главных напряжений.

Для каждого такого случая есть свое наибольшее касательное напряжение:

12 1 (для площадок, параллельных 3);

23 2 (для площадок, параллельных 1);

13 1 (для площадок, параллельных 2) .

Вспоминая правило индексов, согласно которому 1 2 3, заключаем, что из трех частных максимумов максимальным для данной точки тела, оказывается 13 .

Сделаем еще один вывод из формулы (3.4): в частном случае при 1 = 2 ни на одной площадке исследуемой серии не возникает касательных напряжений, т.е. все площадки главные. Если все три главных напряжения равны между собой: 1 = 2 = 3, то для данной точки тела любая проходящая через нее площадка главная .

3.3. Круговая диаграмма напряжений Как мы увидим позднее, определение главных напряжений является необходимым промежуточным этапом при ведении расчетов на прочность. Не всегда необходимо определять все три главные напряжения .

Чаще всего положение одной из главных площадок и напряжение на ней в исследуемой точке может быть определено заранее. Тогда две другие главные площадки определяются в семействе площадок, перпендикулярных к первой .

При рассмотрении равновесия треугольной призмы (рис.

3.5б) мы получили выражения (3.4) и (3.5), выражающие величины нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке:

1 sin 2, 1 cos 2 .

Эти выражения представляют собой координаты точки А окружности (рис. 3.6а), построенной в осях, параллельных напряжениям 1 и 2 (рис. 3.6б). Центр круга находится на оси в точке D на расстоянии 1 от начала координат. Радиус круга DA равен 1 .

Полученный круг называется кругом Мора .

Рис. 3.6

Координаты точки А определяют величины нормального и касательного напряжений, что соответствует формулам (3.4) и (3.5), на пло-щадке, повернутой на угол относительно площадки, где имеется

1. Координаты точки F соответствуют напряжениям на площадке, повернутой на угол – 90° относительно исходной. Отрезок DG определяет величину наибольшего касательного напряжения 12 1, что было получено в этом разделе ранее. Напряжения на на всех площадках кубика, повернутого на угол относительно исходного положения, показаны на рис. 3.6в. Приведенный порядок определения напряжений на площадках, повернутых относительно главных на угол, называется прямой задачей. Положительная величина угла отсчитывается против часовой стрелки. Касательное напряжение считается положительным, если оно направлено против часовой стрелки относительно точки внутри кубика .

С помощью круга Мора может быть решена и обратная задача:

известны нормальные и касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках, по которым необходимо определить главные напряжения и ориентацию главных площадок относительно исходных. Порядок построения аналогичен показанному на рис. 3.6а. В качестве исходных величин служат напряжения,, 90o. Центр o круга определяется отрезком ОD; OD =. Радиус – отрезком AD = 90o

–  –  –

3.3. Обобщенный закон Гука Установим общие зависимости между нормальными напряжениями и линейными деформациями в направлениях этих напряжений, пригодные для любого напряженного состояния. Рассмотрим бесконечно малый элемент, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда;

предположим, что на гранях элемента возникают напряжения растяжения x, y, z (рис. 3.7) .

<

–  –  –

При центральном растяжении (сжатии) в нормальных сечениях бруса возникают одни нормальные напряжения. Условие прочности в данном случае имеет вид max [] .

Здесь допускаемое напряжение [] вполне определяется механическими испытаниями материала на растяжение (сжатие) и условиями работы детали .

Если в рассматриваемом сечении имеются одни касательные напряжения (чистый сдвиг), то условия прочности запишутся так:

max [], где [] определяется механическими испытаниями материала на сдвиг (срез) и условиями работы детали .

Оценку прочности детали, находящейся в сложном напряженном состоянии, когда в данной точке на данной площадке одновременно действуют и, произвести на основании эксперимента затруднительно .

Для такой оценки прочности деталей служат теории прочности, которые строятся на основе различных критериев прочности. Критерий прочности устанавливается на основании гипотез возникновения текучести материала или его разрушения. Каждому критерию прочности соответствует своя теория прочности .

Предельным будем называть такое состояние, при котором происходит качественное изменение свойств материала. Предельное напряженное состояние наиболее полно изучено экспериментально для простейшего случая – одноосного растяжения. Поэтому целесообразно сравнивать исследуемое сложное напряженное состояние с одноосным растяжением, устанавливая их эквивалентность. Эквивалентное напряжение экв – напряжение, которое следует создать в одноосно растянутом образце, чтобы его напряженное состояние стало равноопасным с исследуемым .

Применимость тех или иных теорий прочности должно проверятся экспериментально. Существует много теорий прочности. Рассмотрим некоторые из них, широко применяемые в тех или иных отраслях техники .

ТЕОРИЯ НАИБОЛЬШИХ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ (ТЕОРИЯ КУЛОНА). Согласно этой теории, сложное напряженное состояние эквивалентно простому – растяжению, если максимальное значение касательных напряжений в случае сложного напряженного состояния равно максимальному значению касательных напряжений для простого напряженного состояния .

При сложном напряженном состоянии max 1 (3.13) .

При простом напряженном состоянии (одноосном растяжении образца) max экв.

(3.14) Условие равнопрочности элемента и образца из одного и того же материала получим, приравнивая выражения (3.13) и (3.14):

экв = 1 – 3 .

Условие прочности здесь имеет вид экв [] или 1 – 3 []. (3.15)

Допускаемые напряжения определяются как отношение предельных напряжений пред к запасу прочности [n]:

пред .

n Рассматриваемая теория (называемая часто третьей) устанавливает условия начала текучести, а не разрушения. Следовательно, данная теория должна применяться для пластичных материалов. Она дает хорошие результаты при одинаковых пределах текучести материала при растяжении и сжатии .

ТЕОРИЯ МОРА. Если материал неодинаково работает на растяжение и сжатие, более удобно применять теорию Мора, согласно которой экв = 1 – 3, где K = [р]/[с] ([] – допускаемое напряжение при растяжении, [с] – допускаемое напряжение при сжатии) .

Возможны частные случаи: если [р] = [с], то получим теорию Кулона; если [] [с], то можно принять К 0. Тогда 3 = 1 []. Такой подход применяется для хрупких материалов. Часто ее называют пятой теорией прочности .

ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ. Согласно этой теории объемное и одноосное напряженные состояния будут равноопасными при равенстве энергий изменения формы. Эта теория дает хорошие результаты для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. Она хороша еще тем, что учитывает одновременно 1, 2, 3. Ее называют энергетической или четвертой теорией прочности .

Условие прочности в этом случае имеет вид 1 2 2 3 3 1 .

экв (3.16) 2 Особенности применения приведенных теорий прочности и способы определения эквивалентных напряжений будут рассмотрены далее применительно к различным случаям деформирования элементов конструкций и условиям их работы .

Рассмотрим на примерах использование полученных нами зависимостей .

Пример 3.1 .

Стальной кубик находится под действием сил, создающих плоское напряженное состояние: x 90 МПа, y 80 МПа, (рис. 3.9).

Требуется найти:

– главные напряжения и направление главных площадок;

– максимальные касательные напряжения;

– главные деформации 1, 2, 3 ;

– эквивалентное напряжение экв по четвертой (энергетической) IV теории прочности;

– относительное изменение объема .

–  –  –

Решение. При выполнении этой задачи необходимо руководствоваться следующим правилом знаков для нормальных и касательных напряжений: растягивающее нормальное напряжение положительно, а сжимающее – отрицательно. Касательное напряжение по боковой грани призмы положительно, если изображающий его вектор стремится вращать призму против часовой стрелки относительно любой точки, лежащей на внутренней нормали этой грани .

Расставим знаки в исходных данных в соответствии с направлением напряжений на рис. 3.9. Получим: x = 90 МПа, y = – 80 MПa, xy = = 50 МПа, yx = – 50 МПа .

1. Найдем главные напряжения:

x y y

–  –  –

x y 90 80 170 Положительный угол откладывается против часовой стрелки от площадки с большим нормальным напряжением (в данном случае x, рис. 3.10) .

–  –  –

5. Найдем относительное изменение объема 1 2 3 65,8 105 1,5 105 62,3 105 2 105 .

Пример 3.2 .

Проверить прочность конструкции, если в опасной точке имеет место указанное на рисунке напряженное состояние .

Дано: пчр 150 МПа, пчс 600 МПа, n 5 .

–  –  –

Вариант 1. Напряженное состояние является объемным, причем одно из главных напряжений уже известно .

Для определения двух других главных напряжений воспользуемся формулами для плоского напряженного состояния.

Имеем:

max 0,5 x y x y 4 xy

–  –  –

1. Что такое компоненты напряженного состояния? Сколько их?

Сколько из них независимых? Как определяются их знаки?

2. Как понимать утверждение, что компоненты напряженного состояния полностью определяют напряженное состояние в данной точке?

3. Что такое главные площадки? Сколько их? Как они взаимно ориентированы? Чему равны касательные напряжения на этих площадках?

4. Какие напряжения называются главными? Как они обозначаются и соотносятся между собой?

5. Как определить главные напряжения в точке бруса в общем случае его нагружения?

6. Что такое удельная потенциальная энергия изменения объема и удельная потенциальная энергия изменения формы?

7. Какие напряженные состояния называются подобными?

8. Что положено в основу сравнения двух напряженных состояний в гипотезах прочности? Почему сложное напряженное состояние обычно сравнивается с одноосным?

9. Что такое эквивалентное напряженное состояние?

10. На основе какого критерия строится теория максимальных касательных напряжений? Для каких материалов она нашла широкое применение в расчетах?

11. Какой критерий равноопасности положен в основу энергетической теории прочности? Для каких материалов она используется?

12. Какая теория прочности используется для материалов различно сопротивляющихся растягивающим и сжимающим напряжениям?

4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ

–  –  –

При расчете стержней на растяжение-сжатие используют такую геометрическую характеристику сечения как площадь. При решении задач, связанных с изгибом и кручением, как это будет показано далее, требуется знание некоторых других геометрических характеристик сечений, к которым относятся статические моменты и моменты инерции .

Статический момент площади используется для определения положения центра тяжести плоской фигуры .

–  –  –

Для сечений, составленных из профилей стандартного проката, величина площади каждого профиля и остальные необходимые для расчетов размеры берутся из таблиц ГОСТа на прокатную сталь .

Рассмотрим на примерах порядок определения положения центра тяжести простейших фигур .

Пример 4.1 .

Определить координаты центра тяжести сечения, имеющего форму полукруга радиуса R (рис. 4.3) .

Решение. Центр тяжести находится на оси симметрии 0y, следовательно, надо найти лишь одну координату yc .

–  –  –

В процессе поворота осей, очевидно, центробежный момент инерции изменяется непрерывно, и, следовательно, при некотором положении осей он становится равным нулю. Эти оси и являются главными .

Хотя мы и установили, что главные оси можно провести через любую точку сечения, но практический интерес представляют только те из них, которые проходят через центр тяжести сечения – главные центральные оси. В дальнейшем, как правило, для краткости будем называть их просто главными осями, опуская слово «центральные» .

Рис. 4.8 Рис. 4.9

В общем случае сечения произвольной формы для определения положения главных осей необходимо провести специальное исследование. Здесь ограничимся рассмотрением весьма важных частных случаев сечений, имеющих по меньшей мере одну ось симметрии (рис. 4.9) .

Проведем через центр тяжести сечения ось 0х, перпендикулярную оси симметрии 0у, и определим центробежный момент инерции J xy .

Воспользуемся известным из курса математики свойством определенного интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов) и представим

J xy в виде двух слагаемых:

J xy xydF xydF xydF, F F1 F2 где F1 и F2 – части сечения, расположенные соответственно справа и слева от оси симметрии. Очевидно, xydF xydF, F1 F2 так как для любой элементарной площадки, расположенной справа от оси симметрии, есть соответствующая – слева, для которой произведение координат отличается лишь знаком .

Таким образом, центробежный момент инерции относительно осей 0х и 0у оказался равным нулю, т.е. это главные оси. Итак, для нахождения главных осей симметричного сечения достаточно найти положение его центра тяжести. Одной из главных центральных осей является ось симметрии, вторая – ей перпендикулярна .

Конечно, приведенное доказательство остается в силе, если ось, перпендикулярная оси симметрии, проходит и не через центр тяжести сечения, т.е. ось симметрии и любая ей перпендикулярная образуют систему главных осей. Но нецентральные главные оси интереса не представляют .

Осевые моменты инерции относительно главных центральных осей называются главными центральными (или сокращенно главными) моментами инерции. Относительно одной из главных осей момент инерции максимален, относительно другой – минимален (доказательство этого положения будет дано ниже). Например, для сечения, изображенного на рис. 4.9, максимальным является момент инерции J xy (относительно оси 0х). Конечно, говоря об экстремальности главных моментов инерции, имеется ввиду лишь их сравнение с другими моментами инерции, вычисленными относительно осей, проходящих через ту же точку сечения .

Некоторые типы сечений, например круг, квадрат, правильный шестиугольник и др. (рис. 4.10), имеют бесчисленное множество главных центральных осей. Для этих сечений любая центральная ось является главной .

–  –  –

Учитывая, что S x = 0 и S y = 0, окончательно имеем:

(4.15) J x1 y1 J x0 y0 acF .

При применении этой формулы величины а и с надо подставлять с их знаками, устанавливаемыми на основании очевидного положения, что а и с представляют собой координаты начала одной из систем координат в другой системе. Так, при расположении осей по рис. 4.11 величины а и с положительны, если рассматривать их как координаты точки 0 в системе координат х10у1. Обе эти величины отрицательны, если считать их координатами точки в системе х00у0. При том и другом толковании произведение ас положительно, а на окончательный результат влияют не знаки а и с в отдельности, а только знак их произведения .

Пример 4.5 .

Определить главные центральные моменты инерции таврового сечения, изображенного на рис. 4.12. Размеры фигуры в мм .

–  –  –

Главная ось y совпадает с центральными осями составляющих фигуру прямоугольников, поэтому при вычислении J y не понадобилось использовать зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей .

4.5. Связь между моментами инерции при повороте осей Установим, как изменяются величины осевых и центробежного момента инерции при повороте осей координат на произвольный угол (рис. 4.13) .

–  –  –

Контрольные вопросы

1. Для чего нужно знать геометрические характеристики сечений?

2. Что называется центральной осью сечения? Что такое центр тяжести сечения? Покажите, что ось симметрии является центральной осью .

3. Как определить положение центра тяжести сечения по известным его статическим моментам и площади?

4. Что такое полярный и осевые моменты инерции?

5. Как связаны между собой полярный и осевые моменты инерции фигуры?

6. От чего зависят знак и величина центробежного момента инерции? Какие оси называются главными осями инерции?

7. Как связаны моменты инерции фигуры относительно параллельных координатных осей? Как упрощается эта связь, если одна из осей центральная?

8. Относительно каких осей осевые моменты инерции принимают экстремальные значения? Чему равны эти значения?

9. Какие оси и какие моменты инерции называются главными?

10. Напишите значения моментов инерции для простых сечений:

прямоугольника, треугольника, круга, полукруга .

11. В какой последовательности определяется положение главных центральных осей для составных сечений?

5. КРУЧЕНИЕ

5.1. Чистый сдвиг. Основные определения Если на брус действуют две равные силы P, весьма близко расположенные друг к другу, перпендикулярные к оси бруса и направленные в противоположные стороны, как это бывает при разрезании металлических прутков или листов ножницами (рис. 5.1), то при достаточной величине сил происходит срез – левая часть тела отделяется от правой. Характерным для среза является близость расположения сил P. Деформация, предшествующая срезу, заключается в перекашивании прямых углов элементарного параллелепипеда. Деформация эта называется сдвигом .

Сдвиг – это тип простой деформации бруса, при которой в его поперечных сечениях из внутренних силовых факторов действуют только силы в плоскости сечения. Эти силы называются поперечными (сдвигающими). Они вызывают касательные напряжения или напряжения сдвига .

В процессе растяжения бруса из малоуглеродистой стали в области пластических деформаций (на площадке текучести) также наблюдаются деформации сдвига, обусловленные скольжением одних частей материала по другим. В чистом виде осуществить сдвиг внешними воздействиями затруднительно, так как он часто сопровождается изгибом и другими деформациями .

Рис. 5.1

Рассмотрим приведенный на рис. 5.1 пример деформирования тела – перерезание тонкой полосы. Закрепим полосу плоскостью по линии 1–4 и рассмотрим сдвигаемый элемент в виде, показанном на рис. 5.1б .

Действие отброшенной правой части на левую представим сдвигающими усилиями, равнодействующая которых приводится к поперечной силе Q, равной по величине внешней силе Р .

В сечении возникают касательные напряжения. Суммируя их по всей площади F, получаем поперечную силу

–  –  –

Таким образом: чистым сдвигом называется такой случай плоского напряженного состояния, при котором в окрестности данной точки можно выделить элементарный параллелепипед с боковыми гранями, находящимися под действием одних лишь касательных напряжений (рис. 5.2) .

5.2. Чистое кручение. Эпюры крутящих моментов Кручение (чистое кручение) – такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор – крутящий момент, обозначаемый обычно z или Мк .

Он является результирующим моментом относительно продольной оси бруса внутренних касательных сил, возникающих в его поперечном сечении. При этом поперечные сечения поворачиваются одно относительно другого вокруг продольной оси бруса и в них возникают касательные напряжения .

Обычно крутящие моменты возникают под действием внешних скручивающих моментов: сосредоточенных – m (или T) и распределенных – m(z). Брус, работающий на кручение, называется валом. Внешние моменты передаются на вал, как правило, в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес и т.п .

Различают брусья: а) круглого сечения; б) некруглого сечения;

в) тонкостенного сечения (открытого и замкнутого контура). Гипотеза плоских сечений справедлива только для брусьев круглого сечения. Некруглые сечения в процессе деформировании (кручения) претерпевают депланацию, т.е. сечение становится неплоским, и расчет для них приводится методами теории упругости. Для тонкостенных брусьев, независимо от очертаний сечения, вводят ряд упрощений, позволяющих получить решение методами сопротивления материалов .

Крутящий момент в произвольном сечении бруса определяется методом сечений как алгебраическая сумма внешних активных и реактивных моментов, приложенных к отсеченной части:

z n M z m z dz mi, (5.10) i 1 o где mi – сосредоточенные моменты; m(z) – интенсивность распределенного момента .

Знак крутящего момента не имеет физического смысла. Принято считать крутящий момент положительным, если для наблюдателя, находящегося со стороны внешней нормали к сечению, он направлен по часовой стрелке .

Для расчета на прочность, так же как и при растяжении (сжатии) бруса, надо найти его опасное сечение. В случае, если размеры поперечного сечения по длине бруса постоянны, опасным сечением будет то, в котором крутящий момент имеет наибольшее значение. Распределение крутящего момента по длине бруса изображается в виде эпюры .

Выражение (5.10) используют при построении эпюр Мz(z) .

На рисунке 5.3а в изометрической проекции изображен брус, работающий на кручение под действием приложенных к нему скручивающих моментов. Наряду с этим изображением применяют и другое, показанное на рис. 5.3б, где показано нагружение этого же бруса парами сил. Во всех случаях будем считать, что алгебраическая сумма скручивающих моментов равна нулю, т.е. брус находится в равновесии .

Рис. 5.3 Рис. 5.4

На рисунке 5.4а, б изображен тот же брус в ортогональной проекции. При этом на рис. 5.4а дан еще один способ условного изображения внешних моментов – момент представлен в виде двух кружков. Кружок с точкой обозначает силу, направленную на наблюдателя (острие стрелы), а кружок с крестиком – силу, направленную от наблюдателя (хвостовое оперение стрелы) .

Применяя метод сечений и рассматривая равновесие оставшейся части (рис. 5.4в, г), приходим к выводу, что внутренние силы, возникающие в поперечном сечении бруса, должны создать момент (крутящий момент) уравновешивающий внешние моменты, приложенные к оставшейся части. Отметим, что для случая, изображенного на рис. 5.4, внешние нагрузки представлены только в виде сосредоточенных скручивающих моментов, приложенных в соответствующих сечениях по длине бруса (вала) .

Итак, крутящий момент, возникающий в произвольном поперечном сечении бруса, численно равен алгебраической сумме скручивающих моментов, приложенных к оставленной части .

5.3. Напряжения и перемещения при кручении бруса круглого поперечного сечения

Теория кручения бруса круглого сплошного или кольцевого поперечного сечения основана на следующих допущениях:

1. Поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси и при деформации (гипотеза плоских сечений Бернулли) .

2. Расстояния между поперечными сечениями в процессе деформации не изменяются .

3. Радиусы поперечных сечений при деформации бруса не искривляются .

4. Материал бруса при деформации следует закону Гука (как и во всех случаях, рассматриваемых в курсе «Сопротивление материалов») .

Представление о характере деформации можно получить, подвергая скручиванию резиновую модель бруса с нанесенной на ее поверхности сеткой продольных и поперечных рисок (рис. 5.5а) .

Рис. 5.5

Поперечные риски не искривляются, и расстояния между ними не изменяются, что можно рассматривать как подтверждение первого и второго допущений. Продольные риски превращаются в винтовые линии (рис. 5.5б), которые вследствие малости расстояния между поперечными рисками можно на этом участке условно считать прямыми .

Справедливость принятых допущений подтверждается, кроме того, и тем, что полученные на основе их формулы совпадают с формулами, полученными в теории упругости без этих допущений, и хорошо согласуются с экспериментальными данными .

Рассмотрим брус, жестко защемленный одним концом и нагруженный на свободном конце скручивающим моментом m (рис. 5.6). При деформации бруса его поперечные сечения повернутся на некоторые углы по отношению к своему первоначальному положению или, что, тоже самое, по отношению к неподвижному сечению (заделке). Угол поворота будет тем больше, чем дальше отстоит данное сечение от заделки. Так, для произвольного сечения I, отстоящего от заделки на расстояние z, он равен, а для сечения II – + d. Здесь d – угол поворота сечения II относительно I, или угол закручивания элемента бруса длиной dz. Вообще угол поворота произвольного сечения равен углу закручивания части бруса, заключенной между этим сечением и заделкой. Таким образом, угол поворота торцевого сечения представляет собой полный угол закручивания рассматриваемого бруса .

Применяя метод сечений, легко убедиться, что крутящий момент во всех поперечных сечениях бруса одинаков: Mz = m. Выразим его через касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении. При этом учтем, что в любой точке поперечного сечения касательное напряжение направлено перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку (рис. 5.7) .

<

Рис. 5.6 Рис. 5.7

Такое направление напряжений следует из характера деформации: при повороте произвольного поперечного сечения (рис. 5.6) каждая его точка (кроме лежащей на оси бруса) перемещается по дуге окружности, концентричной контуру сечения. Иными словами, направление этого перемещения, а значит и возникающего в этой точке касательного напряжения, перпендикулярно соответствующему радиусу .

Установим связь между касательными напряжениями и крутящим моментом .

Элементарная касательная сила, приходящаяся на площадку dF, равна dF, а ее момент относительно оси z (точки 0):

dM z ( dF ) .

Суммируя эти элементарные моменты, получаем выражение для крутящего момента:

M z dF. (5.11) F

–  –  –

В частном случае, если диаметр бруса постоянен и крутящий момент имеет во всех сечениях одинаковое значение, Ml z. (5.16) GJ Все приведенные формулы дают значение угла в радианах, что необходимо помнить, если возникает необходимость определения угла закручивания в градусах .

Если на боковой поверхности скручиваемого бруса (рис. 5.5) выделить прямоугольный элемент с гранями параллельными и перпендикулярными его оси (рис. 5.10), то на грани перпендикулярной оси возникнет касательное напряжение, определяемое формулой (5 .

13). В соответствии с законом парности касательных напряжений и на других гранях также возникнут касательные напряжения равные по модулю и направленные так, как показано на рис. 5.10. Таким образом, можно утверждать, что боковая поверхность скручиваемого бруса находится в состоянии чистого сдвига. Такая же ситуация будет и на других аналогичных площадка внутри бруса. Таким образом, характер напряженного состояния во всех точках бруса (кроме точек, лежащих на его оси, в которых вообще не возникает напряжений) одинаков – это чистый сдвиг, различны лишь величины напряжений .

–  –  –

Учитывая, что по экспериментальным данным предел текучести при кручении связан с пределом текучести при растяжении зависимостью, т (0,550,60) т, для стали принимают:

[] (0,550,60) [р];

для чугуна принимают:

[] (1,01,2) [р] .

Указанные значения допускаемых напряжений можно принимать лишь в случае чистого кручения. Практически на кручение обычно рассчитывают валы, которые, помимо деформации кручения, испытывают также изгиб. В этом случае применяют такую последовательность действий: в начале размеры вала принимают исходя из расчета только на кручение с использованием пониженной величины допускаемого напряжения на кручение, затем, после определения основных размеров корпуса устройства (например, редуктора), где размещается вал, и всех необходимых его размеров (пролетов) и действующих нагрузок, выполняют полную проверку прочности с учетом крутящих и изгибающих моментов (см. раздел 8). В случае необходимости, диаметр вала может быть изменен в большую или меньшую сторону .

При расчете редукторов обычно для быстроходных валов из конструкционной углеродистой стали принимают [т] = 1215 H/мм2, а для тихоходных [т] = 2030 H/мм2 .

Во многих случаях вал должен быть рассчитан не только на прочность, но и на жесткость при кручении. В качестве меры жесткости при кручении принимают относительный угол закручивания (угол закручивания на единицу длины) вала, обозначаемый ( ) .

l Допускаемые значения относительных углов закручивания [] различны и зависят от назначения изделия. В курсе деталей машин этот вопрос будет рассмотрен применительно к проектированию зубчатых передач. В качестве наиболее распространенных значений [] можно указать [] = (4,3817,5) 10–3 рад/м = (0,251,0) град/м .

Условие жесткости при кручении имеет вид M z. (5.22) GJ При проектном расчете отсюда определяют требуемую величину J, а затем по формуле (3.8) или (3.9) вычисляют диаметр вала. Из двух значений диаметра вала, определенных из расчетов на прочность и жесткость, в качестве окончательного (исполнительного размера) должен быть, конечно, принят больший .

5.5. Кручение бруса прямоугольного сечения При кручении некруглых брусьев гипотеза плоских сечений неприменима, так как отдельные точки сечения при деформации неодинаково смещаются вдоль оси бруса и в результате поперечные сечения депланируют. Для целого ряда сечений, в частности для прямоугольного, эта задача решена методами теории упругости .

Характер деформации скручиваемого бруса прямоугольного сечения можно наблюдать на резиновой модели с нанесенной на ее поверхности сеткой продольных и поперечных рисок (рис. 5.12а). Примерный вид деформированного бруса показан на рис. 5.12б .

Эпюры касательных напряжений для точек контура поперечного сечения показаны на рис. 5.13. В указанных точках напряжения направлены вдоль контура. Наибольшие касательные напряжения возникают в точках, лежащих в серединах больших сторон сечения (точка А), и определяются по формуле Mz max. (5.23) Wк Wк – геометрическая характеристика прочности прямоугольного бруса (момент сопротивления) при его работе на кручение. Эта характеристика играет в расчетах прямоугольных брусьев ту же роль, что и полярный момент сопротивления для брусьев круглого сплошного и кольцевого поперечных сечений. Значение Wк определяется в зависимости от абсолютных размеров сечения и соотношения его сторон по формуле Wк = ab2h, (5.24) где а – табличный коэффициент, зависящий от отношения h:b; b – меньшая и h – большая стороны прямоугольника .

–  –  –

Все приведенные здесь формулы справедливы и для брусьев некруглого сечения при замене Jp на Jк .

Ниже на примерах рассмотрим особенности применения полученных в данном разделе выводов .

Пример 5.1 .

Прямолинейный круглый стальной стержень ступенчато-переменного диаметра жестко защемлен одним концом и нагружен системой трех внешних крутящих моментов (рис. 5.14а), причем М1 = 2М;

М2 = 1,5М; М3 = М, а М = 20 кНм. Требуется:

1. Построить эпюры крутящих моментов МК, абсолютных и относительных углов закручивания стержня, эпюру наибольших касательных напряжений max в сечениях по всей длине стержня .

2. Из условий прочности и жесткости подобрать диаметры сплошного стержня для каждого участка, приняв в расчетах модуль сдвига G = = 0,8105 МПа, допускаемое напряжение материала стержня (сталь) на срез [] = 100 МПа, допускаемый относительный угол закручивания [] = = 0,4 град/м. Полярные моменты инерции и длины участков показаны на рис. 5.14а .

Решение. Обозначим цифрами характерные сечения на стержне .

Имеем для II и III участков J,II J,III J d 4 / 32, W,II W,III W d 3 /16, (а) где через d обозначен диаметр стержня в пределах этих участков .

–  –  –

M кBC 0,44 кНм; M кAB 1,56кНм .

По найденным значениям строим эпюру крутящих моментов. Для этого рассматриваем последовательно участки ЕD, DC, CB и CA. Крутящие моменты, действующие на этих участках, уже вычислены .

–  –  –

Величина крутящего момента на каждом участке не зависит от положения сечения в пределах участка (крутящий момент постоянен), поэтому эпюра крутящих моментов ограничена отрезками прямых (рис .

5.16б). Построенная эпюра позволяет найти опасное сечение, т.е. такое, в котором действует максимальный (по модулю) крутящий момент .

В рассматриваемом примере опасными будут сечения в пределах участка АВ; расчетное значение крутящего момента M кр 1,56 кНм .

max

–  –  –

1. Какой вид нагружения называется кручением?

2. Что называется валом?

3. Как вычисляется скручивающий момент, передаваемый шкивом, по заданной мощности и числу оборотов в минуту?

4. Что такое эпюра крутящего момента и как она строится?

5. Перечислите гипотезы, принимаемые в теории кручения прямого вала круглого поперечного сечения .

6. Какие напряжения возникают в поперечном сечении круглого вала при кручении и как они направлены?

7. Напишите формулу для определения напряжений в поперечном сечении скручиваемого круглого вала .

8. Какое напряженное состояние возникает в каждой точке круглого вала при кручении?

9. Напишите формулу для определения относительного и полного угла закручивания круглого вала .

10. Что называется жесткостью сечения при кручении?

11. Что называется полярным моментом сопротивления, в каких единицах он выражается и чему равен (для круга и кольца)?

12. Чем объясняется, что вал кольцевого сечения при кручении экономичнее вала сплошного сечения?

13. Чему равны наибольшие касательные напряжения и наибольшие главные напряжения в скручиваемом вале круглого сечения? В каких точках они возникают?

14. Чему равна потенциальная энергия деформации кручения вала круглого сечения? Запишите соответствующую формулу .

15. Как производится расчет вала на прочность при кручении?

16. Как выбираются допускаемые напряжения при расчете на кручение?

17. Как производится расчет вала на жесткость при кручении?

6. СОЕДИНЕНИЯ ДЕТАЛЕЙ МАШИН

В процессе изготовления машины некоторые ее детали соединяют между собой, при этом образуются неразъемные или разъемные соединения .

Неразъемными называют соединения, которые невозможно разобрать без разрушения или повреждения деталей. К ним относятся заклепочные, сварные и клеевые соединения .

Разъемными называют соединения, которые можно разбирать и вновь собирать без повреждения деталей. К разъемным соединениям относятся резьбовые, шпоночные, зубчатые (шлицевые) и др .

Ниже будут рассмотрены практические расчеты на прочность соединений, а также особенности их конструирования. В основном рассматриваемые конструкции работают на срез и растяжение, что делает логичным рассмотрение этого раздела, относящегося к курсу «Детали машин», сразу после рассмотрения теоретических основ расчета на растяжение и срез в разделе «Сопротивление материалов». Шпоночные и зубчатые соединения будут рассмотрены отдельно после расчета валов и осей в разделе «Детали машин» .

–  –  –

В настоящее время заклепочные соединения применяют: в конструкциях, воспринимающих значительные вибрационные и ударные нагрузки при высоких требованиях к надежности соединения;

– при изготовлении конструкций из несвариваемых материалов (дюралюминий, текстолит и др.);

– в соединениях окончательно обработанных деталей, в которых применение сварки недопустимо из-за их коробления при нагреве .

Заклепочный шов образуют заклепки и склепываемые детали, выполненные в большинстве случаев из листового материала или профилей проката (рис. 6.1) .

–  –  –

Для образования замыкающей головки выступающий конец заклепки (рис. 6.1а) должен выходить из отверстия детали на длину lо 1,5dо .

Клепку производят на клепальных машинах (прессах) или вручную (пневматическими молотками). Сначала происходит осадка стержня, зазор между заклепкой и отверстием заполняется, после чего образуется замыкающая головка (рис. 6.1б). Стальные заклепки диаметром до 12 мм можно ставить холодным способом, то же относится к заклепкам из цветных металлов и сплавов. При горячем способе стальные заклепки нагревают до светло-красного каления. Этот способ обеспечивает более высокое качество заклепочного шва, так как заклепки укорачиваются при остывании и стягивают детали, создавая на стыке их поверхностей большие силы трения, препятствующие относительному сдвигу деталей при действии нагрузки .

Рассмотрим достоинства и недостатки применения заклепочных соединений .

Достоинства:

– высокая надежность соединения;

– удобство и надежность контроля качества шва;

– хорошая сопротивляемость вибрационным и ударным нагрузкам .

Недостатки:

– высокая стоимость, так как процесс получения заклепочного шва состоит из большого числа операций (разметка, продавливание или сверление отверстий, нагрев заклепок, их закладка, клепка) и требует применения дорогостоящего оборудования (станки, прессы, клепальные машины);

– большой расход материала, так как из-за ослабления деталей отверстиями под заклепки требуется увеличение площади сечений .

Кроме того, необходимость применения накладок и прочих дополнительных элементов также приводит к увеличению расходе материала .

6.1.2. Классификация заклепочных швов

В зависимости от назначения заклепочные швы бывают:

прочные, обеспечивающие основной критерий работоспособности

– прочность. Применяются в металлоконструкциях (фермы, рамы и др.);

плотные, обеспечивающие прочность и герметичность. Применяются в различных резервуарах. Часто плотные заклепочные швы заменяют сварными соединениями .

–  –  –

В зависимости от взаимного расположения склепываемых деталей различают заклепочные швы внахлестку (рис. 6.2) и встык, с одной (рис .

6.3) или с двумя (рис. 6.4) накладками .

В зависимости от числа рядов заклепок швы бывают однорядные (см. рис. 6.2) и многорядные (см. рис. 6.3 и 6.4). Для швов встык число рядов учитывается по одну сторону стыка .

В зависимости от числа плоскостей среза одной заклепки швы делят на односрезные (см. рис. 6.2 и рис. 6.3) и двухсрезные (см. рис. 6.4) .

6.1.3. Материалы заклепочных соединений. Допускаемые напряжения

Основными материалами склепываемых деталей являются малоуглеродистые стали Ст. О, Ст. 2, Ст. 3, цветные металлы и их сплавы .

К материалу заклепки предъявляются требования:

– высокая пластичность для облегчения процесса клепки;

– одинаковый коэффициент температурного расширения с материалом деталей во избежание дополнительных температурных напряжений в соединении при колебаниях температуры;

– однородность с материалом склепываемых деталей для предотвращения появления гальванических токов, сильно разрушающих соединения. Для стальных деталей применяются только стальные заклепки, для дюралюминиевых – алюминиевые, для медных – медные .

Таблица 6.2 Допускаемые напряжения для прочных стальных заклепочных швов при статической нагрузке

–  –  –

Заклепки изготовляют на высадочных автоматах из прутков малоуглеродистых сталей Ст. 10, Ст. 15, Ст. 2, Ст. 3, 20Г2, 12Х18Н9Т, 30ХМА из сплавов цветных металлов Л63, меди М2, и др .

Допускаемые напряжения для прочных и плотных швов различны .

В таблице 6.2 приводятся допускаемые напряжения для прочных стальных заклепочных швов в зависимости от марки стали, характера нагрузки и способа изготовления отверстий под заклепки .

6.1.4. Расчет заклепочных швов на прочность

Расчет на прочность – основной критерий работоспособности прочных заклепочных швов – основан на следующих допущениях:

– силы трения на стыке деталей не учитывают, считая, что вся нагрузка передается только заклепками;

– расчетный диаметр заклепки равен диаметру отверстия dо;

– нагрузка между заклепками распределяется равномерно .

–  –  –

3. По рекомендуемым соотношениям (6.5)–(6.10) определяют размеры элементов шва .

4. Из условий прочности на срез и смятие (6.1) и (6.2) определяют необходимое количество заклепок z, принимая большее из двух полученных значений .

5. Разрабатывают конструкцию заклепочного шва, уточняя при этом размеры элементов соединения .

6. Проверяют заклепочный шов:

а) на растяжение деталей по формуле (6.3);

б) на срез деталей заклепками по формуле (6.4) .

6.1.7. Рекомендации по конструированию заклепочных швов

1. Заклепки в шве располагают так, чтобы ослабление соединяемых деталей отверстиями было наименьшим .

2. Во избежание возникновения изгиба соединяемых деталей заклепки располагают на оси, проходящей через центр тяжести склепываемых деталей или симметрично относительно этой оси (рис. 6.7) .

3. Не рекомендуется в одном шве применять заклепки разных диаметров .

4. Для предотвращения поворота соединяемых деталей относительно друг друга, число заклепок в шве принимают не менее двух, т.е. z 2 .

Пример 6.1 .

Рассчитать заклепочное соединение (рис. 6.6а), загруженное статической осевой растягивающей силой Q = 74103 H. Материал полосы и проушины – сталь Ст. 3. Отверстия под заклепки сверленые. Ширина проушины b 100 мм, толщина полосы s = 6 мм .

Решение .

1. Принимаем для соединения полосы с проушиной двухрядный заклепочный шов внахлестку. Назначаем = 0,75 .

2. Определяем размеры сечения проушины с учетом ослабления ее отверстиями под заклепки. По таблице 6.2 для стали Ст. 3 [р] = 160 Н/мм2 .

По формуле (6.12) необходимая площадь сечения проушины Q 617 мм 2 .

F 0,75 160 p

–  –  –

6.2. Сварные соединения 6.2.1. Общие сведения о сварных соединениях Сварные соединения в настоящее время представляют собой основной тип неразъемных соединений. Они образуются путем местного нагрева деталей в зоне их соединения. В современном машиностроении применяют различные способы сварки, из которых наибольшее распространение получила электрическая. Технологические процессы различных способов сварки и области их применения рассматриваются в курсе «Технология металлов и конструкционные материалы» .

Основные виды электросварки – дуговая и контактная. Различают три разновидности дуговой сварки .

Автоматическая сварка под слоем флюса. Этот метод сварки высокопроизводителен и экономичен, дает хорошее качество шва. Применяется в крупносерийном и массовом производстве для конструкций с длинными швами .

Полуавтоматическая сварка под слоем флюса. Применяется для конструкций с короткими прерывистыми швами .

Ручная сварка. Применяется в тех случаях, когда другие способы дуговой сварки нерациональны. Качество шва зависит от квалификации сварщика .

Для дуговой сварки применяют электроды с различной обмазкой, которые маркируют по ГОСТу. Для сварки конструкционных сталей рекомендуются электроды: Э42, Э42А, Э46, Э46А, Э50, Э50А, Э55 и др .

Число после буквы Э обозначает минимальный гарантируемый предел прочности металла шва в кГ/мм2 (1 кГ 10 Н). Буква «А» обозначает гарантируемое получение повышенных пластических свойств металла шва (электрод имеет кислое покрытие, которое состоит в основном из оксидов железа и марганца; такие электроды технологичны, но токсичны). Буква «Б» – основу покрытия таких электродов составляют рутиловый концентрат (природный диоксид титана), который менее токсичен .

Контактная сварка применяется в серийном и массовом производстве при соединении внахлестку тонкого листового металла (точечная, роликовая сварки) или при соединении встык круглого и полосового металла (стыковая сварка) .

В дальнейшем рассматриваются соединения, выполненные электродуговой сваркой .

6.2.2. Достоинства и недостатки сварных соединений

Достоинства:

– невысокая стоимость соединения благодаря малой трудоемкости процесса сварки и простоты конструкции сварного шва;

– сравнительно небольшая масса конструкции (на 2030% меньше массы клепаной);

– герметичность и плотность соединения;

– возможность автоматизации процесса сварки;

– прочность сварного шва при статическом нагружении приближается к прочности основного материала .

Недостатки:

– коробление деталей из-за неравномерности нагрева в процессе сварки;

– возможность наличия внутренних дефектов в сварном шве (непровары, трещины, шлаковые включения), особенно при ручном процессе сварки;

– недостаточная надежность при значительных вибрационных и ударных нагрузках. По мере совершенствования процесса сварки этот недостаток проявляется в меньшей степени .

6.2.3. Конструктивные разновидности сварных соединений и типы швов В зависимости от взаимного расположения соединяемых элементов применяют следующие конструктивные разновидности сварных соединений: стыковые и соединения внахлестку .

1. Стыковые соединения. Эти соединения просты и наиболее совершенны. На рисунке 6.7 показаны различные варианты стыковых швов, выполняемых ручной электродуговой сваркой при различной толщине соединяемых элементов. При автоматической сварке происходит более глубокое проплавление металла, поэтому толщину свариваемых деталей без обработки кромок увеличивают примерно в два раза по сравнению с ручной, а при обработке кромок угол их скоса уменьшают .

Рис. 6.7 Выпуклость стыкового шва увеличивает концентрацию напряжений, поэтому в ответственных соединениях ее удаляют механическим способом .

Соединения встык наиболее надежные из всех сварных соединений, их рекомендуют в конструкциях, подверженных вибрационным нагрузкам. На рисунке 6.7 приведены примеры стыковых швов: а – односторонний без скоса кромок; б – односторонний со скосом кромок; в – двусторонний с двумя симметричными скосами одной кромки; г – двусторонний с двумя симметричными скосами двух кромок .

2. Соединения внахлестку. Эти соединения выполняют угловыми швами (рис. 6.8) которые могут иметь различную форму сечения:

а) нормальные (а) – их профиль представляет собой равнобедренный треугольник;

б) вогнутые (б) – их применяют в особо ответственных конструкциях при переменных нагрузках, так как вогнутость обеспечивает плавный переход шва в основной металл детали, благодаря чему снижается концентрация напряжений. Вогнутый шов повышает стоимость соединения, так как требует глубокого провара и последующей механической обработки для получения вогнутости;

в) выпуклые (в); они нерациональны, так как вызывают повышенную концентрацию напряжений;

г) специальные (г); их профиль представляет собой неравнобедренный прямоугольный треугольник. Применяются при переменных нагрузках, так как значительно снижают концентрацию напряжений .

За катет шва k принимают меньшую сторону вписанного в сечение шва равнобедренного треугольника. В большинстве случаев величину k .

принимают равной толщине s свариваемых деталей, но не менее 3 мм .

Рис. 6.8

В зависимости от расположения относительно нагрузки угловые швы бывают (рис.

6.9):

а) лобовые (а), расположенные перпендикулярно к линии действия нагрузки Q;

б) фланговые (б), расположенные параллельно линии действия нагрузки Q;

в) комбинированные (в), состоящие из сочетания лобовых и фланговых швов .

Рис. 6.9

При соединении внахлестку возникает изгибающий момент Mи = Qs (рис. 6.9а) от внецентренного действия растягивающих или сжимающих сил, что является существенным недостатком этих соединений .

3. Тавровые соединения. Свариваемые элементы (рис. 6.10) располагаются во взаимно перпендикулярных плоскостях. Соединение может выполняться угловыми (а) или стыковыми (б) швами .

–  –  –

6.2.6. Последовательность проектного расчета сварных соединений при осевом нагружении (см. решение примеров 6.2 и 6.3)

Исходные данные:

– величина осевой нагрузки Q и характер ее действия;

– материал соединяемых деталей;

– вид электросварки и марка электродов .

Последовательность расчета:

1. Задаются типом шва и формой его сечения в зависимости от конструкции свариваемых деталей .

2. Определяют допускаемые напряжения для сварного соединения .

3. Определяют общую расчетную длину швов lш. При соединении комбинированными швами определяют длину лобовых и фланговых швов .

4. Вычерчивают сварное соединение и уточняют размеры соединяемых деталей .

–  –  –

Пример 6.3 .

Рассчитать сварное соединение внахлестку равнобокого уголка 75x75x8, zо = 21,5 мм (ГОСТ 8509-97) с косынкой (см. рис .

6.12). Нагрузка осевая растягивающая переменная: Qmax = 138103 Н, Qmin = 46103 Н. Сварка ручная дуговая электродом Э50А. Материал уголка и косынки – сталь Ст. З .

Решение .

1. Для уменьшения длины перекрытия уголка с косынкой принимаем комбинированный угловой шов с нормальным сечением. Высоту катета шва принимаем равной толщине полки уголка, т.е. k = 8 мм .

2. Определяем допускаемое напряжение среза для сварного соединения. По таблице 6.3 для угловых швов при переменной нагрузке (см. примечание 2, б) ' 0,65 p, cp

–  –  –

Наибольшее распространение имеют резьбовые соединения вследствие их универсальности, простоты изготовления, надежности, удобства сборки и разборки, полной взаимозаменяемости. Они широко используются во всех отраслях техники. Основные детали резьбовых соединений – болты, винты, гайки и шайбы .

Рис. 6.13

Болт – это стержень с головкой 1 на одном конце и резьбой на другом, на который навинчивается гайка 3 (рис. 6.13а). Шайбы 2 подкладывают под головку болта или винта для увеличения опорной поверхности и снижения напряжений смятия при затяжке резьбового соединения;

для предохранения от повреждений защитных покрытий на соединяемых деталях; для обеспечения стопорения резьбовых соединений от самоотвинчивания. Болты применяют для соединения деталей относительно небольшой толщины, а также в том случае, когда материал деталей не обеспечивает требуемой надежности резьбы. При соединении болтами не требуется нарезать резьбу в соединяемых деталях .

Недостатки: в соединяемых деталях должно быть предусмотрено место для расположения головки болта и гайки. Поэтому масса болтового соединения несколько больше, чем соединения винтами .

Винт – это стержень с головкой на одном конце и резьбой на другом, которым он ввинчивается в резьбовое отверстие в одной из соединяемых деталей (рис. 6.13б). Соединение винтами применяют при отсутствии места под гайку и в том случае, если одна из деталей имеет относительно большую толщину .

Шпильки 4 используют вместо винтов (рис. 6.13в), когда материал соединяемой детали с резьбовым отверстием не обеспечивает требуемой прочности и надежности резьбы при частых сборках и разборках .

Например, в деталях из алюминиевых сплавов. Их также применяют в конструкциях, подверженных действию переменных нагрузок, так как в шпильке 4 отсутствует концентратор напряжений в месте перехода от стержня к головке болта или винта .

6.3.2. Основные типы резьб Основным элементом резьбового соединения является резьба, которая получается путем прорезания на поверхности деталей канавок по винтовой линии. Профиль резьбы определяется формой сечения витков в осевой плоскости. По назначению резьбы разделяют на крепежные, предназначенные для соединения деталей, и резьбы для ходовых механизмов. По направлению линии витков резьба может быть правой и левой, по числу заходов однозаходной и многозаходной .

Основной крепежной резьбой является метрическая резьба треугольного профиля со срезанными вершинами и впадинами (рис. 6.14а) .

Геометрические параметры (см. табл. 6.6) резьбы: наружный d, средний d2 и внутренний d1 диаметры, шаг резьбы р, угол профиля и число заходов n. Профиль резьбы также характеризуется высотой исходного треугольника резьбы и рабочей высотой профиля h. Номинальные диаметры d и d1 одинаковы для гайки и болта, зазоры образуются за счет предельных отклонений. Стандартом предусмотрена резьба (рис .

6.14б) с крупным и мелким шагом (р/3, р/4, р/5). Профили их геометрически подобны. Основной является резьба с крупным шагом. Резьба с мелким шагом имеет меньшую глубину и соответственно меньшую концентрацию напряжений. Применяют ее в конструкциях, подверженных динамическим нагрузкам, в малоразмерных и полых деталях .

–  –  –

Трубная резьба предназначена для герметичного соединения труб (рис. 6.15а). Она имеет также треугольный профиль, но со скругленными вершинами и впадинами .

Круглая резьба (рис. 6.15б) изготавливается накаткой и выдавливанием на тонкостенных металлических и пластмассовых деталях, а также литьем на чугунных, стеклянных, пластмассовых и других изделиях .

Трапецеидальная резьба используется в качестве основной резьбы для ходовых механизмов (рис. 6.16а). Она имеет меньшие коэффициенты трения и соответственно выше коэффициент полезного действия механизма. В осевом сечении эта резьба имеет форму равнобедренной трапеции .

Упорная резьба применяется при действии больших односторонних нагрузок (механизмы прессов, домкратов и др.) (рис. 6.16б). Она является разновидностью трапецеидальной резьбы со срезанной гранью с одной стороны .

–  –  –

Стальные резьбовые детали изготавливают 12 классов прочности, которые обозначаются двумя цифрами (табл. 6.5). Первое число, умноженное на 100, указывает минимальное значение предела прочности (МПа), второе, деленное на 10, указывает отношение предела текучести к пределу прочности .

6.3.3. Способы стопорения резьбовых соединений Все крепежные резьбы при стационарных нагрузках являются самотормозящимися, т.е. не самоотвинчиваются. Однако при случайных или систематических вибрациях, которым подвержены практически все механизмы, самоторможение не обеспечивается. Поэтому необходимо предохранять резьбовые соединения от самоотвинчивания, т.е. вводить их дополнительное стопорение. Осуществляется стопорение на двух принципах: повышением трения в резьбе и специальными фиксирующими элементами .

1. Стопорение дополнительным трением в резьбе при помощи контргаек, пружинных шайб и т.п. При стопорении контргайкой (рис .

6.17а), дополнительное трение в резьбе возникает за счет упругих сил растянутого участка болта между гайками. Пружинные шайбы (рис .

6.17б) представляют один виток цилиндрической винтовой пружины с квадратным сечением и заостренными краями. Вследствие большой упругости они поддерживают натяг в резьбе. Острые края шайбы, врезаясь в торцы гайки и детали, препятствуют самоотвинчиванию гайки .

–  –  –

2. Стопорение фиксирующими деталями, т.е. шплинтами (рис .

6.18а), проволокой (рис. 6.18б), различными стопорными шайбами с лапками, которые отгибают после завинчивания гаек или винтов (рис. 6.18в) .

–  –  –

Рис. 6.19

3. Стопорение приваркой (рис. 6.19а) или пластическим деформированием: расклепыванием (рис. 6.19б), кернением (рис. 6.19в) .

Применяются, когда соединение не требует разборки .

4. Стопорение с помощью краски, лака и клея применяют для резьбовых ненагруженных соединений .

–  –  –

Величина допускаемого напряжения для сталей принимается равной (0,2...0,4)Т при постоянной нагрузке и (0,08...0,12)Т при работе по отнулевому циклу (см. раздел 9) – (меньшие значения выбирают для болтов диаметром d1 = 6...16 мм, большие при d1 = 16...30 мм). Найденное значение диаметра d1 согласуют со стандартным .

–  –  –

Из полученной формулы следует, что наличие в резьбе одновременно растягивающих и крутящих напряжений повышает расчетное напряжение в болте примерно на 30% по сравнению со случаем простого растяжения. Таким образом, расчет болта на совместное действие растяжения и кручения можно заменить расчетом на растяжение, принимая для расчета не внешнюю нагрузку F, а увеличенную с учетом кручения Fpacч .

–  –  –

1. Каковы достоинства и недостатки заклпочных соединений?

2. Изложите последовательность расчета прочных заклепочных швов .

3. Какие требования следует предъявлять к материалам заклепок?

4. Что понимают под неразъемным соединением?

5. Где и когда применяются заклпочные соединения?

6. Каковы критерии прочностного расчта заклпок?

7. Какие допущения приняты в расчетах сварных соединений?

8. От чего зависят допускаемые напряжения для сварных соединений?

9. Что понимается под сварным соединением и сварным швом?

10. Какой профиль у нормального углового шва? Чему равен катет выпуклого шва?

11. Дайте классификацию резьб, применяемых в машиностроении .

12. Почему все крепежные детали применяют однозаходными с треугольным профилем?

13. Что называется шагом и ходом резьбы?

14. Когда в резьбовых соединениях следует применять шпильки?

15. Каковы способы стопорения резьбовых соединений?

16. Какие марки сталей применяют для изготовления резьбовых деталей?

17. Как определяют допускаемые напряжения при растяжении незатянутого болта, нагруженного растягивающей силой?

18. Какими достоинствами обладают соединения болтами, поставленными в отверстия из-под развертки?

7. ИЗГИБ

–  –  –

Изгиб – это такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникают изгибающие моменты. В данном разделе будет рассмотрен изгиб прямых брусьев. С геометрической точки зрения изгиб характеризуется тем, что ось бруса, прямолинейная до деформации, при изгибе становится кривой линией (говорят – изогнутая ось бруса) .

Деформация изгиба возникает при нагружении бруса силами, перпендикулярными к его продольной оси, и парами сил, действующими в плоскостях, проходящих через эту ось. В случае, если все нагрузки, а, следовательно, и реакции связей, действуют в одной плоскости, изгиб называют плоским. Под продольной осью изгибаемого бруса понимают, как и ранее, геометрическое место центров тяжести его поперечных сечений .

Ограничимся рассмотрением брусьев, поперечные сечения которых имеют, по меньшей мере, одну ось симметрии (см. раздел 4). Как известно, ось симметрии и перпендикулярная ей центральная ось, являются главными центральными осями сечения .

В случае, если силовая плоскость, т.е. плоскость действия нагрузок на брус, совпадает с одной из главных осей поперечного сечения (рис. 7.1), имеет место прямой изгиб. Линия пересечения силовой плоскости с плоскостью поперечного сечения называется силовой линией .

При прямом изгибе деформация происходит в силовой плоскости, т.е. в этой плоскости располагается изогнутая ось бруса .

Рис. 7.1

В общем случае при изгибе в поперечных сечениях бруса имеют место два внутренних силовых фактора: перерезывающая сила Q (Qy) и изгибающий момент Ми (Мx) (см. раздел 1.4). Если в поперечных сечениях бруса действует только один силовой фактор Ми, a Q = 0, то изгиб называется чистым. Если в поперечном сечении бруса действуют изгибающий момент и поперечная сила, то изгиб называется поперечным .

Для изгиба характерны два вида перемещений:

– искривление продольной оси Ох бруса, соответствующее перемещениям точек его оси в направлении оси y;

– поворот в пространстве одного поперечного сечения относительно другого, т.е. поворот сечения относительно оси x в плоскости х0у .

Изгибающий момент Ми и поперечная сила Q определяются методом сечений. В произвольном поперечном сечении бруса величина Q численно равна алгебраической сумме проекций на вертикальную ось всех внешних (активных и реактивных) сил, приложенных к отсеченной части; изгибающий момент Ми в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил и пар сил, расположенных по одну сторону от сечения. Прямой брус, воспринимающий в основном изгибающую нагрузку, называется балкой .

В общем случае задача изучения плоского изгиба сводится к следующему:

а) изучению внутренних сил, возникающих в сечениях балки;

б) установлению закона распределения напряжений по сечению;

в) подбору прочного размера поперечного сечения или проверке прочности при известных размерах поперечного сечения балки;

г) изучению линейных и угловых перемещений – прогибов и углов поворота поперечных сечений балок .

7.2. Поперечные силы и изгибающие моменты

В предыдущем параграфе было установлено, что при прямом поперечном, изгибе в поперечных сечениях бруса (балки) возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Qy и изгибающий момент

Мх. Зависимости между этими внутренними силовыми факторами и напряжениями в поперечном сечении бруса (см. 1.4) таковы:

Qy zy dA; M x z ydA .

A A Следовательно, в поперечных сечениях бруса в рассматриваемом случае изгиба возникают как касательные, так и нормальные напряжения. Приведенные зависимости между Qy и Мх и напряжениями не могут быть использованы для вычисления поперечных сил и изгибающих моментов, так как величины и законы их изменения пока неизвестны. Их определяют с помощью метода сечений через действующие на брус внешние силы .

Так же, как при изучении растяжения (сжатия) и кручения, для получения наиболее наглядного представления о характере изменения внутренних силовых факторов (Qy и Мх) по длине бруса и для нахождения его опасных сечений будем строить соответствующие графики – эпюры поперечных сил и изгибающих моментов .

Рис. 7.2

Брус (балку) будем изображать одной линией, к которой приложены заданные нагрузки. Эта линия представляет собой продольную ось бруса .

Рассмотрим двухопорную балку, изображенную на рис. 7.2а. Будем считать, что опорные реакции известны – они определяются из двух уравнений равновесия, составленных для балки в целом. Применим метод сечений и рассмотрим условия равновесия левой отсеченной части балки, показанной отдельно на рис. 7.2б. В проведенном поперечном сечении возникают два внутренних силовых фактора (Qy и Мх), заменяющих действие отброшенной части балки на оставленную. В том же сечении, но принадлежащем отброшенной части (рис. 7.2в), возникают такие же по величине, но противоположно направленные поперечная сила и изгибающий момент .

Внешние и внутренние силы, приложенные к оставленной части бруса, образуют плоскую систему параллельных сил, для которой, как известно, статика дает два уравнения равновесия .

Составим эти уравнения.

Возьмем сумму проекций на ось, параллельную силам, и сумму моментов относительно оси 0x, проходящей через точку K – центр тяжести проведенного сечения:

Y 0; VA qz Qy 0, откуда Qy VA qz .

z mK 0; VA z qz M K 0, qz 2 откуда M K VA z .

Для определенности при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов установим для них правила знаков. На рисунке 7.3 показан малый элемент, вырезанный из балки, и положительные (а) и отрицательные (б) направления поперечных сил и изгибающих моментов в его торцовых (поперечных) сечениях .

Поперечные силы считаются положительными, если они стремятся повернуть элемент по часовой стрелке .

Знак изгибающего момента связан с характером деформации бруса: изгибающий момент считается положительным, если элемент бруса изгибается выпуклостью вниз, т.е. таким образом, что его сжатые волокна находятся в верхней части .

–  –  –

Положительные ординаты поперечных сил и изгибающих моментов будем откладывать от продольной оси вверх .

Направления нагрузок на балку, принимаемые за положительные, приведены на рис. 7.4 .

–  –  –

7.3. Дифференциальные зависимости между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом Пусть на балку действует непрерывная распределенная нагрузка q(z) (рис. 7.5а). Двумя поперечными сечениями m–m и n–n выделим участок балки длиной dz. Полагаем, что на этом участке q(z) = const ввиду малости длины участка .

Внутренние силовые факторы Qy и Мx, действующие в сечении n–n при переходе к сечению m–m получают некоторое приращение и будут равны (Q + dQy) и (x + dMx). Рассмотрим равновесие элемента (рис.

7.5б):

–  –  –

7.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов Построение эпюр внутренних усилий производится следующим образом. Линия, параллельная оси балки, принимается за ось абсцисс, от которой в произвольном масштабе откладываются ординаты, соответствующие значениям Q или Ми, действующим в различных сечениях балки. Соединяя концы отложенных ординат, получаем эпюру Q или Ми .

Эпюры штрихуются вертикальными линиями, поскольку каждый такой штрих в принятом масштабе выражает величину соответствующего усилия в данном сечении .

Ординаты, выражающие величины положительных поперечных сил и изгибающих моментов, принято откладывать вверх от оси .

Ниже рассмотрим на примерах правила построению эпюр внутренних усилий в балках, нагруженных поперечной нагрузкой .

Пример 7.1 .

Построить эпюры Q и для балки пролетом l, нагруженной сосредоточенной силой (рис. 7.6а) .

Решение. Определяем опорные реакции. В силу симметрии

–  –  –

Таким образом, поперечная сила в пределах каждого из участков постоянна (рис. 7.6г), а изгибающий момент изменяется по линейному закону (рис. 7.6д).

Наибольший изгибающий момент получается в среднем сечении при z = 0,5l:

P l Pl M max .

Обращаем внимание, что в месте приложения сосредоточенной силы в т. С эпюра поперечных сил имеет скачок, причем величина скачка равна величине приложенной в этом сечении сосредоточенной силы P и направлен он в сторону ее действия. Эпюра моментов в этом месте претерпевает излом (острая точка), направленный навстречу сосредоточенной силе .

Пример 7.2 .

Построить эпюры Q и для балки пролетом l, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 7.7а) .

Рис. 7.7

Решение. В силу симметрии VA VB ql / 2. В сечении А поперечql ql ная сила равна, а в сечении В –. Между указанными сечениями Q изменяется по линейному закону (рис. 7.7в). Эпюра – парабола, направленная выпуклостью навстречу нагрузке. В опорных сечениях МА = = МВ = 0. В сечении (посередине пролета), где Q = 0, изгибающий момент имеет максимальное значение. Найдем его величину, беря сумму моментов всех сил, приложенных слева от этого сечения, относительно точки С (z = l/2, рис.

7.7б):

–  –  –

Поперечные силы и изгибающие моменты являются функциями абсцисс поперечных сечений балки. В параграфе 7.4, применяя метод сечений, мы сначала составляли аналитические выражения этих функций, а затем по полученным уравнениям строили эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Для рассмотренных простейших примеров такой путь приводил к цели достаточно быстро. В более сложных случаях значительно целесообразнее строить эпюры, вычисляя значения Q и только для сечений, совпадающих с границами участков, и лишь в отдельных случаях определяя некоторые промежуточные значения .

Ниже приводится ряд правил, используемых при таком способе построения эпюр (по характерным точкам). Некоторые из них являются следствиями из дифференциальных зависимостей между q, Qy и Мх, другие вытекают непосредственно из метода сечений .

1. Если на некотором участке балки отсутствует распределенная нагрузка, то эпюра Q – прямая, параллельная оси абсцисс, т.е. Q = const .

Эпюра моментов на этом участке – наклонная прямая, что следует из dM зависимости Q. В данном случае производная (Q) постоянна, слеdz довательно, сама функция () линейна .

2. Если на некотором участке балки имеется равномерно распределенная нагрузка, то эпюра Q – наклонная прямая, а эпюра – парабола (кривая второго порядка). Используя зависимость между Q и М, заключаем, что если производная Q изменяется по линейному закону, то функция, дающая закон изменения, квадратичная, т.е. имеет порядок на единицу выше .

3. Если на некотором участке:

а) Q 0, то изгибающий момент возрастает (слева направо);

б) Q 0, то изгибающий момент убывает;

в) Q = 0, тo изгибающий момент постоянен (чистый изгиб) .

4. Если поперечная сила, изменяясь по линейному закону, проходит через нулевое значение, то в соответствующем сечении изгибающий момент имеет экстремальное (максимальное или минимальное) значение (равенство нулю первой производной является признаком экстремума функции). Касательная к эпюре параллельна оси балки .

5. Под сосредоточенной силой на эпюре Q получается скачкообразное изменение ординат – скачок на величину приложенной внешней силы, а на эпюре – резкое изменение угла наклона (излом) смежных участков эпюры. Эту особенность эпюры еще называют «острой точкой» .

6. В точках, соответствующих началу и концу участка, в пределах которого к балке приложена распределенная нагрузка, параболическая и прямолинейная части эпюры сопрягаются плавно, конечно если на границах указанного участка не приложено сосредоточенных сил .

7. Если распределенная нагрузка направлена вниз, то парабола, представляющая собой эпюру М, обращена выпуклостью вверх, т.е .

«навстречу» нагрузке .

8. В сечении на свободном или шарнирно опертом конце балки изгибающий момент равен нулю, если там не приложена сосредоточенная пара сил, а если она приложена – равен моменту этой пары. Поперечная сила в этом сечении равна внешней сосредоточенной силе (активной или реактивной) .

9. Там, где к балке приложена сосредоточенная пара сил, на эпюре получается скачкообразное изменение ординат – скачок на величину момента этой пары. На эпюре Q это не отражается .

10. В сечении, совпадающем с заделкой, Q и численно равны соответственно опорной реакции и реактивному моменту .

Построение эпюр по характерным точкам с использованием изложенных правил рассмотрим на ряде примеров .

Пример 7.4 .

Построить эпюры Q и M для однопролетной балки с консолью (рис. 7.9) .

Решение. Определяем опорные реакции:

mA 0; P5a Pa VB 4a 0, откуда VB P .

mB 0; VA 4a Pa Pa 0, откуда VA P .

Для проверки правильности определения реакций составляем сумму проекций на ось параллельную силам:

VA VB P P P P 0 .

Таким образом, реакции определены верно. Данную проверку целесообразно выполнять при сложном сочетании нагрузок. Полученные величины опорных реакций входят в соответствующие выражения для определения Q и М, что может привести к ошибочному результату, если опорные реакции определены неверно .

В сечении на левой опоре QA = –1/8Р. Это значение сохраняется на всем протяжении участка I. В сечении на правом конце балки QС = Р. На участке II поперечная сила также постоянна. Построив эпюру Q для участков I и II, убеждаемся, что в месте приложения к балке сосредоточенной силы VВ = 9/8 на эпюре Q получился скачок на величину этой силы .

Для построения эпюры достаточно определить его значение в трех сечениях А, В и С и соединить полученные точки прямыми линиями (распределенной нагрузки нет). В сечении А изгибающий момент равен нулю (здесь нет внешней пары сил). Изгибающий момент в сечении В отрицателен (в этом легко убедиться, проводя произвольное сечение на участке I и рассматривая левую отсеченную часть, мысленно защемленную в проведенном сечении и нагруженную силой VA – она изгибает ее выпуклостью вверх) M B VA 4a P4a Pa .

–  –  –

как балка изгибается выпуклостью вверх .

В сечении В на эпюре получается скачок на величину m = 2qa2, причем, если эпюра строится, начиная справа, скачок получается вниз, так как момент m изгибает правую оставленную часть выпуклостью вверх. В сечении, бесконечно близком к В и лежащем слева от него, M B 3qa2. Остается cоединить прямой точки эпюры на границах учалев стка II. Эпюры Q и изображены на рис. 7.6. Параболический и прямолинейный участки эпюры на границе участков II и III не имеют плавного сопряжения (скачек на величину m = 2qa2) .

7.6. Нормальные напряжения при изгибе Ранее было установлено, что при поперечном изгибе в поперечных сечениях балки возникают нормальные и касательные напряжения .

В частном случае, когда поперечная сила равна нулю, имеет место чистый изгиб и в поперечных сечениях балки касательные напряжения отсутствуют. Этот случай рассмотрим в первую очередь.

Для выяснения закона распределения нормальных напряжений по поперечному сечению балки и вывода формулы, определяющей величину напряжения в произвольной точке поперечного сечения, будем исходить из следующих допущений:

– при чистом прямом изгибе справедлива гипотеза Бернулли, т.е .

поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси и после деформации;

– волокна бруса при его деформации не надавливают друг на друга .

Для повышения наглядности рассмотрим деформацию резиновой модели бруса с нанесенной на его поверхности сеткой продольных и поперечных рисок (рис. 7.11). При этом обнаружим, что поперечные риски, оставаясь прямолинейными, поворачиваются на некоторые углы и их параллельность нарушается, что подтверждает справедливость гипотезы Бернулли .

Рис. 7.11

По этим опытным данным можно заключить, что волокна на выпуклой стороне балки растягиваются, а на вогнутой сжимаются. Между сжатыми и растянутыми волокнами размещается слой волокон, который также искривляется, но не меняет своей длины. Такой слой называется нейтральным слоем. Пересечение этого слоя с поперечным сечением называется нейтральной осью (ось x). Ниже будет показано, что нейтральная ось будет проходить через центр тяжести поперечного сечения перпендикулярно силовой линии (ось y), т.е. они являются главными центральными осями сечения .

Для вывода формулы, определяющей величину нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении балки, рассмотрим балку, изображенную на рис. 7.12а. Определив опорные реакции (в силу симметрии VA = VB = ) и построив эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 7.12б, в), заключаем, что средняя часть балки (участок CD) находится в условиях чистого изгиба: поперечная сила во всех сечениях этого участка равна нулю. Двумя бесконечно близкими поперечными сечениями выделим из этого участка элемент длиной dz .

–  –  –

Пример 7.8 .

Определить при [] = 40 Н/мм2 и [с] = 120 Н/мм2 допускаемую нагрузку заданной чугунной балки (рис. 7.18а), предварительно выбрав рациональное расположение сечения .

Решение. Определив опорные реакции (показаны на рис. 7.18а), строим эпюру изгибающих моментов (рис. 7.18б) .

Наибольший изгибающий момент возникает в сечении С. Здесь балка изгибается таким образом, что сжатые волокна находятся сверху, поэтому сечение следует расположить полкой вниз, т.е. так, чтобы большая часть материала была в растянутой зоне .

Определяем допускаемую нагрузку из условия прочности балки в сечении С. На рисунке 7.19 показано положение нейтральной оси сечения (положение центра тяжести сечения было определено в примере 4.5). Расчет ведем по наибольшим растягивающим напряжениям, так как

–  –  –

Окончательно принимаем меньшее из двух найденных значений допускаемой нагрузки, т.е. 11,13 кН. Итак, опасным оказалось сечение В, хотя изгибающий момент в нем и не максимален .

На рисунке 7.19 показаны эпюры нормальных напряжений для сечений В и С, построенные при нагрузке, равной допускаемой. Напряжения равны допускаемым лишь в крайних верхних точках сечения В; в остальных точках как этого, так и всех остальных сечений, напряжения ниже допускаемых .

7.8. Касательные напряжения при поперечном изгибе Как было установлено ранее, при изгибе в поперечных сечениях балки возникают, кроме нормальных, касательные напряжения, вызываемые действием поперечной силы. По закону парности касательных напряжений действие их по какой-либо площадке вызывает равные по величине, но противоположные по направлению касательные напряжения по площадке, перпендикулярной первой. Следовательно, по площадкам, параллельным нейтральному слою (продольной оси балки), должны действовать касательные напряжения, что полностью подтверждается опытами. Найдем эти напряжения .

Действие продольных касательных напряжений при изгибе балок было впервые правильно оценено Д.И. Журавским, который также разработал и теорию касательных напряжений при изгибе балок прямоугольного сечения.

Его теория основывается на следующих допущениях:

– касательные напряжения в каждой точке поперечного сечения направлены параллельно поперечной силе Q;

– касательные напряжения распределяются равномерно по ширине поперечного сечения балки;

– как и в случае чистого изгиба при поперечном изгибе нормальные напряжения определяются с использованием гипотезы плоских сечений и предположения о ненадавливании волокон .

Для вывода зависимости (формула Журавского), определяющей закон изменения касательных напряжений по высоте сечения, рассмотрим балку прямоугольного поперечного сечения, защемленную одним концом и нагруженную на свободном конце силой (рис. 7.20) .

Двумя бесконечно близкими поперечными сечениями и продольным сечением, отстоящим на произвольном расстоянии у1 от нейтрального слоя, выделим из этой балки элемент, как показано на рис. 7.20. В крупном масштабе этот элемент показан в аксонометрической проекции на рис. 7.21. На рисунке 7.21б показаны нагрузки, действующие на выделенный элемент .

Изгибающий момент в поперечном сечении II–II рассматриваемой балки на бесконечно малую величину dMx больше, чем в сечении I–I (см .

рис. 7.20) .

Следовательно, и нормальные напряжения в сечении II–II на бесконечно малую величину d больше, чем в соответствующих точках сечения I–I (рис. 7.21б). Как мы указывали ранее, величина определяется по формуле (7.9) .

Рис. 7.20

Умножая нормальное напряжение в каждой точке рассматриваемых сечений на площадку его действия dF и суммируя результаты, найдем равнодействующие и + dN внутренних нормальных сил, возникающих, соответственно на левой и правой торцовых гранях выделенного элемента:

N dF ; N dN d dF .

Здесь значок у интеграла указывает на то, что суммирование ведется по той части площади поперечного сечения, которая принадлежит выделенному элементу (эту площадь обозначим ) .

–  –  –

Отметим, что принципиально безразлично, брать ли статический момент заштрихованной или всей остальной части сечения, так как по абсолютной величине они равны.

Подставляя в формулу (7.16) значение Sx, получаем:

bh 2 2 y1

–  –  –

7.9. Перемещения при изгибе. Основные понятия В ряде случаев работающие на изгиб элементы машиностроительных и строительных конструкций должны быть рассчитаны не только на прочность, но и на жесткость. К деталям, рассчитываемым на жесткость, относятся, в частности, валы зубчатых и червячных передач и многие части металлорежущих станков. Как известно из предыдущего, расчет на жесткость элемента конструкции, имеющего форму бруса, заключается в определении наибольших перемещений его поперечных сечений и сопоставлении их с допускаемыми, зависящими от назначения и условий эксплуатации данного элемента. Расчет на жесткость изгибаемых конструкций требует предварительного изучения вопроса о перемещениях поперечных сечений балок .

Рис. 7.25

Рассмотрим балку на двух опорах, нагруженную распределенной нагрузкой q, линия действия которой совпадает с одной из главных осей поперечного сеченая балки (рис. 7.25).При изгибе балки ее ось искривляется и, следовательно, точки, лежащие на ней, получают некоторые перемещения, которые, однако, настолько малы по сравнению с длиной балки, что направления их можно считать перпендикулярными первоначальному положению оси балки. Эти перемещения называются прогибами. Кривая, в которую обращается первоначальная ось балки под действием внешних сил, называется изогнутой осью балки или упругой линией (рис. 7.25) .

Прогибы в разных сечениях различны и зависят от расстояния z, отсчитываемого от принятого начала координат, например, совпадающего с точкой А, т.е. yx = f1(z). При z = 0 – уz = 0, а при z = l/2 он достигает наибольшего своего значения, т.е. ymax = f (буквой f обозначаем наибольший прогиб) .

Оси координат условимся располагать следующим образом. Начало координат примем на левом конце балки, ось z направим вправо по оси балки, а ось у – вверх. Это расположение осей координат даст возможность считать прогибы балки вниз отрицательными, а прогибы вверх

– положительными. Угол, составленный касательной к любой точке K изогнутой оси с первоначальным ее положением, условимся обозначать через. На основании гипотезы плоских сечений, пренебрегая искривлением сечений балки под действием поперечной силы Q, будем считать, что поперечное сечение балки, проведенное через произвольную точку K первоначальной оси, поворачивается при изгибе балки на тот же угол. Следовательно, угол выражает собой угловое перемещение поперечного сечения балки при изгибе и называется углом поворота сечения балки. Он равен первой производной по z от прогиба в этом сечении, т.е. = у’ .

Во многих случаях принятые сечения балки хотя и удовлетворяют требованию прочности, но недостаточно жестки, т.е. изогнутая ось имеет излишне большую кривизну, и прогибы их превышают допустимые пределы, установленные нормами проектирования. Поэтому, если задан допускаемый прогиб для балки, необходимое поперечное сечение подбирается и из условия жесткости .

Кроме расчета балок, ферм и других конструкций на жесткость, изучение деформаций изгибаемых балок необходимо еще для решения статически неопределимых задач при изгибе, когда требуется в дополнение к уравнениям статики, составлять недостающие уравнения из условий деформации оси балки .

Для определения изогнутой оси балки необходимо составить ее уравнение, т.е. выразить ординаты (прогибы балки) в функции от положения точек по длине балки, другими словами, найти зависимость у = f(z).

Чтобы найти эту зависимость, используем равенство (7.8), полученное при выводе формулы нормальных напряжений при изгибе:

1 Mx, EJ x и выражающее связь кривизны балки с изгибающим моментом и жесткостью сечения .

В высшей математике кривизна линии выражается через ее первую у' и вторую у" производные следующим образом:

y '' .

3/2 1 y ' 2 Эту зависимость можно упростить, имея в виду, что прогибы балок очень малы по сравнению с длиной балки, а углы наклона также не составляют величины, большей 1°. В знаменатель же правой части этой формулы входит (у')2 – тангенс угла наклона в квадрате, представляющий собой малую величину по сравнению с другой величиной, входящей в двучлен знаменателя, а поэтому ей можно пренебречь:

y '', т.е., кривизна балки приближенно равна второй производной от прогиба .

1M M Теперь формулу x, можно представить так: y '' x .

EJ x EJ x Напомним из математики, что знак второй производной зависит от направления осей координат, а именно: она будет иметь положительное значение, если радиус кривизны направлена в сторону положительной оси, и, наоборот, будет отрицательной, если радиус кривизны направлена в сторону отрицательной оси (рис. 7.26). Изгибающий момент, как мы условились, в первом случае будет положителен, во втором – отрицателен. Таким образом, при направлении оси 0у вверх в уравнении M y '' x нужно оставить знак плюс, а при направлении оси 0у вниз – EJ x знак минус .

Рис. 7.26

В дальнейшем будем направлять ось у всегда вверх, тогда дифференциальное уравнение примет вид:

M y '' x. (7.18) EJ x Полученное уравнение (7.18) называется приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси балки .

Для балок постоянного сечения его обычно записывают в виде EJ x y '' M x. (7.19) Существует несколько методов решения этого уравнения, два из которых – метод начальных параметров и метод Мора – рассмотрим ниже .

7.9.1. Определение перемещений в балке методом интегрирования дифференциального уравнения упругой линии (метод начальных параметров) Правая часть зависимости (7.19) представляет собой уравнение изгибающих моментов, т.е. аналитическое выражение закона изменения изгибающего момента по длине балки, которое легко составить для любой статически определимой балки .

Итак, выражение второй производной исследуемой функции можно считать известным. Для нахождения первой производной, т.е. углов наклона касательных к упругой линии балки (углов поворота поперечных сечений), следует проинтегрировать левую и правую части выражения (7.19).

В результате получим:

Jx y' = Jxtg EJx = Mxdz + С. (7.20)

Интегрируя затем зависимость (7.20), получаем:

EJxy = (Mx dz)dz + Cz + D. (7.21) Подставив сюда уравнение изгибающего момента, выполнив интегрирование и найдя постоянные интегрирования С и D, найдем прогиб любого поперечного сечения балки. Аналогично из (7.20) можем определить угол поворота произвольного поперечного сечения. Рассмотрим применение этого метода на примере определения прогиба консольной балки постоянного сечения, нагруженной силой на конце (рис. 7.27) .

Пример 7.9 .

Определить прогиб и угол поворота на свободном конце балки, изображенной на рис. 7.27 .

–  –  –

EJ x 2 P z 2 z3 y (l Cz D), EJ x 2 6 где С и D – постоянные интегрирования, получаемые из граничных условий, а знак минус соответствует отрицательной величине силы P (см .

рис. 7.6) .

В данном случае при z = 0 имеем y = 0 и y = 0, откуда С = 0 и D = 0 .

Тогда P z 2 z3 y (l ) .

EJ x 2 6 Наибольший прогиб будет в точке приложения силы Р, т.е. при z = l, и составит Pl 3 ymax .

3EJ x Знак минус указывает, что прогиб направлен вниз, против положительного направления оси y .

При наличии нескольких участков (различных законов изменения внутренних усилий) по длине балки рассматриваемый метод приводит к решению системы уравнений с большим числом неизвестных постоянных интегрирования. Например, если на балку действует n сосредоточенных сил, то она будет иметь n + 1 отдельных участков, для которых точки приложения сил будут являться границами. В этом случае для определения неизвестных постоянных интегрирования потребуется составить и решить 2(n + 1) уравнений .

Постоянные интегрирования определяются из условий закрепления балки (опорных условий), а также из условий на границах смежных участков (граничных условий).

При этом:

а) каждая шарнирно-неподвижная или шарнирно-подвижная опора дает одно условие – равенство нулю прогиба в сечении балки на опоре;

б) от каждой жесткой заделки (защемления) можно получить два условия – равенство нулю прогиба и угла поворота в сечении заделки;

в) от каждой границы двух смежных участков получаем два условия – равенство между собою прогибов и углов поворота общих сечений на границе обоих участков .

Метод начальных параметров состоит в значительном упрощении определения постоянных интегрирования путем введения некоторых приемов для составления и интегрирования дифференциальных уравнений. Эти приемы позволяют значительно сократить число постоянных интегрирования, а в некоторых случаях число их свести до двух .

Начальными параметрами называются значения усилий и перемещений в сечении балки, принятом за начальное при отсчете абсцисс;

другими словами, это – значения ординат эпюр при z = 0 (Q0, m0, 0 и y0) .

–  –  –

Рассмотрим нагружение балки постоянного сечения системой нагрузок, приведенных на рис. 7.28.

Метод начальных параметров в этом случае (с учетом уравнивания постоянных интегрирования на границах участков) дает следующие выражения для прогибов и углов поворота:

z a P z b q z c q z d,

–  –  –

q. (7.23) 6 Уравнения (7.22) и (7.23) называются обобщенными уравнениями упругой линии по методу начальных параметров. Следует учесть, что при выводе этих уравнений всем нагрузкам даны положительные направления их действия. В случае противоположного направления действия какой-либо нагрузки ее необходимо подставлять в уравнения со знаком минус .

Сокращения «лев» проставленные при знаке суммы « лев» означает, что при определении искомых величин в сечении с координатой z нужно учитывать только те нагрузки, которые находятся левее данного сечения. При выводе приведенных формул считалось, что распределенные нагрузки простирается до конца балки. Если это не так, то нагрузки все равно продлевают до конца конструкции, а с места их фактического окончания прикладывают компенсирующие нагрузки равные им по величине и противоположные по направлению. Таким образом, на этом участке суммарная распределенная нагрузка равна нулю .

Рассмотрим применение этого метода на конкретном примере .

Пример 7.10 .

Составить уравнения углов поворота поперечных сечений и прогибов для балки по рис. 7.29а. Определить прогибы посередине пролета и на конце консоли .

Решение. Величины опорных реакций определены из условий mA 0 и mB 0 и составляют VA qa, VB qa.

В соответствии с действующей нагрузкой выделяем на балке три участка, для которых:

0 z 4a (участок I), 4a z 5a (участок II) и 5a z 6a (участок III). Распределенную нагрузку q, так как она заканчивается на опоре В, условно продлеваем до конца балки, а начиная с опоры В прикладываем противоположную ей такую же компенсирующую нагрузку так, что фактически на участках II и III распределенная нагрузка равна нулю (рис. 7.29б) .

–  –  –

Приведенная запись выражений для прогибов и углов поворота является универсальной: вместо записи трех различных выражений – для 1-го, 2-го и 3-го участков используется одно выражение, где вертикальные лини определяют те члены, которые учитываются в зависимости от того, в пределах какого участка расположено сечение, где необходимо определить прогиб и угол поворота .

В данных выражениях неизвестными являются прогиб (yo) и угол поворота (о) в начале координат. Они легко определяются из условий на опорах балки: yo = 0 = yA – опора A исключает вертикальные перемещения, о может быть получено из условия yB = 0 .

Составим это выражение:

1 11 5a 5a 2qa 5a 4a q 5a 4a 0 .

–  –  –

Для определения работы внутренних сил, численно равной потенциальной энергии деформации, из балки (рис. 7.30) в пределах участка, находящегося в условиях чистого изгиба, выделим бесконечно малый элемент. Этот элемент в деформированном виде в крупном масштабе показан на рис. 7.31. Известно, что работа момента (пары сил) равна его произведению на соответствующий угол по ворота.

Здесь, учитывая статический характер приложения нагрузки согласно теореме Клапейрона, надо взять половину указанного произведения:

–  –  –

Здесь k – коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения балки. Например, для прямоугольного сечения k = 1,2. Остальные обозначения известны из предыдущего. Показано, что, как правило, второе слагаемое не превышает 2–3% от всей энергии деформации, а во многих случаях имеет еще меньшее значение. Поэтому и при поперечном изгибе перемещения определяются без учета действия поперечных сил как при чистом изгибе .

7.9.3. Интеграл Мора

Рассмотрим вывод общей формулы для определения перемещений при изгибе. Пусть требуется определить прогиб в точке K двухопорной балки, изображенной на рис. 7.32а. Для упрощения вывода показываем только одну силу, но формула, которая будет получена, справедлива при любых нагрузках .

Приложим к ненагруженной балке в точке K некоторую силу (рис .

7.32б). Состояние балки при ее нагружении силой называют вспомогательным, или фиктивным, так как в действительности оно не существует и нужно лишь для вывода формулы перемещений. Определим работу внешних сил и энергию деформации для вспомогательного состояния балки .

–  –  –

Из приведенного следует, что интеграл Мора, дающий величину перемещения произвольного сечения балки, имеет следующий физический смысл: это работа единичной силы на перемещении ее точки приложения от заданной нагрузки. Отсюда следует, что, если при вычислении интеграла Мора результат получается со знаком плюс, направление приложенной единичной силы совпадает с направлением искомого перемещения (при совпадении направлений силы и перемещения точки ее приложения работа положительна). Знак минус укажет, что эти направления прямо противоположны .

Если учитывать как изгибающие моменты, так и поперечные силы, интеграл Мора будет иметь вид M M dz kQ Q dz KP P 1 P 1, EJ x GF li li где QР и Q1 – соответственно выражения поперечных сил от заданной нагрузки и от единичной силы для произвольного поперечного сечения балки. Остальные обозначения известны из предыдущего. Данное выражение целесообразно применять при определении перемещений в коротких балка .

Для вычисления перемещения с помощью интеграла Мора нужно выполнить следующие действия:

– составить уравнение изгибающих моментов МР от заданной нагрузки;

– освободив систему (балку) от заданной нагрузки, приложить к ней силу, равную единице в той точке, где определяется перемещение и по направлению этого перемещения;

– составить уравнение изгибающих моментов М1 от этой единичной силы;

– вычислить сумму интегралов (7.30) от произведения обоих моментов, деленного на жесткость сечения .

Отметим, что в случае необходимости определения угла поворота, в искомой точке балки необходимо приложить пару сил, момент которой равен также единице (единичный момент). Все остальные действия остаются такими же .

В случае, если жесткость балки постоянна на всем ее протяжении или в пределах отдельных участков, формула (7.30) может быть упрощена за счет выноса произведения EJx за знак интеграла.

В этом случае перемещения определяются с использованием следующего выражения:

EJ x KP M P M 1dz. (7.31) li

–  –  –

где с и d – пределы интегрирования, т.е. абсциссы сечений, являющихся границами рассматриваемого участка. С математической точки зрения, задача сводится к вычислению определенного интеграла от произведения двух функций: МР = f1(z) и M1 = f2(z). Напомним, что в подынтегральное выражение формулы (7.31) входят не какие-либо частные значения изгибающих моментов, а аналитические зависимости, определяющие закон изменения этих моментов по длине данного участка балки. Графики указанных функций представляют собой эпюры изгибающих моментов Р и М1 .

<

–  –  –

Предположим, что функция f1(z) произвольна, a f2(z) – линейная, т.е .

может быть записана в виде f2(z) = kz + b (k – угловой коэффициент прямой и b – отрезок, отсекаемый ею на оси ординат). Пусть графики этих функций имеют вид, представленный на рис. 7.33. Для вычисления интеграла d

–  –  –

Величина, стоящая в скобках, представляет собой ординату графика линейной функции, соответствующую абсциссе zc, т.е. это ордината, расположенная под центром тяжести графика нелинейной функции .

Обозначая эту ординату с, окончательно имеем:

d

–  –  –

В заключение отметим, что метод Мора целесообразно применять в тех случаях, когда достаточно определить прогибы или углы поворота в отдельных сечениях балки .

Ниже на примерах будут рассмотрены особенности определения перемещений с использованием интеграла Мора и его вычисления по правилу Верещагина .

Пример 7.11 .

Определить прогиб посередине пролета и угол поворота левого опорного сечения заданной балки (рис. 7.34а) .

Решение. Определив опорные реакции, строим эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузки (рис. 7.34б). Прикладываем посередине пролета единичную силу (рис. 7.34в) и строим соответствующую эпюру изгибающих моментов (рис. 7.34г) .

Единичная эпюра состоит из двух одинаковых линейных участков .

Эпюру Р разбиваем на две одинаковые части. Площадь и положение центра тяжести каждой из этих частей даны в табл. 7.2 .

–  –  –

7.10. Расчеты на жесткость при изгибе Работающие на изгиб элементы конструкций во многих случаях должны быть рассчитаны не только на прочность, но и на жесткость. При этом зачастую оказывается, что требуемые размеры поперечного сечения бруса (балки), определенные из расчета на жесткость, получаются большими, чем требуемые по условию прочности .

В большинстве случаев условие жесткости выражается неравенством f [f], (7.34) т.е. максимальный прогиб (стрела прогиба f) не должен превышать допускаемого [f]. Величина допускаемого прогиба зависит от назначения и условий работы рассчитываемой конструкции и колеблется в широких пределах. Обычно величину допускаемой стрелы прогиба указывают в долях пролета (межопорного расстояния l) балки. Например, для ручных грузоподъемных кранов [f] = l/400, то же для электрических [f] = l/700; для валов и шпинделей металлорежущих станков [f] = (0,00050,0010)l. В архитектуре иногда при назначении допустимой величины прогиба исходят из эстетического восприятия сооружения: для перекрытий залов назначают [f] = 0,001l, чтобы исключить неприятные ощущения от зрительного восприятия провисшего потолка, хотя его прочность по условию max [] явно обеспечена .

Для обеспечения нормальной работы подшипников скольжения и роликовых подшипников качения иногда ставится дополнительное условие жесткости – ограничение угла поворота опорных сечений:

max оп []. (7.35) При этом допускаемый угол поворота составляет в среднем 0,001 рад .

В тех случаях, когда конструктивные и технологические требования не накладывают особых ограничений на форму поперечных сечений проектируемого элемента конструкции, следует применять такие сечения, которые обеспечивают возможно большую жесткость при наименьшем расходе материала .

Рассмотрим применение изложенного на примере .

Пример 7.13 .

Подобрать сечение стальной двутавровой балки (рис. 7.36) из условий прочности и жесткости: [] = 160 МПа, [f] = l/600, E = = 2105 MПа .

–  –  –

Решение. В силу симметрии VA = VB = 25/2 + 86/2 = 36,5 кН. Для подбора сечения из условия прочности определяем наибольший изгибающий момент в середине пролета

–  –  –

8. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ До настоящего момента мы рассматривали такие случаи деформирования бруса, когда во внимание принимался только один внутренний силовой фактор: изгибающий момент, крутящий момент, продольную или поперечную силу. Исключение составлял поперечный изгиб балки, но и в этом случае, как правило, наличием поперечной силы при решении вопросов прочности и жесткости пренебрегают. Ниже будут рассмотрены такие случаи деформирования, когда в поперечном сечении бруса присутствует несколько внутренних силовых факторов, которые необходимо учитывать при расчетах на прочность и жесткость. Такой случай деформирования бруса, когда в поперечном сечении присутствует несколько внутренних силовых факторов, будем называть сложным сопротивлением .

8.1. Косой изгиб

Под косым изгибом понимается такой случай изгиба, при котором плоскость изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных осей инерции сечения. Косой изгиб удобнее рассматривать как одновременный изгиб бруса в двух главных плоскостях .

Различают плоский косой изгиб и пространственный косой изгиб .

При плоском косом изгибе все нагрузки расположены в одной плоскости. Следовательно, углы, составляемые силовыми линиями с главными центральными осями, во всех поперечных сечениях бруса одинаковы. В рассматриваемом случае упругая линия бруса – плоская кривая. В отличие от прямого изгиба плоскость, в которой она расположена, не совпадает с силовой плоскостью. Именно эта особенность характера деформации обусловливает наименование косой изгиб .

При пространственном косом изгибе нагрузки, вызывающие изгиб, расположены в разных продольных плоскостях бруса. Соответственно углы между главными центральными осями поперечных сечений и силовыми линиями не постоянны по длине бруса. Упругая линия бруса в этом случае – пространственная кривая .

Силы, перпендикулярные продольной оси бруса, но не совпадающие по направлению ни с одной из главных центральных осей его поперечного сечения, всегда могут быть разложены на составляющие по этим осям. Точно так же и моменты, действующие в произвольных продольных плоскостях, могут быть разложены на составляющие относительно главных центральных осей. Таким образом, схему нагружения бруса всегда можно привести к такому виду, как показано на рис. 8.1 .

При поперечном косом изгибе (как плоском, так и пространственном) в поперечных сечениях бруса возникают четыре внутренних силовых фактора: поперечные силы Qx и Qy и изгибающие моменты Мх и Му .

Рис. 8.1

При чистом косом изгибе поперечные силы отсутствуют. При проведении расчетов на прочность и жесткость даже в случае поперечного изгиба влияние поперечных сил, как правило, не учитывают .

Эпюры внутренних силовых факторов целесообразно строить, располагая их в главных плоскостях бруса, т.е. в изометрии. Эпюры Qx и My следует располагать в плоскости z0х, т.е. откладывать их ординаты параллельно оси 0х. а эпюры Qy и Мх – в плоскости z0у, откладывая ординаты параллельно оси 0у .

Рис. 8.2

При плоском косом изгибе можно строить результирующие эпюры Q и М, не раскладывая предварительно силы по главным центральным осям. Рассмотрим вопрос об определении напряжений и перемещений при косом изгибе. Для простоты и наглядности изложения рассмотрим данный вопрос на примере нагружения бруса (консоль) одной силой, приложенной в плоскости его торцового поперечного сечения таким образом, что ее линия действия составляет угол с главной центральной осью 0y (рис. 8.2). Разложим эту силу на составляющие Рх и Ру по главным центральным осям поперечного сечения.

Каждая из этих составляющих вызывает прямой изгиб бруса в одной из главных плоскостей:

сила Ру – в плоскости z0у и сила Рх – в плоскости z0x. Следовательно, косой изгиб можно рассматривать как совокупность двух прямых изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях .

На рисунке 8.3 приведены в произвольном сечении эпюры нормальных напряжений Mx (от Mx = Pyz, рис. 8.3а) и My (от My = Pxz, рис .

8.3б), а также суммарная эпюра Mx My (рис. 8.3в) .

–  –  –

Пример 8.2 .

Короткая стальная стойка, сваренная из двух двутавров №20а, нагружена внецентренно приложенной сжимающей силой, как показано на рис. 8.8а. Проверить прочность стойки, если [] = 160 Н/мм2 .

Решение. Полюс не лежит ни на одной из главных осей сечения – имеем сочетание простого сжатия с чистым косым изгибом, который рассматриваем, как два чистых прямых изгиба .

Внутренние силовые факторы в любом поперечном сечении одинаковы (силу тяжести стойки не учитываем) и имеют следующие абсолютные значения:

NZ = P = 200·103 Н; Мх = РуP = 200·103·100 = 200·105 Нмм;

Му = РxP = 200·103·55 = 110·106 Н·мм .

Эпюры нормальных напряжений, связанных с каждым из внутренних силовых факторов, показаны на рис. 8.8б. Очевидно, что опасная точка – А; в этой точке возникают наибольшие по абсолютной величине напряжения .

–  –  –

8.3. Расчет бруса круглого поперечного сечения на изгиб с кручением Валы различных машин представляют собой в большинстве случаев прямые брусья круглого сплошного или реже кольцевого сечения, работающие на совместное действие изгиба и кручения. При ориентировочном расчете валов, рассмотренном в разделе «Кручение», влияние изгиба не учитывалось, но допускаемые напряжения на кручение принимались весьма невысокими, что должно было в известной мере компенсировать ошибку, являющуюся следствием пренебрежения изгибом .

Применение гипотез прочности позволяет рассчитывать валы, учитывая совместное действие изгиба и кручения .

При расчете валов, а также других элементов конструкций, испытывающих одновременное действие изгиба и кручения, влиянием поперечных сил, как правило, пренебрегают, так как соответствующие им касательные напряжения в опасных точках бруса невелики по сравнению с касательными напряжениями от кручения и нормальными напряжениями от изгиба .

На рисунке 8.11а показан вал, на который насажено зубчатое колесо диаметром D1 и шкив ременной передачи диаметром D2. На зубчатое колесо действуют окружное и радиальное усилия, на шкив действуют усилия S1 и S2 натяжения ветвей ремня. Для составления расчетной схемы вала (рис. 8.11б) все силы должны быть приведены к его оси. При переносе силы к оси вала добавляется скручивающая пара с моментом m1 = PD1/2 (рис. 8.11б); аналогично, при приведении сил S1 и S2 получается скручивающая пара с моментом D D D m2 S1 2 S2 2 S1 S2 2 .

При равномерном вращении вала (только такой случай и рассматривается) т1 = т2 .

Подшипники, на которые опирается вал, рассматриваются при его расчете как пространственные шарнирные опоры, т.е. связи, препятствующие линейным перемещениям, но не мешающие повороту закрепленных сечений вала .

На основе расчетной схемы определяют опорные реакции и строят эпюры Мz, Мх и Му, по которым определяют опасное сечение вала. Как известно из предыдущего, расчет на изгиб бруса круглого поперечного сечения ведется по результирующему изгибающему моменту M и M x2 M y, следовательно, для вала, диаметр которого по всей длине постоянен, опасным будет сечение, в котором одновременно возникают наибольшие крутящий Мz и изгибающий Ми моменты. В нашем случае опасным будет сечение С под серединой шкива .

–  –  –

Проанализируем вопрос об опасных точках поперечного сечения .

На рисунке 8.11a показаны моменты в сечении, проведенном бесконечно близко слева от С. Суммируя геометрически изгибающие моменты, найдем положение силовой и нулевой линий и построим эпюру нор

–  –  –

1. Что такое сложное сопротивление стержней?

2. Какие внутренние усилия возникают в стержне в наиболее общем случае сложного сопротивления?

3. Какой изгиб называется косым?

4. К каким равнодействующим приводятся внутренние силы при косом изгибе?

5. Как находится положение нейтральной оси при косом изгибе?

6. Как определяются опасные точки в сечении при косом изгибе?

7. Как определяются перемещения точек оси балки при косом изгибе?

8. Какой вид сложного сопротивления называется внецентренным растяжением (или сжатием)?

9. К каким равнодействующим приводятся внутренние силы при внецентренном растяжении (или сжатии)?

10. По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня при внецентренном растяжении и сжатии? Какой вид имеет эпюра этих напряжений?

11. Как определяется положение нейтральной оси при внецентренном растяжении и сжатии? Запишите соответствующие формулы .

12. Что такое ядро сечения?

13. Какие напряжения возникают в поперечном сечении бруса при изгибе с кручением?

14. Как находятся опасные сечения бруса круглого сечения при изгибе с кручением?

15. Какие точки круглого поперечного сечения являются опасными при изгибе с кручением? Какое напряженное состояние возникает в этих точках?

16. Какие напряжения испытывают вал и ось?

17. Какие теории прочности используются при расчете валов?

18. Какова расчетная формула для определения диаметра вала?

9. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ

ПРИ ЦИКЛИЧЕСКИ МЕНЯЮЩИХСЯ НАПРЯЖЕНИЯХ

–  –  –

В предыдущих разделах рассматривались расчеты на прочность при статическом нагружении элементов конструкций. Как известно, возникающие при этом напряжения медленно возрастают от нуля до своего конечного значения, и в дальнейшем остаются постоянными. В машиностроении весьма часто приходится встречаться с необходимостью расчета на прочность деталей, в которых при работе возникают напряжения, периодически изменяющиеся во времени. К таким деталям, в частности, относятся валы, вращающиеся оси, зубья зубчатых колес, штоки поршневых машин и т.п. При этом переменность напряжений может быть как следствием непостоянства действующей на деталь нагрузки, так и результатом изменения положения детали по отношению к постоянной нагрузке .

Простейший пример такого рода деталей – вращающаяся вагонная ось, нагруженная постоянной по величине и направлению нагрузкой (рис. 9.1а). Нормальное напряжение в произвольной точке А контура поперечного сечения такой оси при ее вращении будет изменяться во времени по синусоидальному закону (рис. 9.1б) .

Рис. 9.1

На основе анализа поломок различных деталей машин и многочисленных экспериментальных исследований установлено, что при переменных напряжениях разрушение происходит при максимальных по абсолютной величине напряжениях цикла, меньших предела прочности, а во многих случаях – даже меньших предела текучести данного материала при статическом нагружении. Разрушение, вызванное многократным возникновением переменных напряжений, принято называть усталостным разрушением или усталостью материала .

После разрушения на поверхности излома детали обнаруживаются обычно две ярко выраженные зоны. В одной зоне кристаллы различаются невооруженным глазом с большим трудом. Поверхность излома сглажена. В другой зоне явно выступают признаки свежего хрупкого разрушения. Кристаллы имеют острую огранку и блестящую, чистую поверхность .

В целом создается впечатление, что подобного рода разрушение связано с изменением кристаллической структуры металла. Именно этим и объяснялось в свое время разрушение при циклических напряжениях. Описанное явление получило тогда название усталости, а направление исследований, связанных с прочностью, стало называться усталостной прочностью. В дальнейшем точка зрения на причины усталостного разрушения изменилась, но сам термин сохранился .

В настоящее время установлено, что структура металла при циклических нагрузках не меняется. Начало разрушения носит чисто местный характер. В зоне повышенных напряжений, обусловленных конструктивными, технологическими или структурными факторами может образоваться микротрещина. При многократном изменении напряжений кристаллы в зоне трещины, начинают разрушаться и трещина проникает в глубь тела. Таким образом, под действием повторяющихся нагрузок в материале конструкции накапливаются повреждения, ведущие к преждевременному разрушению конструкции .

Соприкасающиеся, поверхности в зоне образовавшейся трещины испытывают контактное взаимодействие, в результате чего кристаллы истираются, а поверхности приобретают внешний вид мелкозернистой структуры. Так образуется одна из зон поверхности будущего излома .

В результате развития трещины сечение ослабляется. На последнем этапе происходит внезапное разрушение. Излом имеет характерную поверхность с неповрежденными чистыми кристаллами .

Процесс постепенного накопления повреждений в материале под действием переменных напряжений, приводящих к образованию трещины и разрушению, называется усталостью материала .

Свойство материала противостоять усталости называется выносливостью .

Максимальное напряжение, при котором материал способен сопротивляться, не разрушаясь, при любом произвольно большом числе циклов повторений переменных напряжений, называется пределом выносливости или пределом усталости .

Теоретический анализ усталостной прочности связан с большими трудностями. Природа усталостного разрушения обусловлена особенностями молекулярного и кристаллического строения вещества. Поэтому схема сплошной среды, которая с успехом применялась в рассматривавшихся до сих пор задачах, в данном случае не является удовлетворительной основой для исследования. Для создания достаточной теории усталостной прочности необходимо проникнуть в особенности строения кристаллов и межкристаллических связей с привлечением аппарата статистики и теории вероятности .

В настоящее время, сохраняя все предпосылки механики сплошной среды (сплошность, изотропность и т.д.), идут по пути накопления экспериментальных фактов, из совокупности которых можно было бы выбрать подходящие правила как руководство для расчета .

Из положений теории усталости можно отметить следующее:

1. Процессы, проходящие при повторно-переменных нагрузках в металле, носят резко выраженный местный характер .

2. Из двух видов напряжений – нормальных и касательных – решающее влиянии на процессы усталости до образования первой трещины включительно имеют касательные напряжения, вызывающие пластические сдвиги и разрушение .

3. Развитие усталостной трещины может ускоряться при наличии растягивающих напряжений как у пластичных, так и, в особенности, у малопластичных и хрупких материалов типа чугуна, в которых появление трещины отрыва значительно повышает чувствительность к растягивающим напряжениям .

Образование трещин чаще всего наблюдается в зернах, лежащих ближе к поверхности детали. Объясняется это тем, что поверхностные слои материала в известной степени имеют следы повреждений различными технологическими операциями при обработке детали (внутренние напряжения, следы механической обработки), не говоря уже о тех случаях, когда наружные слои при повторно-переменных нагрузках испытывают наибольшие напряжения (при изгибе, кручении) .

Предел выносливости определяют экспериментально. Он зависит от целого ряда факторов, в частности, от формы и размеров детали, способа ее обработки, состояния поверхности детали, вида напряженного состояния (растяжение-сжатие, кручение, изгиб и т.п.), закона изменения нагрузки во времени при испытаниях и т.п .

Рассмотрим вначале случай одноосного напряженного состояния .

Закон изменения главного напряжения во времени представлен кривой, показанной на рис. 9.2. Наибольшее и наименьшее напряжения цикла обозначим через mах и min.

Их отношение называется коэффициентом асимметрии цикла:

min r (9.1) .

max В случае, когда mах = min r = –1, цикл называется симметричным (рис. 9.4а). Такой цикл, в частности, имеет место в рассмотренном выше примере вращающейся вагонной оси. Если min = 0 или max = 0 цикл называется пульсационным (рис. 9.4б, в). В качестве примера такого цикла можно привести цикл нагружения зубьев шестерни при передаче момента .

Рис. 9.2 Рис. 9.3

Процесс образования трещины при переменных напряжениях связан с накоплением пластических деформаций. Поэтому следует ожидать, что усталостная прочность определяется только наибольшим и наименьшим напряжениями цикла и не зависит от закона изменения напряжений внутри интервала max – min. Следовательно, циклы, показанные на рис. 9.3а, б, являются равноценными, так как они имеют одинаковый коэффициент асимметрии. Циклы, имеющие одинаковый коэффициент асимметрии, называют подобными .

–  –  –

Любой, цикл может быть представлен как результат наложения постоянного напряжения m на напряжение, меняющееся по симметричному циклу с амплитудой a (рис. 9.2). Очевидно, при этом

–  –  –

9.2. Предел усталости Усталостные характеристики материалов определяются экспериментальным путем на специальных машинах. Наиболее распространенными являются испытания в условиях симметричного цикла. Ниже, на рис. 9.5 приведена принципиальная схема испытательной машины, осуществляющей циклическое нагружение в условиях чистого изгиба .

Рис. 9.5

Нормальные лабораторные образцы имеют в пределах рабочей части строго цилиндрическую форму. Их диаметр обычно 5–10 мм. Поверхность образца тщательно полируют .

Для производства испытаний изготовляют серию (не менее 10) совершенно одинаковых образцов. Первый из них нагружают таким образом, что возникающее в нем максимальное напряжение заведомо ниже предела прочности, но выше предела выносливости данного материала .

После определенного числа циклов напряжений, фиксируемого имеющимся на испытательной машине счетчиком оборотов, образец разрушается. Следующий образец испытывают при несколько меньшем значении максимального напряжения, и число циклов, которое он выдерживает до разрушения, оказывается большим, чем в первом случае. Аналогично производится испытание остальных образцов .

По результатам испытаний строят график, по оси абсцисс которого откладывают числа циклов N, которые выдерживали образцы до разрушения, и по оси ординат – соответствующие значения максимальных напряжений .

Рис. 9.6

В связи с тем, что число циклов с уменьшением мах возрастает в высокой степени, по оси абсцисс откладывают не число, а его логарифм (рис. 9.7). В этом случае кривая преобразуется в два прямых участка, один из которых горизонтальный. Ордината этого участка и дает значение предела выносливости. Обычно эту кривую строят в двойных логарифмических координатах (lg – lgN) .

Рис. 9.7

Для стали за предел выносливости принимают то наибольшее значение максимального напряжения, которое образец выдержал, не разрушившись, 107 циклов. Это число циклов принято называть базовым. Опыты показывают, что стальной образец, не разрушившийся при базовом числе циклов, выдерживает при данном максимальном напряжении сколь угодно большое число циклов. Такой график (рис. 9.7) называют кривой усталости, или кривой Влера (по имени немецкого ученого, выполнившего первые систематические исследования усталостной прочности) .

Если изготовить из того же материала другую серию образцов и подвергнуть ее испытанию на выносливость при каком-либо асимметричном цикле (например, отнулевом), то соответствующая кривая усталости расположится выше полученной при симметричном цикле (рис .

9.6). Следовательно, для данного материала при данном виде деформации (изгибе, кручении и т.п.) минимальным является предел выносливости при симметричном цикле, т.е. этот цикл наиболее опасен .

Для многих материалов кривая усталости не имеет горизонтального участка, поэтому базовое число циклов для них принимают более высоким. Например, для цветных металлов и их сплавов, а также для некоторых легированных сталей, подвергнутых закалке, базовое число циклов Nбаз = 108 циклов .

Для таких материалов, строго говоря, понятие «предел выносливости» неприменимо. В качестве характеристики выносливости материала (отнесенной к спадающему участку кривой усталости) принимают предел ограниченной выносливости – наибольшее значение максимального (по абсолютной величине) напряжения цикла, при котором образец еще не разрушается при определенном (задаваемом) числе циклов .

Большинство деталей машин, рассчитываемых на усталостную прочность, испытывает за срок службы число циклов, большее базового .

Например, для деталей кривошипно-шатунного механизма тракторного или автомобильного двигателя число циклов нагружения достигает 5·108, для осей подвижного состава железных дорог – до 2·108, для лопаток паровых турбин – до 1011 .

Величина предела выносливости существенно зависит от вида деформации образца или детали. В связи с тем, что испытания на выносливость при растяжении-сжатии (–1р), а также при кручении (–1) требуют более сложного оборудования, чем в случае изгиба, проводятся они значительно реже.

Поэтому при отсутствии опытных данных соответствующие пределы выносливости определяют по известному пределу выносливости при симметричном цикле изгиба на основе следующих эмпирических соотношений:

–1р (0,70,9) –1; (9.3)

–1 0,58 –1. (9.4)

В случаях, когда отсутствуют опытные данные о значениях предела выносливости даже для симметричного цикла нагружения, то его вычисляют по следующим эмпирическим соотношениям:

для углеродистой стали:

–1 0,43 пч; (9.5) для легированной стали:

–1 0,35 пч + 120 Н/мм2; (9.6) для серого чугуна:

–1 0,45 пч р. (9.7)

9.3. Основные факторы, влияющие на предел выносливости Многочисленными опытами установлено, что всякого рода нарушения правильной формы образца (отверстия, канавки, ступенчатое изменение сечения и т.п.), уменьшение чистоты его поверхности и увеличение его абсолютных размеров приводят к снижению предела выносливости .

Будем рассматривать предел выносливости, полученный в результате испытания нормальных лабораторных образцов, как одну из механических характеристик данного материала. Таким образом, можно сказать, что пределы выносливости конкретной детали и материала, из которого она изготовлена, различны. Влияние факторов, от которых зависит соотношение между пределами выносливости материала (нормального образца) и детали, достаточно полно изучено для симметричного цикла напряжений. Поэтому, не оговаривая этого каждый раз специально, в дальнейшем рассмотрим влияние различных факторов на величину предела выносливости .

9.3.1. Концентрация напряжений Многочисленные теоретические, и экспериментальные исследования показывают, что в области резких изменений в форме упругого тела (входящие углы, отверстия, выточки), а также в зоне контакта деталей возникают повышенные напряжения .

Например, при растяжении полосы с отверстием (рис. 9.8б) закон равномерного распределения напряжений вблизи отверстия нарушается: у края отверстия появляется пик напряжения. Аналогично при изгибе ступенчатого стержня (рис. 9.8а) в зоне входящего угла возникает повышенное напряжение, величина которого зависит в первую очередь от радиуса закругления r. Описанная особенность распределения напряжений получила название концентрации напряжений. Зона распространения повышенных напряжений ограничена узкой областью, расположенной в окрестности концентратора напряжений (зоны резкого изменения формы детали). В связи с локальным характером распределения эти напряжения носят название местных напряжений .

Величина местных напряжений в зависимости от геометрической формы детали определяется обычно теоретически при помощи методов математической теории упругости, а также с помощью различных экспериментальных методов на моделях или реальных конструкциях .

Отношение наибольших местных напряжений (mах) к номинальным (), определяемым по формулам сопротивления материалов

–  –  –

Аналогично, в случае концентрации касательных напряжений max .

Рассмотрим более подробно вопрос о влиянии концентрации напряжений на прочность деталей при их статическом нагружении .

Прочность деталей из пластичных материалов при статическом нагружении практически не зависит от концентрации напряжений и, следовательно, при соответствующих расчетах она не учитывается. Справедливость этого указания может быть подтверждена следующими рассуждениями .

Допустим, что нагрузка полосы с отверстием медленно возрастет и при некотором ее значении напряжения у краев отверстия достигают предела текучести mах = Т. При дальнейшем росте нагрузки напряжения в указанных точках увеличиваться не будут, что следует из диаграммы растяжения, изображенной на рис. 2.9. В остальных точках напряжения продолжают расти, но лишь до достижения величины Т, а затем их рост прекращается. Предполагая, что площадка текучести диаграммы растяжения имеет достаточно большую протяженность и, продолжая рассуждения, аналогичные приведенным, приходим к заключению, что в определенной стадии нагружения распределение напряжений станет равномерным. При переходе в стадию упрочнения напряжения начнут расти, но теперь они во всех точках сечения будут одинаковы, и разрушение произойдет одновременно по всему сечению так же, как и при отсутствии концентрации напряжений .

В действительности процесс роста напряжений и разрушения несколько сложнее, чем изложено, но принятая упрощенная схема процесса достаточно точна. Получаемый на ее основе вывод о том, что концентрацию напряжений не надо учитывать при расчетах на статическую прочность деталей из пластичных материалов, подтверждается экспериментально. Совершенно по-иному обстоит дело в случае хрупкого материала. При росте растягивающей силы наступает момент, когда в точках у краев отверстия напряжения достигают предела, прочности, и, следовательно, в этих местах возникают трещины, т.е. начинается разрушение. Значит, прочность детали из хрупкого материала при наличии концентрации напряжений снижается в раз .

При переменных напряжениях наличие концентраторов напряжений снижает предел выносливости почти всех материалов. Снижение предела выносливости при симметричном цикле напряжений характеризуется так называемым эффективным коэффициентом концентрации напряжений, представляющим собой отношение предела выносливости образца без концентрации напряжений (–1) к пределу выносливости образца тех же размеров, но имеющего заданный концентратор напряжений (–1К) K (9.8) .

1K Аналогично для касательных напряжений K (9.9) .

1K Эффективный коэффициент концентрации напряжений меньше теоретического или в редких случаях равен ему, т.е. K (K ). Он зависит как от геометрии детали (от величины или ), так и от материала, из которого она выполнена. При этом материалы более прочные и менее пластичные оказываются чувствительнее к концентрации напряжений, т.е. при одном и том же значении (или ) значение K (или

K) для детали из высокопрочной легированной стали выше, чем для детали из углеродистой стали. Поэтому при конструировании деталей из легированных сталей особенно важно выбрать такие формы деталей, при которых не будет существенных концентраторов напряжений. Справочные данные по эффективным коэффициентам концентрации напряжений приведены в ряде учебных пособий и справочников .

Числовое значение эффективного коэффициента концентрации определяется на основе усталостного испытания образцов. Сопоставление полученных результатов позволяет, в некоторой ограниченной мере, установить соотношение между эффективным и теоретическим коэффициентами концентрации в виде K 1 q( 1), (9.10) где q – так называемый коэффициент чувствительности материала к концентрации напряжений .

Величина q зависит в основном от свойств материала. Так, например, можно считать, что для высокопрочных легированных сталей величина q близка к единице. Для конструкционных сталей в среднем q = = 0,60,8, причем более прочным сталям соответствуют большие значения q. Для чугуна q близко к нулю, и величина эффективного коэффициента концентрации мало отличается от единицы. Это объясняется тем, что включения графита, являющиеся внутренними концентраторами напряжений, оказывают существенно большее влияние на величину K, чем конструктивные изменения формы детали () .

Для касательных напряжений связь между эффективным и теоретическим коэффициентами концентрации напряжений аналогична выражению (9.10) .

–  –  –

С повышением предела прочности стали, ее чувствительность к влиянию абсолютных размеров повышается. Для стали можно принимать =. Значение для стали в зависимости от ее предела прочности и диаметра образца или детали даны на рис. 9.9 .

–  –  –

Так как при циклических напряжениях, начало разрушения связано с образованием местной трещины, особую роль в усталостной прочности детали играет состояние ее поверхности. Очевидно, что в случае чистой и тонко обработанной поверхности предел усталости возрастает .

При грубой обработке наличие поверхностных дефектов приводит к снижению показателей усталостной прочности. При этом для материалов, обладающих большой чувствительностью к местным напряжениям (концентрации напряжений), влияние состояния поверхности будет более заметным. При расчетах на усталостную прочность особенности, связанные с обработкой поверхности детали (величиной неровностей), учитываются коэффициентом качества поверхности 1П П (9.13), где –1 – предел усталости, полученный на образцах, имеющих стандартную обработку поверхности (шлифовка); –1П – предел выносливости для образцов, состояние поверхности которых соответствует состоянию поверхности рассчитываемой детали. На графиках рисунка 9.10 приведены ориентировочные значения коэффициента качества поверхности различных сталей в зависимости от их предела прочности .

Коэффициент качества для шлифованных образцов принят за единицу (прямая 1). Прямая 2 относится к образцам с полированной поверхностью. Прямая 3 – к образцам, имеющим поверхность, обработанную резцом. Прямая 4 – дает значения коэффициента качества поверхности, имеющей мелкую насечку, а 5 – относится к поверхности, не обработанной после проката. Для поверхностей, корродированных в пресной и морской воде, значения П задаются прямыми 6 и 7 .

Из сказанного следует, что для повышения усталостной прочности необходимо добиваться высокой чистоты поверхности, особенно вблизи очагов концентрации напряжений. Ответственные детали, работающие в условиях циклических напряжений, обычно шлифуются и даже полируются .

Рис. 9.10

Большие возможности для повышения усталостной прочности открывают специальные способы обработки поверхности. Сюда относится поверхностная закалка токами высокой частоты, поверхностное азотирование, которое дает особо ощутимые результаты при наличии концентрации напряжений. Предел усталости может быть повышен также путем обкатки поверхности роликами. Особенно большой эффект при наличии очагов концентрации дает дробеструйная обработка поверхности, заключающаяся в обдувке детали чугунной или стальной дробью. В результате такой обработки образуется поверхностный слой с остаточными напряжениями сжатия (наклеп), что препятствует в дальнейшем возникновению местных трещин. Ниже в таблице 9.1 приведены данные по минимальным значениям коэффициента упрочнения упр .

Совместное влияние концентрации напряжении, масштабного эффекта и состояния поверхности оценивают величиной K K D, (9.14) П или аналогично

–  –  –

Для получения характеристик сопротивления усталости при асимметричных циклах производят испытания образцов при различных величинах коэффициента асимметрии цикла и по результатам испытаний строят диаграмму предельных напряжений, характеризующую зависимость меду амплитудами цикла а и средними значениями напряжений цикла m для данного материала (рис. 9.11а). Ее еще называют диаграммой Хейга по имени ученого, много занимавшегося проблемами усталостной прочности .

Назначение диаграммы предельных амплитуд понятно из следующих рассуждений. Пусть цикл нагружения образца характеризуется параметрами m, а. Если точка, отвечающая этим значениям m, а, оказывается ниже кривой а ~ m (В–С) на рис. 9.11б то рассматриваемый образец способен выдержать неограниченной число циклов или, по крайней мере, не разрушится до базового числа циклов Nбаз. Если же точка окажется выше указанной кривой, то образец разрушится при некотором ограниченном числе циклов или при числе циклов, меньшем базового числа. Точка L с координатами а, m, находящаяся на линии ВС, определяет предел выносливости для некоторого произвольного цикла, характеризующегося коэффициентом асимметрии r .

Рассматривая диаграмму видим, что точка В соответствует пределу выносливости при симметричном цикле (r = –1, m = 0, = –1), а точка С – пределу прочности при постоянном цикле на растяжении (r = +1, = = 0, m = ) .

Рис. 9.11

Согласно диаграмме предел выносливости любого асимметричного цикла принимает значение в интервале –1 r в .

Следовательно, если предел выносливости имеет величину, близкую к пределу прочности (точка С), то он может превышать предел текучести материала. В данном случае уже при первом цикле изменения напряжения деталь получит пластические деформации, что недопустимо .

Поэтому из диаграммы усталостной прочности необходимо исключить область, в которой предел выносливости больше предела текучести, для чего на диаграмме проводится прямая, отсекающая на обеих осях отрезки, равные пределу текучести (рис. 9.11б – линия ЕF) .

Так как max = m +, то все точки, лежащие в треугольнике 0EF, удовлетворяют условию max Т, а точки, лежащие на прямой EF, – условию max = Т. Для любой точки, расположенной вне треугольника, имеет место max Т .

В общем случае на диаграмме можно выделить четыре характерные зоны: в первой зоне не происходят пластические деформации и усталостное разрушение; во второй – происходит усталостное разрушение в пределах упругих деформаций; в третьей – уже при первом цикле напряжений появляются пластические деформации, но усталостного разрушения не происходит; в четвертой зоне происходит усталостное разрушение при наличии пластических деформаций .

Таким образом, рабочей зоной является только первая зона. Так как любая деталь при эксплуатации должна иметь коэффициент запаса прочности по усталостному разрушению больше единицы, то фактически для работы может использоваться только часть первой зоны .

Проведем из начала координат луч. Тангенс угла наклона луча к оси абсцисс равен max min a 1 r tg 2 (9.17) .

m max min 1 r Таким образом, любой луч, проведенный из начала координат, является геометрическим местом точек, соответствующих подобным циклам .

Рис. 9.12

Построение диаграммы предельных амплитуд представляет собой довольно трудоемкую задачу, в связи с тем часто идут по пути ее схематизации таким образом, чтобы для ее построения требовалось знание всего нескольких значений механических характеристик материала .

Наиболее удачным является предложение С.В. Серенсена и Р.С. Кинасошвили (рис. 9.12). По этому предложению строится упрощенная диаграмма по трем параметрам: пределу выносливости при симметричном цикле –1, пределу выносливости при пульсационном цикле 0 и пределу текучести Т .

Она очерчивается ломаной линией, проходящей через точки: В – (0, –1), D – (0/2, 0/2), G и F, находящиеся на линии E – F, проведенной под углом 45о от значения m = Т. Предложенная схематизация наилучшим образом приближается к реальной диаграмме Хейга, не уменьшая существенно ее рабочую зону .

9.5. Расчет на выносливость при линейном напряженном состоянии Построим схематизированную диаграмму усталостной прочности (рис. 9.13) и изобразим на ней рабочий цикл точкой N. На этой диаграмме продолжим линию ВТ до пересечения с осью 0–m в т. K. Она составит с этой осью некоторый угол .

Проведем из начала координат через точку N луч, который, пересекая прямую ВK в точке М, определяет предельный цикл, подобный рабочему. Обозначим через m и a среднее напряжение и амплитуду рабочего цикла (точка ), а через m и a среднее напряжение и амплитуду предельного цикла (точка М) .

–  –  –

K 1 K 1 1 K Д или K Д 1 М П упр М П упр

– общий коэффициент снижения предела выносливости на сдвиг при симметричном цикле .

Значения и (для различных сталей в зависимости от предела прочности) приведены в табл. 9.2 .

9.7. Расчет на выносливость при совместном действии нормальных и касательных напряжений В настоящее время в расчетах на выносливость при плоском напряженном состоянии (при совместном действии нормальных и касательных напряжений) общепринятой является эмпирическая формула

Гафа и Полларда:

2 2, (9.31) nr nr nr где nr и nr – коэффициенты запаса прочности, вычисляемые в предположении независимого действия нормальных и касательных напряжений .

Согласно (9.31) общий коэффициент безопасности при совместном действии переменных нормальных и касательных напряжений определяется выражением nr nr nr. (9.32) nr2 nr2 Расчетные значения коэффициентов nr и nr необходимо сравнивать с соответствующим нормативным значением [n] .

В машиностроении нормативный коэффициент запаса прочности [n] принимается равным 1,4–1,7. В случае особых требований к прочности детали этот коэффициент повышается до 3, а в отдельных случаях и до более высоких значений .

Необходимо отметить, что при отрицательных циклах (m 0 и m

0) как хрупкие, так и пластичные материалы имеют характеристики сопротивления усталости выше, чем при действии положительных циклов .

Однако в расчетах это свойство не учитывают и при вычислении коэффициента безопасности под m и m понимают модуль среднего напряжения цикла .

Расчет деталей конструкций на выносливость, как правило, носит проверочный характер, так как коэффициенты КД и КД от размеров и формы детали и заранее не известны .

Но для валов можно рекомендовать следующую последовательность проведения конструкторского расчета на выносливость .

1. Определить ориентировочно диаметр вала в предположении, что напряжения не изменяются во времени. При этом коэффициент запаса по текучести [nT] принимается равным 4–5 или на 30–40% снижается допускаемое напряжение [], а коэффициенты концентрации напряжений, качества поверхности, упрочнения, масштабный коэффициент не учитываются .

2. Провести после предварительного расчета проверочный расчет на выносливость с учетом всех влияющих факторов. Если фактический коэффициент запаса прочности окажется меньше требуемого, то диаметр вала увеличивается и снова проводится проверочный расчет .

Рассмотрим порядок применения изложенного на примерах .

Пример 9.1 .

Круглый шлифованный стержень диаметром d = 8 мм подвергается циклическим напряжениям, имеющим max = 100 МПа; min = = –140 МПа. Механические характеристики материала: –1 = 180 МПа; Т = = 240 МПа; = 400 МПа. Требуется определить фактический коэффициент безопасности и указать, какое состояние материала является предельным .

Решение. Вычислим параметры цикла:

min 100 140 m max 20 МПа;

min 100 140 а max 120 МПа;

r min 1,4 .

max 100 Из таблицы 9.2 принимаем значение = 0,05 .

Так как среднее значение для отрицательных циклов принимается по модулю, то коэффициент запаса прочности по усталостному разрушению будет nr 1,49 .

a m 120 0,05 20 Коэффициент запаса по текучести nT T 1,7 .

max 140 Принимаем коэффициент запаса прочности nr nr 1,49, а опасным состоянием является усталостное разрушение, так как исследуемый цикл находится ниже линии ВТF на рис. 9.13 .

Пример 9.2 .

В опасном сечении стального вала d = 50 мм действует крутящий момент Т = 900 Нм и изгибающий момент М = 1500 Нм. Материл – сталь: = 1000 МПа; –1 = 320 МПа; –1 = 210 МПа; = 800 МПа .

Вал не имеет резких переходов, поверхность обработана на токарном станке и подверглась закалке токами высокой частоты. Определить коэффициент безопасности вала в опасном сечении, если нормальные напряжения от изгиба меняются по симметричному циклу, а касательные напряжения при кручении – по пульсационному. Требуемый коэффициент безопасности [nr] = 1,8 .

Решение. Так как крутящий и изгибающий моменты действуют одновременно, то материал в опасном сечении находится в двухосном напряженном состоянии .

Вычислим максимальное нормальное и касательное напряжения в опасном сечении:

–  –  –

1. Что называется циклом напряжений? Перечислить все характеристики цикла и указать зависимость между ними .

2. Какой из различных по форме циклов напряжений самый неблагоприятный для работы детали?

3. Что называется усталостным разрушением и каковы его причины?

4. Как протекает процесс усталостного разрушения?

5. Что называется пределом выносливости материала?

6. Что такое базовое число циклов?

7. Влияет ли форма цикла на величину предела выносливости?

8. Каково соотношение пределов выносливости при различных циклах нагружения?

9. Влияние размеров, формы, шероховатости на величину предела выносливости .

10. Концентраторы напряжений. Как они влияют на предел выносливости?

11. Что такое концентрация напряжений и в чм причина их возникновения?

12. Что такое теоретический коэффициент концентрации напряжений и что такое эффективный коэффициент концентрации напряжений?

От чего зависит величина того и другого?

13. Каково влияние абсолютных размеров детали на е прочность?

На предел выносливости?

14. Каково влияние чистоты обработки деталей на сопротивление усталости?

15. Какие процессы обработки деталей используют для повышения сопротивления усталости?

16. Как производится проверочный расчт на прочность (определение фактического запаса) при переменных напряжениях?

10. КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ

–  –  –

В зубчатых и червячных передачах, в шариковых и роликовых подшипниках, в кулачковых механизмах и во многих других механизмах и узлах машин передача усилий от одной детали к другой осуществляется путем непосредственного контакта этих деталей. При этом в контактирующих деталях возникают местные деформации и напряжения, называемые контактными. Несмотря на то, что в большинстве случаев контактные напряжения, возникающие в деталях машин, весьма высоки (зачастую значительно выше предела текучести материала деталей), они не влияют на общую прочность деталей. Это объясняется тем, что контактные напряжения и деформации имеют резко выраженный местный характер, быстро уменьшаясь по мере удаления от зоны контакта .

Контактные напряжения могут быть постоянными или мало изменяющимися во времени. В этих случаях расчет ведут на статическую контактную прочность. Нарушением статической контактной прочности считают возникновение трещин (для хрупких материалов) или появление пластических деформации в зоне контакта .

Значительно чаще контактные напряжения многократно циклически изменяются во времени, как это имеет место, в частности, в рабочих поверхностях зубьев зубчатых колес. В этих случаях при недостаточной контактной прочности происходит усталостное разрушение рабочих поверхностей деталей .

Расчеты, как на статическую контактную прочность, так и на контактную выносливость, очевидно, связаны с необходимостью выяснения зависимостей между нагрузками, действующими на контактирующие тела, характеристиками материала тел, геометрией их поверхностей и возникающими напряжениями .

Решение задачи об определении контактных напряжений и деформаций не может быть дано методами сопротивления материалов;

результаты, полученные методами теории упругости, для некоторых частных случаев контакта приведены ниже .

Остановимся на самой постановке задачи и допущениях, положенных в основу ее решения. При теоретическом решении контактной задачи рассматривают два тела, ограниченных криволинейными поверхностями и нагруженных силами, прижимающими эти тела друг к другу. При отсутствии нагрузки соприкосновение тел происходит в одной точке (начальный точечный контакт – рис. 10.1а) или по линии (начальный линейный контакт – рис. 10.1в) .

Нагрузка, нормальная к поверхностям контакта, вызывает местные деформации контактирующих тел, в результате которых начальный точечный или линейный контакт переходит в контакт по некоторой малой площадке .

Рис. 10.1

В частных случаях начального точечного контакта контактная площадка имеет форму круга – контакт сферических тел (рис.10.1б); при начальном линейном контакте, например, при контакте цилиндров с параллельными образующими (рис. 10.1г) – форму прямоугольной полоски. Давление, передаваемое от одной детали к другой, распределено по контактной площадке неравномерно .

В результате решения контактной задачи определяют форму и размеры контактной площадки, закон распределения контактных давлений и величину сближения контактирующих тел.

При этом решение базируется на следующих предпосылках:

– контактирующие тела однородны и изотропны;

– величины сил, приложенных к соприкасающимся телам, таковы, что процесс деформации протекает в пределах применимости закона Гука;

– поверхность контакта весьма мала по сравнению с общей поверхностью каждого из соприкасающихся тел;

– поверхности соприкасающихся тел совершенно гладкие и, следовательно, силы давления, передаваемые через поверхность контакта от одного тела к другому, нормальны к этой поверхности .

Наибольшие по абсолютной величине нормальные напряжения для точек, принадлежащих поверхности контакта, могут рассматриваться как известные величины, так как эти напряжения численно равны контактным давлениям в соответствующих точках. Однако, для оценки прочности при сложном напряженном состоянии недостаточно определить лишь наибольшее напряжение, надо знать величины всех трех главных напряжений .

Материал, расположенный непосредственно под зоной контакта, находится в объемном напряженном состоянии, так как сжатие в направлении нормали к площадке контакта (напряжение 3 на рис. 10.2) вызывает расширение объема материала в направлениях, параллельных площадке .

Рис. 10.2

Поскольку рассматриваемый объем окружен недеформированным материалом, сопротивляющимся расширению, по граням рассматриваемого элемента возникают сжимающие напряжения 1 и 2. Эти напряжения, конечно, меньше основных сжимающих напряжений 3, но все же достаточно велики, чтобы оказывать влияние на местную прочность в зоне контакта. В частности, наличие 1 и 2, имеющих тот же знак, ведет к уменьшению касательных напряжений .

В связи с этим материалы в состоянии выдерживать контактные напряжения, в несколько раз превышающие предел прочности в при простом сжатии. Для некоторых сталей разрушающие контактные напряжения достигают 3000–4000 МПа при в = 500–800 МПа .

10.2. Контакт тел, ограниченных сферическими и цилиндрическими поверхностями При контакте двух тел, ограниченных сферическими поверхностями произвольных радиусов, площадка контакта ограничена окружностью

– круговая площадка контакта. Разновидности этого случая контакта двух указанных тел являются: а) контакт двух выпуклых сферических поверхностей; б) контакт тела, ограниченного выпуклой сферической поверхностью, со сферической впадиной; в) контакт тела, ограниченного сферической поверхностью, с плоскостью .

Закон распределения контактных давлений по площадке контакта дан на рис. 10.3а в виде пространственной эпюры, на которой буквой р обозначено давление в произвольной точке площадки контакта, а р0 – максимальное давление, возникающее в ее центре. В сечении любой плоскостью, проходящей через ось z, например плоскостью z0y, плоская эпюра, показывающая распределение давлений вдоль любого диаметра контактной площадки, ограничена полуокружностью радиуса р0 (рис. 10.3б) .

Величины радиуса а контактной площадки, максимального давления р0 и сближения контактирующих тел определяют по следующим формулам:

a 0,9086 3 P пр ; (10.1) P р0 0,5784 3 ; (10.2) пр Р

–  –  –

Здесь дополнительно введено обозначение Епр – приведенный модуль упругости 2E1E2 Епр (10.9) .

E1 E2 Вычисленные по формулам (10.2) и (10.7) напряжения могут оказаться достаточно большими. Однако, как было указано ранее, в этой области имеет место пространственное напряженное состояние, в котором все три главных напряжения оказываются сжимающими. Поэтому расчетные сопротивления при местном смятии принимаются значительно бльшими, чем при одноосном сжатии .

Необходимо подчеркнуть, что, несмотря на то, что для материалов соприкасающихся тел справедлив закон Гука, все рассмотренные величины зависят от нагрузки (силы Р) нелинейно. Из этого следует, что к контактным задачам принцип независимости действия сил неприменим. Пусть, например, при действии силы P1 максимальное контактное давление равно р01. Предположим далее, что контактирующие тела дополнительно нагружаются силой Р2 = 2P1, т.е. нагрузка возрастает в три раза. При этом максимальное контактное давление, как следует из формулы (10.2) или (10.7), p01,2 p01 3 3, т.е. p0 возрастает не в три, а лишь в 3 3 1,44 раза .

Приведем, полученные методами теории упругости, результаты исследования напряженного состояния в точках зоны контакта. Ограничимся случаями, когда 1 = 2 = 0,30 .

Для точки в центре контактной площадки (рис. 10.4) максимальное по абсолютной, величине главное напряжение 3 = – р0 возникает непосредственно в точке контакта на грани элементарного кубика, касательной к поверхности контакта. Остальные два главных напряжения для этой точки также сжимающие и равны между собой 1 = 2 = – 0,8р0. Во всех других точках максимальное по модулю напряжение меньше р0 .

Наибольшее напряжение растяжения возникает в любой точке контура контактной площадки, (рис. 10.4): (1 = 0,133 р0; при этом 1 = – 3 и 2 = 0, т.е. здесь в отличие от центральной точки не объемное, а плоское напряженное состояние – чистый сдвиг .

Если оценивать контактную прочность, применяя метод расчета по допускаемым напряжениям (в опасной точке), то надо выбрать ту или иную гипотезу прочности и потребовать, чтобы для опасной точки выполнялось неравенство – условие прочности Э [] .

При этом, естественно, возникает вопрос, какая именно точка зоны контакта опасная. Или, иными словами, для какой точки по выбранной гипотезе прочности эквивалентное напряжение максимально .

Исследование этого вопроса для случая круговой площадки контакта показывает, что точка, для й ЭIII максимально, лежит на нормали к центру контактной площадки на глубине 0,48а под поверхностью. Значения главных напряжений для этой точки даны на рис.

10.4:

1 = 2 = –0,18р0, 3 = –0,80р0 и, следовательно:

ЭIII = 1 – 3 = –0,18р0 – (–0,80 p0) = 0,62 р0 .

Подчеркнем, что, как следует из известной формулы, max 1 3, для указанной точки максимальное касательное напряжение имеет наибольшее значение:

0,18 р0 0,80 р0 max наиб 0,31 р0 .

–  –  –

Практически в большинстве случаев при записи условия прочности приняты иные обозначения, чем приведенные. Учитывая, что р0 численно равно наибольшему по модулю главному напряжению для той точки контактной площадки, на которую передается это давление, т.е. р0 = |3|, пользуются термином «контактное напряжение» и вводят соответствующее обозначение : р0 = |3| = к. При этом условие прочности записывается в виде к [к]. (10.14) Допускаемое контактное напряжение [к] зависит в основном от свойств поверхностных слоев материала деталей и от характера изменения контактных напряжений во времени. Значения [к] существенно выше, чем допускаемые напряжения, принимаемые при оценке общей (на растяжение, изгиб и т.п.) прочности деталей; [к] больше обычных допускаемых напряжений в 1,6–1,7 раза. Практически [] превышает допускаемые напряжения, принимаемые при расчетах на общую (или, как иногда говорят, объемную) прочность, в три – пять раз .

Для иллюстрации сказанного о величинах [] приведем некоторые числовые данные. При расчетах стальных зубчатых колес (напряжения [к] изменяются по циклу, близкому к отнулевому) принимают [к] 400– 700 Н/мм2, а в случаях, когда поверхности зубьев подвергнуты специальной термической или термохимической обработке, обеспечивающей их высокую твердость, [к] может быть в два–два с половиной раза выше чем указано. При определении статической грузоподъемности шариковых и роликовых подшипников принимают [к] 2000–3000 Н/мм2 и выше .

Рассмотрим применение полученных зависимостей на конкретных примерах при статическом действии нагрузки. Практические расчеты на действие циклических контактных напряжений будут рассмотрены в разделе «Детали машин» .

Пример 10.1 .

Упорный шариковый подшипник с плоскими кольцами без желобов (рис. 10.6) статически сжат силами Q = 6,40 кН. Определить размеры площадки контакта между шариком и кольцом и величину наибольшего напряжения на этой площадке, проверить прочность. Диаметр шарика d = 15 мм, число шариков i = 20, коэффициент неравномерности распределения нагрузки между отдельными шариками подшипника – 0,8. Материал шариков и колец – хромистая сталь, допускаемое значение наибольшего напряжения в месте контакта [к] = 3500 МПа, модуль упругости = 2,12105 МПа .

–  –  –

1. На каких предпосылках базируется теория контактных напряжений?

2. Почему в случае действия контактных напряжений материал выдерживает напряжения существенно большие в?

3. Применим ли принцип независимости действия сил к контактным задачам?

4. Где возникают наиболее опасные сочетания главных напряжений в случае контактной задачи?

5. Что такое приведенный модуль упругости контактирующих тел?

6. Как определяется приведенный радиус кривизны в месте контакта?

11. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

–  –  –

До сих пор мы рассматривали методы определения напряжений и перемещений, возникающих в стержнях и соответственно, занимались оценкой их прочности и жесткости. Однако оказывается, что соблюдение условий прочности и жесткости еще не гарантирует способности конструкций выполнять, предназначенные им функции в эксплуатационных режимах. Наряду с выполнением условий прочности и жесткости, необходимо обеспечить и устойчивость конструкций .

При неизменной схеме нагружения, под устойчивостью понимается способность системы сохранять свое первоначальное равновесное состояние. Если рассматриваемая система таким свойством не обладает, то она называется неустойчивой, а ее равновесное состояние – неустойчивым состоянием .

При неизменной схеме нагружения, в процессе роста интенсивности нагрузок, явление потери первоначальной формы называется потерей устойчивости системы. Значения внешних сил, при которых происходит потеря устойчивости, называются критическими .

В некоторых случаях при потере устойчивости, система, переходя в новое устойчивое равновесное состояние, продолжает выполнять свои функции. Однако в подавляющем большинстве случаев, потеря устойчивости системы сопровождается возникновением больших перемещений, пластических деформаций или ее полным разрушением. Поэтому сохранение исходного (расчетного) равновесного состояния системы является важной задачей и одной из основных проблем сопротивления материалов .

Рассмотрим на примерах особенности устойчивого и неустойчивого равновесия тела. Примером могут служить шарик, который контактирует со сферической поверхностью, и сжатый стержень, как показано на рис. 11.1. Равновесие называют устойчивым, если при любом малом отклонении от положения равновесия тело возвращается в исходное положение (рис. 11.1а). Равновесие называют неустойчивым, если при любом малом отклонении от положения равновесия тело не возвращается в исходное положение, а все далее отклоняется от него, пока не попадет в другое устойчивое положение (если это возможно). Для сжатого стержня, если он не сломается или не получит необратимые пластические деформации, этому соответствует случай, когда он, потеряв прямолинейность, не упрется своим концом в опору (рис. 11.1в). При безразличном равновесии тело, будучи отклонено, остается в равновесии и в новом положении (рис. 11.1б) .

Основная задача теории устойчивости заключается в определении критического значения внешних сил и ограничение их величин таким образом, чтобы исключить возможность потери устойчивости заданной системы в эксплуатационных режимах .

–  –  –

В качестве примера на рис. 11.2б и 11.3б показаны формы потери устойчивости консольной балки, нагруженной силой на конце, и кольца, нагруженного равномерным сжатием .

–  –  –

Расчет на устойчивость имеет первостепенное значение для тех элементов конструкций, которые представляют собой сравнительно длинные и тонкие стержни, тонкие пластинки и оболочки. Ниже будут рассмотрены простейшие случаи расчета на устойчивость сжатых стержней, которые наиболее часто используются в конструкциях и сооружениях .

Таким образом, расчет на устойчивость должен обеспечить работу элемента конструкции при первоначальной форме его упругого равновесия, т.е. при нагрузках, меньших критических .

Применительно к расчету сжатых стержней из сказанного следует, что должны быть обеспечены такие соотношения между размерами стержня, характеристиками его материала и действующей на него нагрузкой, при которых гарантируется его работа на сжатие без опасности продольного изгиба. Это значит, что допускаемая сжимающая сила должна быть в некоторое число раз меньше критической.

Это условие устойчивости прямолинейной формы равновесия стержня может быть представлено так:

Pкр (11.1) P, n здесь [P] – допускаемое значение силы, сжимающей стержень; Ркр – критическое значение сжимающей силы для рассчитываемого стержня; [n]

– заданный (требуемый) коэффициент запаса устойчивости .

Отсюда следует, что для расчета на устойчивость необходимо уметь определять критическую силу .

11.2. Устойчивость стержней, работающих в пределах упругости .

Формула Эйлера Рассмотрим вопрос о величине критической силы сжатого стержня, оба конца которого закреплены шарнирно (рис. 11.4а). Пусть стержень находится в несколько изогнутом состоянии (рис. 11.4б). Допустим, что потеря устойчивости происходит при напряжениях, не превышающих предела пропорциональности (пц) материала стержня.

При этом условии справедливо дифференциальное уравнение упругой линии, полученное ранее в разделе 7:

1 d 2v M .

dz 2 EJ В рассматриваемом случае величина изгибающего момента в произвольном поперечном сечении стержня определяется из выражения = –v и дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня будет иметь вид d 2v Pv (11.2) .

dz EJ Знак минус поставлен потому, что независимо от выбора положительного направления оси 0у знаки кривизны и ординаты прогиба v будут противоположны .

Заметим, что для стальных стержней, рассчитываемых на устойчивость по формуле Эйлера, применение высококачественной легированной стали не имеет смысла, так как модуль упругости для стали всех марок практически одинаков (см. ниже). Следовательно, при данных размерах стержня замена обычной стали легированной не дает увеличения его грузоподъемности .

–  –  –

Приведенную длину стержня удобно выразить через фактическую длину и некоторый коэффициент, зависящий от способов закрепления концов стержня: lпр = l .

Коэффициент называют коэффициентом приведения длины;

его значения для наиболее часто встречающихся случаев закрепления концов стержня приведены на рис. 11.6: а – оба конца стержня закреплены шарнирно (могут сближаться); б – нижний конец жестко защемлен, верхний свободен; в – оба конца жестко защемлены (могут сближаться);

г – нижний конец закреплен жестко, верхний – шарнирно (могут сближаться); д – нижний конец закреплен жестко, верхний имеет «плавающую» заделку – запрещен поворот, но возможно перемещение в горизонтальном направлении .

–  –  –

Из (11.10) следует: чем гибкость стержня больше, тем меньше критическое напряжение.

Так как формула Эйлера справедлива, пока критическое напряжение не превышает предела пропорциональности, то, приняв кр пц, можно найти предельную гибкость, ниже которой пользоваться формулой Эйлера нельзя:

–  –  –

Например, для Ст. 3, имеющей = 2,0105 МПа, пц = 200 МПа .

3,14 2 2 105 Тогда пр 100 .

Значит, формула Эйлера для Ст. 3 пригодна только при гибкости стержня больше 100. При гибкости стержней меньше пр формула Эйлера неприменима, так как в этом случае, согласно (11.10), продольный изгиб происходит при напряжениях кр пц и называется неупругим .

–  –  –

Для чугуна формула (11.13) имеет вид: кр = 776 – 12 + 0,053 2 Н/мм2 .

Формула (11.13) применяется при пч.с. Например, для чугунного литья СЧ15-32 пч.с 650 Н/мм2. Если в, то стержень необходимо рассчитывать на прочность, а не на устойчивость. Гибкость, определяющая границу перехода между этими двумя случаями расчета, обозначается 0 .

Формула (11.12) применяется при гибкости стержня в пределах 0 пр, где 0 – значение гибкости, при котором критическое напряжение равно у пластичных материалов пределу текучести, у хрупких – пределу прочности при сжатии .

Таким образом, при расчете на продольный изгиб возможны три случая .

1. Стержни большой гибкости ( пр). Расчет ведется по критической силе, вычисленной по формуле Эйлера. Для стержней большой гибкости, согласно формуле (11.10), критическое напряжение стержня зависит только от упругих свойств материала и гибкости стержня и не зависит от его предела прочности. Следовательно, для таких стержней использование высококачественных сталей не дает повышения кр, так как величина модуля продольной упругости из-за наличия примесей и термической обработки практически остается одинаковым для всех марок. В конструкциях с одинаковым успехом можно применять простые углеродистые стали вместо легированных .

2. Стержни средней гибкости (0 пр), где 0 – гибкость, соответствующая пределу текучести у пластичных материалов или пределу прочности у хрупких материалов. Расчет ведется по критической силе, вычисленной с использованием формулы Ясинского: Ркр = крF .

Рис. 11.7

3. Стержни малой гибкости ( 0). Расчет ведется на прочность, так как в этом случае явление потери устойчивости стержня практически не наблюдается. В качестве предельного напряжения принимается предел текучести для пластичных материалов или предел прочности для хрупких материалов. Для стержней средней и малой гибкости применение стали с более высокими механическими характеристиками целесообразно, так как происходит повышение .

На рисунке 11.7 представлен характер зависимости критического напряжения от гибкости, полученный для стали Ст. 3. На этом графике штриховой линией показано продолжение гиперболы Эйлера в область ее неприменимости ( пр); она проходит выше линии критических напряжений, установленных опытным путем. Приведенный график показывает, что по мере возрастания гибкости стержня критическое напряжение уменьшается, приближаясь к нулю. В строительстве из-за возможности неконтролируемой потери устойчивости существуют ограничения на величину гибкости сжатых стержней .

Следует иметь в виду, что применение формулы Эйлера при продольном изгибе стержней за пределом пропорциональности принципиально неверно и опасно своими последствиями, так как в этом случае, согласно графику – формула Эйлера дает завышенные значения критического напряжения (критической силы) .

В зависимости от постановки задачи (цели расчета) следует различать три вида расчетов на устойчивость:

1. Проверочный расчет, при котором определяется фактический коэффициент запаса устойчивости (nу) и сравнивается с требуемым или нормативным его значением [nу] Pкр (11.14) nу, P где – фактическое значение сжимающей нагрузки .

2. Определение допускаемой нагрузки Pкр (11.15) P .

3. Проектный расчет – определение требуемых размеров поперечного сечения стержня .

При использовании формулы Эйлера в результате проектного расчета определяется требуемое значение минимального момента инерции поперечного сечения стержня:

l2 P nу (11.16) J min .

E После определения J min, F и imin следует проверить гибкость стержня и сравнить ее с предельной, т.е. установить, правильно ли была применена формула Эйлера. Если окажется, что при принятых размерах пр, необходимо произвести пересчет. При выполнении проектного расчета по формуле Ф.С. Ясинского приходится вести его путем ряда попыток, так как зависит от гибкости, а она до определения размеров сечения неизвестна .

Значение требуемого коэффициента запаса устойчивости зависит в основном от назначения рассчитываемого стержня и его материала .

Так, для стальных стержней принимают: в строительных конструкциях [nу] = 1,72,0, для элементов машиностроительных конструкций, например для ходовых винтов станков, [nу] = 4,05,0 .

Для чугунных стержней – в среднем [nу] = 5,0; для деревянных – в среднем [nу] = 3,0 .

Из формулы Эйлера, а также из формулы Ф.С. Ясинского следует, что величина критической силы возрастает с увеличением минимального момента инерции поперечного сечения стержня. Так как устойчивость стержня определяется значением минимального момента инерции его поперечного сечения, то, очевидно, нет смысла применять такие формы сечений, у которых минимальный и максимальный моменты инерции значительно отличаются друг от друга (например, прямоугольное, двутавровое). Рациональны сечения, у которых любая центральная ось является главной и, следовательно, все главные моменты равны между собой. Стойка, имеющая такое сечение, обладает равноустойчивостью во всех направлениях. Из сечений указанного типа следует выбирать такие, которые обладают наибольшим моментом инерции при наименьшей площади (затрате материала). Указанным требованиям удовлетворяет кольцевое сечение. Часто применяют также сечения, составленные из прокатных профилей, расположенных таким образом, что все главные моменты инерции полученного составного сечения одинаковы (см .

рис. 4.10). Для обеспечения совместной работы составного стержня отдельные его ветви должны быть связаны надежной соединительной решеткой .

Рассмотрим особенности применения полученных выводов на примерах .

Пример 11.1 .

Проверить на устойчивость сжатую стойку трубчатого сечения (рис. 11.8) из хромомолибденовой стали (пц = 540 Н/мм2, = 2,15105 Н/мм2), если требуемый коэффициент запаса устойчивости [nу] = 3,5 .

Решение. Определяем предельную гибкость для материала стойки:

2,15 105 E 3,14 63 .

пр пц

–  –  –

Контрольные вопросы

1. Что понимается под устойчивым и неустойчивым равновесием?

2. Объяснить сущность продольного изгиба .

3. Какая сила называется критической?

4. Что понимается под запасом устойчивости?

5. Как записывается формула Эйлера?

6. Что такое приведенная длина стержня? От чего она зависит?

7. Почему в формуле Эйлера вводится минимальный момент инерции?

8. Как определяется гибкость стержня?

9. Какие эмпирические формулы используются, если гибкость стержня меньше предельной величины?

10. Как определить допускаемое напряжение, если формула Эйлера неприменима?

11. Как выбирается допускаемое напряжение для сжатых элементов при расчете строительных конструкций? От чего зависит значение коэффициента продольного изгиба?

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Материал, рассмотренный в первом разделе дисциплины «Прикладная механика» – «Сопротивление материалов» – посвящен изучению механических свойств различных материалов, из которых выполняются элементы, детали машин и механизмов, иных искусственных сооружений, а также методы их расчета на прочность, жесткость, усталостную долговечность, устойчивость. Используется общетеоретический подход к решению задач без учета особенностей реальной эксплуатации и соответствующих дополнительных расчетных допущений.

Как правило, в курсе «Сопротивление материалов» рассматриваются два основных типа задач:

– проектировочный расчет элемента (определение его прочных размеров) при известных материале (механические и прочностные характеристики) и действующих на него нагрузках;

– проверочный расчет (проверка на прочность или жесткость), когда нагрузки, материал, размеры проверяемого элемента известны .

«Сопротивление материалов» в начале своего появления в инженерной практике в основном использовалось для расчета на прочность строительных конструкций, которые, как правило, были неподвижны и действующие на них нагрузки были заранее известны .

По мере развития техники возникла потребность в проектировании и расчете на прочность элементов и узлов машин и механизмов, нагрузки на которые определялись их геометрическими размерами, параметрами движения, условиями их эксплуатации. Подобные вопросы рассматриваются в следующих разделах дисциплины «Прикладная механика» – «Теория механизмов и машин» и «Детали машин» .

Раздел «Теория механизмов и машин» позволяет изучить и освоить общие методы исследования (анализа) и проектирования (синтеза) механизмов машин, понять принципы преобразования движения с помощью механизмов, ознакомить студентов с системным подходом к проектированию машин и механизмов, нахождению оптимальных параметров механизмов по известным (заданным) условиям работы .

Основные разделы курса ТММ: структура механизмов и машин;

геометрия механизмов и их элементов; кинематика механизмов; динамика машин и механизмов .

Основной задачей курса «Детали машин» является освоение общих методов инженерных расчетов на базе типовых элементов машин .

Современное машиностроение отличается сложностью зависимостей работоспособности реальных элементов машин. Работоспособность определяется не только величинами и характерами нагрузок, применяемыми материалами и обработкой, но и существенными для нее оказываются размеры и форма деталей, потребный срок службы, возможные перегрузки, концентраторы напряжения и т.п. Вследствие такого многообразия факторов и соответствующих расчетных допущений появляется необходимость в многочисленных поправочных, уточняющих коэффициентах. Именно в этом проявляется основное отличие инженерных методов расчета от общетеоретических .

ЛИТЕРАТУРА

1. Феодосьв, В.И. Сопротивление материалов: учебник / В.И. Феодосьев. – М.: Машиностроение, 2001. – 544 с .

2. Горшков, А.Г. Сопротивление материалов: учеб. пособие для втузов по машиностроит. направлениям / А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашелин. – 2-е изд., исправ. – М.: Физматлит, 2008. – 543 с .

ОГЛАВЛЕНИЕ1. ВВЕДЕНИЕ В ДИСЦИПЛИНУ

1.1. Основные понятия и определения, связь с другими дисциплинами

1.2. Гипотезы и допущения

1.3. Классификация внешних сил и элементов конструкций

1.4. Внутренние силовые факторы. Метод сечений

1.5. Понятие о напряжениях

Контрольные вопросы



Pages:   || 2 |


Похожие работы:

«МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОВЕТ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ, МЕТРОЛОГИИ И СЕРТИФИКАЦИИ (МГС) INTERSTATE COUNCIL FOR STANDARDIZATION, METROLOGY AND CERTIFICATION (ISC) ГОСТ МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ IEC 61000-4-4СТАНДАРТ Электромагнитная сов...»

«Lenovo TAB4 10 Plus Руководство пользователя Lenovo TB-X704F Lenovo TB-X704L Lenovo TB-X704Y Вся информация, помеченная звездочкой (*) в данном руководстве, относится только к модели WLAN+LTE (Lenovo TB-X704L). Введение Прежде чем использовать информацию и само издел...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ НАУКИ РФ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" В.В. Слепушки...»

«ОАО "Научно-исследовательский институт металлургической теплотехники – ВНИИМТ" Данный документ содержит перечень печатных трудов известного ученого в области подготовки металлургического сырья Буткарева Анатолия Петровича одного из старейших работников научно-исследовательского института металлургической теплотехники –...»

«Отраслевые научные и прикладные исследования: Производство, переработка и хранение сельскохозяйственной продукции УДК 641.87:642.5069.6 ОСОБЕННОСТИ ПРОИЗВОДСТВА КОМБИНИРОВАННЫХ МЯСОРАСТИТЕЛЬНЫХ ПАШТЕТОВ ––––––– FEATURES OF THE...»

«10 июня 2016 года № 341-УГ УКАЗ ГУБЕРНАТОРА СВЕРДЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ О ПОЧЕТНОМ ДИПЛОМЕ ГУБЕРНАТОРА СВЕРДЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ В соответствии с Областным законом от 19 апреля 1999 года № 5-ОЗ О наградах, почетных званиях Свердловской области и наградах высших органов государственной власти Свердловской области п...»

«РУКОВОДСТВО ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ Серия 5 UE43N5500A UE49N5500A UE43N5510A UE49N5510A UE43N5540A UE49N5540A UE43N5570A UE49N5570A Благодарим за приобретение изделия компании Samsung. Для наилучшего обслуживания зарегистрируйте свое устройство по адресу: www.samsung.com Модель Серийный номер Перед изучением этого руководств...»

«УТВЕРЖДЕН постановлением администрации МО Кировский район Ленинградской области от 26 декабря 2015г. № 3345 (приложение) Инвестиционный паспорт Кировского муниципального района Ленинградской области г...»

«ИЯ РС ВЕ www.globuc.com/ru/cisdownstream АЯ НН ЛЕ ОВ V ежегодная конференция Н ОБ ПРОЕКТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В НЕФТЕПЕРЕРАБОТКЕ И НЕФТЕХИМИИ 04-05 октября 2018 Франкфурт, Германия Техвизит на крупнейший в мире химический комплекс ЛЮДВИГСХАФЕН SROSNOPS EZN...»

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗ А ССР ШТАНГИ НАСОСНЫЕ И МУФТЫ К НИМ ТЕХНИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ГОСТ 13877—80 (СТ СЭВ 4785—84) Издание официальное Е ИЗДАТЕЛЬСТВО СТАНДАРТОВ Москва сертификация УДК 622.24.053:006.354 Группа Г43 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗ А ССР ШТАНГИ НАСОСНЫЕ И МУФТЫ К...»

«МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОВЕТ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ, МЕТРОЛОГИИ И СЕРТИФИКАЦИИ (МГС) INTERSTATE COUNCIL FOR STANDARDIZATION, METROLOGY AND CERTIFICATION (ISC) ГОСТ 33164.3МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ (EN 1 804-3:2006+ A 1: 2010) О б о р у д о в а н и е го р н о -ш а х т н о е КРЕПИ МЕХАНИЗИРОВАННЫЕ. СИСТЕМЫ УПРАВ...»

«International Paint Ltd. Справочный Лист Безопасности EAB052 INTERZONE 954 10B15 Gardenia Part A Номер редакции документа 1 Дата Последней Редакции 30/07/13 Соответствует требованиям Директивы (EC) No.1907/2006 (REACH), Приложения II. РАЗДЕЛ 1: Идентификация вещества / смеси и компании/ изготовителя INTERZONE...»

«МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОВЕТ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ, МЕТРОЛОГИИ И СЕРТИФИКАЦИИ (МГС) INTERSTATE COUNCIL FOR STANDARDIZATION, METROLOGY AND CERTIFICATION (ISC) ГОСТ МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ 11539СТАНДАРТ ФАНЕРА БАКЕЛИЗИРОВАННАЯ Технические условия Издание официальное Москва Стандартинформ ГОСТ 11539—2...»

«Э. Р. ЗАКРЖЕВСКИЙ ВЕТРОДВИГАТЕЛИ ДЛЯ МЕХАНИЗАЦИИ ЖИВОТНОВОДЧЕСКИХ Ф'ЕРМ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО БССР Редакция сельскохозяйственной литературы МИНСК 1959 В книге излагаются данные по выберу ветроОвигателя, подбору машин и оборудования для кормооб­ рабатывающего цеха, а также указаны способы це­ лесообразной...»

«OptiLink TM РУКОВОДСТВО ПО МОНТАЖУ ! РЕГИОНЫ, В КОТОРЫХ РАЗРЕШЕНА ЭКСПЛУАТАЦИЯ МОДУЛЕЙ OPTILINK-ECU Условия использования базовых станций WLAN различны, их специфика определяется в регионах. В отдельных случаях определенные к...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ П...»

«промышленные стальные конструкции Проектирование Производство Производство блочноМеталлических и железометаллоконструкций модульного бетонных конструкций Кабельные и трубные оборудования, зданий различной сложности эстакады, быстровозводимые Конструкции, здания, здания и т. д. факельное оборудование,...»

«Типовые решения для подключения абонентов PON в коттеджных поселках с использованием технологии навивки оптических жгутов. г.Москва Август 2017 1 . Описание технологии.1.1. Основы, преимущества. Технология примени...»

«ХАРИТОНОВА Наталия Анатольевна УПРАВЛЕНИЕ РАСХОДАМИ ПРОМЫШЛЕННОГО ПРЕДПРИЯТИЯ (на примере черной металлургии) Специальности: 08.00.05 "Экономика и управление народным хозяйством" (экономика, организация и управление предприятиями, отраслями и комплексами в промышленности) 08.00.12 "Бухгалтерский уче...»

«1. МЕХАНИКА 1.1 Кинематика поступательного движения 1. Материальная точка движется вдоль прямой так, что ее ускорение линейно растет и за первые 10 с достигает значения 5 м/с. Определить скорость точки в конце десятой секунды.2. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением S= A + Bt + Ct...»

«Общество с ограниченной ответственностью "Союзпетрострой-Эксперт" свидетельство об аккредитации № RA.RU.611188 на бланке № 0001364, выдано Федеральной службой по аккредитации 07 марта 2018 года свидетельство об аккредитации...»

«ПРОЕКТНАЯ ДЕКЛАРАЦИЯ Многоэтажные жилые дома ГП-1, ГП-2, ГП-3, ГП-4 с объектами инфраструктуры на земельном участке с КН 72:23:0427001:15702 по адресу: Тюменская область, г. Тюмень № 72-000315 01 О фирменном наименовании (наименовании) заст ройщика, мест е нахождения з...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В. А. Сергеев, Е. В. Кипчарская, Д. К. Подымало ОСНОВЫ ИННОВАЦИОННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ Учебное пособие Под редакцией доктора те...»

«Техническое описание Сервер FUJITSU PRIMERGY TX1310 M1 Напольные серверы Техническое описание Сервер FUJITSU PRIMERGY TX1310 M1 Напольные серверы Откройте для себя мир серверов Fujitsu PRIMERGY Fujitsu PRIMERGY TX1310 M1 – идеальный Серверы...»







 
2019 www.librus.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - собрание публикаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.