WWW.LIBRUS.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - собрание публикаций
 

«по избранным проблемам статистической механики _ International symposium on selected topics in statistical Mechanics f ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ J J M C ? - Д17-84-850, Ш ...»

Международный

симпозиум ^

по избранным

проблемам

статистической

механики

_ International

symposium

on selected

topics

in statistical

Mechanics

f

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

J J M C ? - Д17-84-850,

Ш Международный симпозиум

по избранным проблемам

статистической механики

Дубна. 22 26 августа 1984 года

Том И

III International Symposium

on Selected Topics

in Statistical Mechanics

Dubna. 22-26 August 1981 Volume II Организаторы: Объединенный институт ядерных исследований .

Математический институт им. В.А.Стеклова АН СССР ОРГКОМИТЕТ Председатель Оргкомитета - Н.Н.Боголюбов Заместитель председателя - Н.Н.Боголюбов (мл.) Заместитель председателя - С.П.Новиков Ученый секретарь - В.Н.Плечко Члены Оргкомитета: - В.Г.Барьяхтар

- В.Г.Маханьков

- В.Б.Приеэжев

- А.И.Романов

- Б.И.Садовников

- А.Н.Сисакян

- В.К.Федянин

- А.С.Шумовский Organizers: JoitfbrlnatiAliitei-fiDratShjclear R e s e a r c h and StekXov M a t h e m a t i c a l I n s t i t u t e o f t h e Academy of S c i e n c e s of thf. USSR

ORGANIZING COMMITTEE

• N.N.Bogolubov Cha irman

• N.N.Bogolubov, Jr .

Vice-chairman S.P.Novikov Vice-chairman V.N.Plechko Scientific Secretary Members of the Organizing Committee: V.G.Baryakhtar V.G.Makhankov V.B.Priezzhev A.I.Romanov B.I.Sadovnikov

–  –  –

© О&шл/щмшштЛ яжстмтут ядаршлс аселадовиай JtfVu, 1985 .

С 22 по 26 августа 198') года в Дубне проходил Ш Международный симпозиум по избранным проблемам статистической механики. Симпозиум был организован Объединенным институтом ядерных исследований и Мате­ матическим институтом им. В.А.Стеклова Академии наук СССР. Предыдущие два симпозиума состоялись в Дубне в апреле 1977 и августе 1981 гг .

Б работе симпозиума приняли участие более 120 специалистов из 14 стран, было сделано около 70 докладов и сообщений. Программа симпозиума вклю­ чала следующие вопросы: строгие методы и результаты в статистической механике, модели квантовой статистики, кинетика и динамика квантовых и классических систем, фазовые переходы и критические явления, современ­ ная теория солитонов, смежные вопросы теории поля и ядерной физики .

Труды симпозиума публикуются в двух томах. Доклады расположены в алфа­ витном порядке фамилий авторов .

Оргкомитет

The III International Symposium on Selected Topics in Statisti­ cal Mechanics was held at Dubna on August 22-26, 1984. The Symposium was organized by the Joint Institute for Nuclear Research and the Steklov Mathematical Institute of the Academy of Sciences of the USSR. The previous Symposia were held at Dubna in April 1977 and August 1981 .

A number of more than 120 scientists from fourteen countries were atten­ ded and of about 70 talks and short communications were presented to Symposium. The program included the following problems: rigorous me­ thods and results in statistical mechanics, models in quantum statis­ tics, quantum and classical kinetics and dynamics, phase transitions and critical phenomena, modern theory of solitons, related aspects of field theory and nuclear physics. The present Symposium Proceedings are published ir two volumes. The reports are arranged in the Russian alphabetic order according to speaker's names .





–  –  –

«ч^ЯИИЙмвгййчйв^

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ

А. А. ЛОГУНОВ, М.А.МЕСТВИРИШВИЛИ Государственный университет им.М.В.Ломоносова, Москва

–  –  –

Настоящая работа подводит итоги предшествующих исследо­ ваний (1,2|иэавершает построение релятивистской теории грави­ тации (РТГ) в рамках специального принципа относительности, который ранее применялся только к механическим явлениям, а затем Анри Пуанкаре как всеобщий принцип был выдвинут для всех физических явлений и сформулирован следующим обра­ зом [ ;i] : "Законы физических явлений будут одинаковыми как дли покоящегося наблюдателя, так и для наблюдателя, находяще­ гося в состоянии равномерного поступательного движения, так что мы не имеем и не можем иметь никаких средств, чтобы различить, находимся ли мы в таком движении или нет". Принято считать почти до сих пор, что содержание принципа относитель­ ности ограничено утверждением о существовании только одного класса координатных систем, так называемых инерциальных систем отсчета, в которых физические процессы Протекают оди­ наковым образом. Однако, как показано в работе |4 |, открытие Миикопским псевдоевклидовой геомотрии пространства-времени позволяет сформулировать обобщенный принцип относительнос­ ти, справедливый не только для класса инерциальных систем отсчета, но и для классов неинерциальных систем отсчета. Обоб­ щенный принцип относительности сформулирован нами в работе [4 I следующим образом: какую бы физическую систему отсчета мы ни избрали (инерциальную или неинерциальную), всегда можно указать бесконечную совокупность других систем отсчета, таких, в которых все физические явления протекают одинаково с- исходной системой отсчета; так что мы не имеем и не можем иметь никаких средств для различения на эксперименте, в какой именно системе отсчета из этой бесконечной совокупности мы на­ ходимся .

Открытие псевдоевклидовой геометрии пространства-време­ ни позволяет сформулировать физические законы как в инерциальных, так и в неинерциальных системах отсчетами этим самым опровергнуть укоренившиеся ошибочные утверждения (5) о неприменимости специальной теории относительности к ускорен­ ным системам отсчета. Это означает, что при описании физических явлений в пространстве Минкоиского и ЗАВИСИМОСТИ от физичес­ кой задачи мы можем выбрать любую подходящую систему отсче­ та, адекватную данной задаче, а следовательно, и задать соотиетстik нующий метрический тензор 7 пространства Минкоиского .

Согласно идеологии общей теории относительности (ОТО), следует, что специальный принцип относительности неприменим для гравитационных явлений. Именно в этом центральном пункте почти семьдесят лет назад Эйнштейн и Гильберт совершили при построении ОТО принципиальный отход от специальной теории относительности, который и привел к отказу от законов сохране­ ния энергии-импульса и момента колнчепна движения, а также к возникновению нефизических понятий о нелокагшзуемости гра­ витационной энергии и многому другому, что не имь^т никакого отношения к гравитации .

Эти два великих ученых покинули удивительной простоты пространство Минковского, обладающее максимальной (десятипараметрнческой ) группой движения пространствам вошли в дебри римановой геометрии, которые затянули и последующие поколения физиков, занимающихся гравитацией. Некоторые авторы отказ от законов сохранения энергии-импульса в ОТО даже рассматривают как важнейший принципиальный шаг, который сделала эта теория, низвергнув такие понятия, к а к энергия. Однако мы были бы слишком легко­ мысленны, если бы без должных экспериментальных оснований отказались от важнейшего закона природы — чакона сохранения энергии-импульса и момента количества движения замкнутой системы .

П работах | 1! было показано, что поскольку ОТО не имеет и не может иметь законов сохранения энер! ии-импульса вещеегна и гравитационного поля вместе взятых, инертная масса, определен­ ная в теории Эйнштейна, не имеет физического смысла, поток гравитационного излучения, как он определен в ОТО, всегда может быть уничтожен соответствующим выбором допустимой системы отсчета, а следовательно, квадрупольная формула Эйн­ штейна, для излучения гравитационного поля не является след­ ствием ОТО. Из общей теории относительности в принципе не следует, что двойная система теряет энергию из-за гравитацион­ ного излучения. ОТО не имеет классического ньютоновского пре­ дела, а следовательно, она не удовлетворяет одному из наиболее фундаментальных принципов физики — принципу соответствия .

Вот к чему приводит отсутствие в ОТО законов сохранения энергии-импульса, если отказаться от догматизма, серьезно вдуматься в существо проблемы и провести почти элементарный анализ. Все это свидетельствует о том, что общая теория относи­ тельности не является удовлетворительной физической теорией, поэтому задача построения классической теории гравитации, ко­ торая удовлетворяла бы всем требованиям, предъявляемым к фи­ зической теории, является насущной проблемой .

В основе нашей теории в противоположность ОТО лежит спе­ циальный принцип относительности, который мы, следуя Пуан­ каре, считаем всеобщим, а следовательно, применимым и для гравитационных явлений. Таким образом, в нашем подходе за­ коны сохранения энергии-импульса и моманта количества движе­ ния строго выполняются, имеют ковариантный характер, а поэто­ му в теории не возникает каких-либо псевдотензоров, а следова­ тельно, и нефизических понятий о нелокализуемости гравитаци­ онной энергии. Образно говоря, наша задача заключается прежде всего в том, чтобы, не покидая пространства Минковского с по­ мощью тензорного гравитационного поля и принципа геометриза­ ции, построить эффективное полевое риманово пространство со строгим соблюдением законов сохранения материи. Это позволит в необходимых случаях использовать риманово пространство, но уже освещенное законами сохранения материи. Заметим, что так построенное риманово пространство имеет в буквальном смысле полевую природу, поскольку это эффективное силовое простран­ ство создается гравитационным полем типа поля Фарадея-Максвелла. Эту программу мы и проведем в данной статье, разви­ вая работы [ 6 1. При этом нам удастся с необходимостью со­ хранить уравнения Гильберта-Эйнштейна, дополнив их четырьмя новыми полевыми уравнениями, согласно которым гравита­ ционное поле имеет в общем случае только спин 2 и 0 .

Такая теория изменяет сложившиеся под влиянием ОТО представления о пространстве-времени, выводит нас из дебрей римановой геометрии и по духу соответствует современным теориям в физике элементарных частиц. Все оказывается удиви­ тельно просто и естественно и приходится только удивляться, что путь к этой простоте и ясности занял почти семьдесят лет. Как следствие данной теории, общий принцип относительности Эйн­ штейна лишен физического смысла и не имеет никакого содержа­ ния | 7 | .

В основе развиваемой здесь теории лежит представление о гравитационном поле как физическом поле в духе Фарадея—Мак­ свелла, обладающем энергией-импульсом. Таким образом, грави­ тационное поле, аналогично всем другим физическим полям, ха­ рактеризуется своим тензором энергии-импульса системы. Гра­ витационное поле мы рассматриваем как физическое поле со спином 2 и 0, причем свободное гравитационное поле имеет спин 2. Геометрия пространства-времени для всех физических полей является псевдогвклидовой (пространство Минковского) .

Таким образом, законы сохранения энергии-импульса, момента количества движения для замкнутой системы строго выполня­ ются. В этом состоит основное принципиальное отличие пашей теории от ОТО Эйнштейна .

Другим важнейшим вопросом, возникающим при построении теории гравитации, является вопрос о взаимодействии гравитаци­ онного поля с веществом. Гравитационное поле, как мы сейчас представляем, является универсальным: оно действует на все ви­ ды материи. В основу теории положим принцип геометризации | 1 |, согласно которому уравнения движения вещества под цейегнием тензорного гравитационного поля ф в пространстве Минковского с метрическим тензором т ', могут быть гождестLieiiMO представлены как уравнения движения вещества п эфФектиш.ом римановом пространстве-времени с метрическим тензоik ik ром А', зависящим от гравитационного поля ф и метрического ik тензора у. J I H M самым мы вводим представление об эффек­ тивном римановом пространстве полевой природы. На основании пространства Минковского и принципа геометризации плотность лагранжиана имеет общий вид lk k ik __ i = /. ( 7. V )+L„(I,l ), (Л) g A _ lk — Р = V 7 0 плотность тензора полевой переменной грави­ к тационного поля 3 шинный расчет дает Е • Улучшить аналитические результаты для термодинамических функций в фазе спинового стекла, на наш взгляд, возможно, если предположить, что каждый локальный минимум участвует в усреднении со своим статистическим весом, равным e/X^{-Jb\j/(-im4,},{3i.j})}. где j",^ V K T, 3lj

–  –  –

Угловые скобки ^- • •/•» означают усреднение с весовой функцией интег­ рала X. Нетрудно видеть, что приС;,= 0 вышеприведенные выражения переходят з формулы теории однородных средних /8/. Выражения для F, Е и S упрощается в предельных случаях температур, близких к критической температуре перехода в фазу спинового стекла и темпе­ ратурах, близких к нулю .

Рассмотрим сперва непосредственную окрестность температуры перехода в фазу спинового стекла ( Т 4 Т&р\ Асимптотика интеграла J и система (2) рассматриваются для случая oLc 3 4. i что соответ­ ствует каноническому статистическому весу eotbf-bf) • Тогда вблизи Т й а ддля параметров порядка получаем: .

ля,,

–  –  –

В области низких температур оно приводит к расходящемуся выражении для свободной энергии F/N = - J /АК^Г, поэтому это решение считается нефизичным во всей температурной области, в том числе вблизиTsa, Найти аналитическим способом физическое решение в области низки/ температур для взвешенных средних типа - ~ * ^ не удалось .

При рассмотрении случая kf-i, Л/4=-0 и L --\, когда в % качестве канонических статистических весов выступает функция -*'"& ( S - энтропия), исследование системы уравнений (2) в области низких температур приводит к разложениям для параметров порядка CL, Д и Л и для термодинамических функций F, Е и S, отличающихся от соответствующих выражений однородных усреднений в членах порядка

2. Смешанная Фаза. Проведенные до сих пор исследования относятся к центрированному в нуле гауссовсжому распределению обменных взаимо­ действий J y. Остановимся теперь на изучении нормального распределе­ ния "Зи с отличным от нуля первым моментом У • Это позволяет иссле­ довать смешанную фазу спинового стекла и ферромагнетизма. Конфигура­ ционное усреднение термодинамических функций в этом случае выполня­ ется в предположении равновероятного учета статистических весов, т.е. вычисляются однородные средние. На основе этого получена замк­ нутая система интегральных уравнений для пяти параметров порядка 0,, Д, X, Ьь и JU/, которые описывают поведение физической системы во всей температурной области. Iff - магнитный момент, in - дополни­ тельная по фурье-лреоОрэзоввнию к УУ) величина:

–  –  –

отличны от нули. Этому случаю соответствуют отличные от нуля парамет­ ры А.X и Q • Решение системы (э) возможно только при некоторых частных предположениях относительно параметров теории .

Рассмотрим частный случай температур, Олизких к температуре лири ( Т"~ "П. ) »ри условии У jf.

о это:.: случае получаем:

с

В этой температурной области средняя энергия имеет вид:

–  –  –

The plasma frequency is oquivalent to the mass, while the finite density of electrons leading tu divergent "vaouum" current fluctuations resembles thestron? renormaliied coupling of Schwinger's theory. In sjj.'.f of th" absence of low -f reqiu.ncy photons, цаи^е invariance and part icle conservat ion are clearly satisfied in the plasma" .

Anderson was able to draw a direct parallel between the dielectric

–  –  –

При 4 "t = 0,92 в системе происходит ц.азовый переход первого рода в ориентационно-упорядоченное состояние .

Для описания свойств разбавленной квадрупольной системы мы предлагаем рассмотреть аналогичную модель со случайным взаимодей­ ствием и применить подход Шеррингтона и Киркпатрика ' ' .

Пусть теперь в (I) "vTi,!- случайные взаимодействия бесконечно­ го радиуса с независимым распределением вероятностей

–  –  –

const paLnts can be exploited to optimize the choice of the collcctivc variables I.hat mos t easily describe the quasi part icle exс i tat ions of the sys tnm. Thi s al tern.it ivc point of vi ew migh L also be promt s i ng even for the study of the excitation spectrum of known many-body systems under new physical conditions .

–  –  –

Э7 down to zero due to the presence of a mass less scalar, the go Ids tone boson,

с) e "small", S" = 1 The model describes scalar electrodynamics. 4e have transversalIty and masslessness of the gauge field. The longitudinal field does not describe a physical degree of freedom. The "vacuum" ground state has all the symmetries of the lagrangian .

d) e "large" and =1 We are in the Schwinger regime. The vacuum is described by a dynamical condensation of particle-antiparticle pairs with superconducting properties in the sense that the structure of the low lying excited states is similar to that of a superconducting system .

As for the Higgs case, the gauge field acquires a mass with its longitudinal component describing a physical degree of freedom .

e) « = О, = -1 Г We have the Higgs model. The gauge field becomes massive, its longi­ tudinal component describing a physical degree of freedom. The vacuum grand state is described in terms of a particle condensate which is not spontaneous but somehow "forced" by the mass term which acts as chemical potential to impose a constrained occupation of the vacuum .

What we want to show is that these properties are preserved in t. e 'i nonrelativistic limit of the model, which is given in terras of a manybody Hamiltonian describing its low-energy behaviour .

The nonrelativis tic lagrangian, obtained through the liraitiny, proce­ dure briefly described in the introduction and appl ied toKq.(l),is 'ivenby

–  –  –

system, which is the nonrelativistic limit df the lagrangian in (1) with ^ - i, the plasma frequency in Eq. (11) is not defined,since it depends on the number of particles N and goes to infinity with N .

Hence it is likely that in thu corresponding relativistic theory, problems arise due to the non existence of the Galilean limit .

The connection of this fact with the nonrenormalizability of the relativistic theory described by Eq. (1) with X =0 would be worth invest igating .

Уf о When in the Hamiltonian (10), it is possible to show that the energy per parLicle is bounded from below and that -1[N)--^N, so that the quantity in Eq. (11) is well defined. More precisely, introducing the two quantities, having dimension of a length

–  –  –

The implieation of this would be that the longi tudinal bo-son field is not a fundamental field, a fact whi^h can be re la ted to t lie roccnt finding thai even in the relativistic model, the longitudinal gauge field is the gradient of a compac t variable, i.e.,

–  –  –

Finally we want to add a brief comment about the possibility, mentioned in the introduction, of defining collective variables in the many-body theory by comparison with their relativistic parent. The llamiltonian (5) together with the constraint (6) and the commutation relations (7) provides an example of such procedure. Indeed in order to descri be longitudinal densi ty fluctuations Гаг this system we can use the constraint (6) either to eliminate the fields & and. in favour of the matter fields Ф*.,^ or to eliminate the matter field c ^ in f;.'our of 4 6L and .

* In this latter case ^- and E. describe, as is possible to shov: b\ a direct calculation, the longitudinal densi ty fluct ual ions of the нуsi em .

–  –  –

Введение. Хорошо известно, что во многих задачах теории нелиней­ ных колебаний ведена эффективен так называемый метод усреднения / Н.Н.Боголюбова и др.(см° ').Этот метод применяется в том случае,ког­ да невозмущенная система обладает каким-то количеством циклов - точ­ ных периодических реиений (однофазный случай) или торов - квазипе­ риодических решений (многофазный случай), зависящих от нескольких параметров. Фазовая частица, находящаяся вблизи этого семейства решений, будет "быстро" колебаться вдоль торов этого семейства, к "медленно" дрейфовать по параметрам; возникает усреднённая по быст­ рым колебаниям система для медленного дрейфа по семейству параметров, от которых зависят эти торы .

Исследовании медленного дрейфе в первом приближении, оценке сле­ дующих членов разложения по отношению быстрого и медленного масшта­ бов, анализу резонансных случаев посвящен ряд классических работ (би­ блиографию см. в ' ' ) .

Возможны, в принципе, различные теоретико-полевые аналоги метода усреднения. Тот вариант, который обсуждается нами, является не толь­ ко теоретико-полевым аналогом метода усреднения типа метода Боголю­ бова и др.,но одновременно и нелинейным аналогом известного метода ВКБ в.квантовой механике(или эйконала в оптике).В этом варианте сама система возмущению не подвергается; она обладает семейством точных решений вида (эО fiUx+Tt-.u',..., и"), («) U(u} У ( и ) - это /К -компонентные векторы, где t

–  –  –

ременной "?i .

Ищутся решения исходной системы, имеющие вид (я) в первом приближе­ нии по естественному малому параметру - отношению "быстрого" и "медденного "масштабов, где остаток имеет нулевое среднее по быстрым ко­ K лебаниям. При этом u (x,ir), к = /,,..., л/ - являются не кон­ стантами, а медленно меняющимися функциями координат при ~t=0. При определенных условиях на семейство решений ( I ) исходной системы, в первом приближении возникает так называемое "уравнение Уизема медлен­ ных модуляций" ±±\ у)у,) °^-, Vj i Ш где матрица зависит от исходной системы. Эта теория была начата Уиземом (ом. ' ' ) в 60 г г.

, затем продолжена Маслоь-ым (см.' ', Хейесом ' ' ), Абловицеы и Бенни ( ™, Лревичем и Питаевсниы (' ' ), Флашкой, Маклафлиным и Форвстом (сы, ' ' ), Доброхо­ товым и Масловыи Программа исследований, осуществляемая автором, Б.А.Дубровиным и С.П.Царевым (см, работы ' ', ) направлена на решение следующих за­ дач:

Кадача I. Разработать универсальный гамильтонов формализм усред­ ненных систем первого приближения - уравнений типа Уизема и ^олее общих систем гидродинамического типа, учитывая следующее .

j.) естественно ожидать, что усредненная система такав консервативна; 2) это подтверждается частными результатами работ ( ', ' ' ) ; хотя подход этих работ геометрически неиивариантен и ' апеллирует к специальным координатам типа переменных Клебша; еще Ринан в XIX веке обращал внимание на то, что уравнения типа (х*) - это гсюметрический объект, инвариантный относительно замен lAC^).По­ этому естественно ожидать геометрически инвариантного гамильтонова формализма .

Задача 2. Если исходная теоретико-полевая система вполне интег­ рируема (например, методом обратной задачи ' ' ), то она обладает боль­ шим количеством точных решений вида (я), называемых "конечкозонными" или " алгеброгеометрическими" .

Естественно ожидать, что усреднённая по этим семействам торов система также вполне интегрируема. Однако ни в одном нетривиальном случае это не удавалось установить .

Решение задачи I было дано автором в Б.А. Дубровиным в ^ Л зада­ ча 2 решена С.П.Царевым - см. вмже § 4 ). Оказалось, что процедура точного решения усреднённой системы ве может быть сформулирована без геометрически инвариантного гамилмоновэ формализма; поэтому задачи I и 2 оказались неразделимыми. Дальнейшее развитие гамилмонова фор­ мализма систем гидродинамического типа обсуждается в ' '. Этому посвяцены гакжо исследования ряда учеников автора, выполняемые сейчас .

§ I. Определения Системы гидродинамического типа ("типа идеальных жидкостей"

- возможно, многокомпонентных, с внутренними степенями свободы, но без вязкости) имеет вид, по определения (пространственно-одномерный л / - компонентный случай), ила

–  –  –

где п не зависит о* производных 4«,... Разработка гамяньтоиоаа формализма для систем (1),(2) началась недавно (см.^', ' w .

Скобки Пуассона гидродинамического типа определяются, кроме обцкх требований, формулой (4) (4)

-+ "J Гамильтонианы вида (3) с помощью скобок (4) порождав! консервативные системы гидродинамического типа (1),(2) :

Важный факт: только консервативные систем» вида ( I ), (2) реализуются физически!

§ II. Геометрия Теория систем и скобок Пуассона гидродинамического типе инвари­ антна относительно лонвлькых замен координа1 вида (6), ЕСПОЙЬЗОБЗКкнх еще Раменок для упрощения систем (I) при ft - { :

Однако кменно скобки Луассонэ порождает гсометрто р U - простран­ стве ^многообразие ЛС"), рзучевкуи р. работах автора и Б.А. Луброгсi-a ( ' ', ' ' ) ; результаты особенно ьолнн - т. гфоС'Хренстгсиво-одЕог'згкос сгучаэ л- /, где вндекс ^ отсутствует: PKBOI «сто Теорема. ЕС»Е МаЧфО ь &*=$'* l~s* i io-iips Еамакаг к/wj величина $'• и) преобразуется пак лсегдорш'йрога Й Ы ргле, а Г/ - ках набор CWBOJIOE Kprciof-foTO.Скобка (1) обга^ст гсек <

–  –  –

ных скобок вида ф 4 ф * (о) и ф * () - (Q) приводит, как показали ученики автора, к чрезвычайно интересным бесконечномерным алгвбраы Ли, классификация которых определяется некоторыми конечномер­ ными - ассоциативными или Лиевскими - алгебрами. Слагаемое типа CD яявейно зависит от полей W, порождая бесковечнуг алгебру Ли; стар­ шее слагаемое имеет вид (8) в координатах W. Исходя из других по­ становов вопроса, отдельные примеры такого типа (хотя я весьма непол­ но) обсуждались в '*', ' ' .

–  –  –

Принцип наследования консервативности при усреднении формулирует­ ся так (см. 1^' ) : пусть,во-первых, система ( I I ) гамидьтонова с произвольными локальными (не зависящими явно от л" ) скобкой Пуассона и гамильтонианом, и, во-вторых, найдется ипволютивныя набор локальных полевых интегралов J. С,/f /• J J^ ^/,..., л/ таких-то г к ~~ И-J на решениях (12). Тогда усредненная система (13) ивдяетоя K консервативной системой гидродинамического типа, где -и** /",и скобка Пуассона (4) определяется формулой (14)

–  –  –

(знак черты сверху означает усреднение по быстрым осцилляцинм) .

Плотность гэнилмони8на(иыцульса)усрздненной системы получается не­ посредственно иэ плотности гамильтониана (импульса) исходной системы усреднением .

–  –  –

Для двухкомловен ного случая л/ =Л еще Риквн показал, что за­ меной uf-vr) натри' Vj /и) можно всегда сделать диагональной ъ об­ ласти, если собственные числа вещественны и различны. Для л/Л это уже не всегда так. Если система ( I ) в некоторых координатах 1А. име­ ет диагональную матрицу У *, то координаты и '..., vi называют­ ся инвариантами Римэна .

Для л/* известно, также с НХ века, что для обратных функций г г %( гл ', и ), 1 (и', а ) уравнение ( I ) переходит в линейное ("метод годографа"). Аналогов метода годографа для л/Я известно не было .

Вместе с тем в последние годы ряд специалистов по теории солито нов начал изучать уравнения медленных модуляций типа Уизема (13) для интегрируемых теоретико-полевых систем вида ( I I ) - например, KJV или Sine- &от/оп др, _ используя семейства конечнозовных или и алгебро-геометрических решений вида(12), которые дает метод обратной задачи для этих систем (см. ' ' ) • Выяснилось, в частности, что урав­ нения Уизема (13) в случаях ^AlT и Sine- &T/O.I приводятся к диа­ гональному виду (Уизем, Флэши, маклафлин). Однако, несмотря на ин­ тегрируемость исходной системы типа KJV или Sine- &oiori y интегрируемость усредненных уравнений Уизема установить не удавалось .

Автор высказал гипотезу' ' о том,что соединение двух свойств:приводимооти системы (I) х диагональному виду вместе с консервативностью (гамильтоиевосты)) порождает повышенную интегрируемость сиотаи гидро­ динамического типа ( I ) .

Эта гипотеза недавно была доказана аспирантом Царевым (МГУ)' '.Он г.оказан, что системы, диагональные и гамилыоновы, обладают достаточ­ но большим семейством ннвопотных интегралов гидродинамического типа ( 3 ). Все ахи интегралы порождает новые системы гидродинамического ти­ па, коммутирующие с исходной. Найденный им аналог метода годографа для У Z таков.

Пусть гадавы две коммутирующие гамилыоновы системы гидродинамического типа (15):

Если ~Vj - диагональна, то набор уравнений (16) (К) wjfuj= vif")x+ t& дает ровно л/ уравнений на л/ неизвестны! функций & '*' ' Теорема Царева состоит в том, что решение и *fa,4) уравнений (16) является решением системы (I):

Доказательство существенно использует коммутативность и гамильтоновость обоих потоков (15).Мы видим, что вместо метода обратной залечи для усредненной системы процедура интегрирования включает лишь обра­ щения конечномерного отображения (16), зависящего от fx,i) как от параметров .

–  –  –

что если '"игчяя систйма зависит от параметра, то обычно бывает извест­ но се p w t w p ичк нуля по*-; значении этого параметра. При этом удается постгюить канонические преобразования, выражающиеся в виде степенных гчдов по дачному ичг-нч»тру. функциональной основой применения преоб­ разований Ли к построению канонических преобразовашп * является выпол­ нимость CBoi'cTp производной Ли для оператора эволюции рассматриваемо?

динамической систем». М применим технику Ли для квантовых систем,су­ ы щественно используя проставление ВеШм. Описание рятав Ли "ак осноьы исследо11!шм.1 о задачах классической динамики содержится в работах '- ' '. Впервые ряды Ли к методам теории возмущении применил Хори в работе ' ', Депри модифицировал ' подход Хори и применил его к ис­ следованию задач классической механики. п

–  –  –

Используя известные тождества тут коммутаторов произвольных операто­ ров нашей динамическое системы я также преобразование ( 1. 4 ), находим, что определенная нами скобоч­ ная операция (3.1) с законом умножения (1.7) удовлетворяет соотноше­ ниям где f ) \, n -соответствующие вейлевские символы операторов \% и )^.

Выполнимость свойств (.'S.3) показывает, что (3.2) есть произ­ водная Ли на соответствующем пространстве основных функций с законом композиции (Ж Из (3.3) имеем, что производная Вейля удовлетворяет следующим важным свойствам:

(3.4) где •( i p -произвольные комплексные числа. Введем по определению TJ^'f = f. Тогда Л - я производная Вейля. генепируемая *ункчи

–  –  –

Таким образом мы установили, что для квантовой механики, динамика ко­ торой задается с помощью скобок Вейля, соответствующих скобкам Пуас­ сона классической динамики, так не,как -л в классическом случае, спра­ ведлива Функциональная основа, допускавшая применение преобразовании Ли. При этом фундаментальную роль играют следующие ниже утверждения, на которых основано применение теории Ли к построению канонических преобразований для нашего квантового случая. _, Теорема I. Пусть § -постоянный параметр. Пусть * (fi p JUtJ -мерный вектор, где f и - Л/-мерные векторы, построенные кз канонически сопряженных символов fi, f,i, то есть их скобка Вей­ ля есть симплектическая матрица J M. Пусть fs(§,3) - JUJ -мер­ ный вектор. Если существует такая вещественная аналитическая функция (3,f). что ряд г * f = evjbfswTO^ (з.9) сходится в некоторой области fp,#) -пространства, то преобразование (3.9) будет каноническим .

Доказательство. Используя свойства (3.8), имеем: f," fjj =•

–  –  –

Важную роль в дальнейшем играет закон преобразования операторов и соответствующих им символов при канонических преобразованиях (3.9) или (З.Г4). Введенному выше оператору Ли ~Ws на алгебре символов соответствует оператор присоединенного представления на алгебре дина­ мических операторов: ~)№~ Д * [Д, S ] = а к* А • Данный оператор также является оператором Ли и непрерывным дифференцированием.

Поэто­ му для него выполнено следующее условие:

где ±. -произвольная функция из S. Воспользуемся последним соотно­ шением для установления закона преобразования символов при каноничес­ ких преобразованиях Ли с производящей функцией &{ji$) б). Исполь­ зуя определения (1.2)—(1.3) вейлевского квантования,имезм для произ­ вольного оператора

–  –  –

Совершая преобразования ВеРля С ?w-i* W * Н №№ # \ШЩ+Шй .

получаем слелугадае основные канонические уравнения движения для сим­ волов / ^ i i f j f j и jYj?,|f} наших операторов (мы учли, что для гамиль­ тонианов, не ?явислнщх ЯЕНО от времени, выполнен закон сохранения, то есть гамильтониан инвариантен при временное эволюции системы):

H { M-f[«W.WJ $-il W №)- «-* С учетом определения скобок Вейля мн видим, что уравнения ( J. 17) пред­ ставляют ooCo.i лиг1г:епенниальше уплвненля в ч1стннх производных. Зги уравнения линейны.

Нач.члыше условия имеют вид:

fl(fP\ -символ гамильтониан:* нат"й системч. И показанных выше теог ра.; непосредственно следует инвариантность уравнений движения (3,]7) при канонических преобразованиях. В самом д&яе, а^стъ j?-» Sj О?)»

$ —i $i (?). Тогда в яопнх переменных уравнения движения (Л.17) будут иметь вид:

jf= Цн(Ь(1!Ш()), 2(К?Ш()Л)}.*-(*д1

Учитывая свойства (3.8) и теорему 3, имеем:

–  –  –

где учтени соответствующие нзчалъше условия (3.18). Отским видно,что Е силу теоремн Т последит: преобразования являются каноническими, ЧТО И доказывает наше утверждение. Кроме того, мы непогр"лственно замеча­ ем, что каноническое mvo6p.4-oBamiP (Я.Г) (п также и (4.14)) является решением системы уравнений движения тип (3.17) с соответстнутвиек про­ х изводящей йунктшеГ' i^tpif'; б ). Уравнения (3.17 ^ядают одночаряметрический дшМ^есмсрАизм класса С на J-K/+ { -мерном прост­ ранстве JR. х JR х JR.. При этом сохранение iter ового объема (теорема Лиувилля) чепосредствечно следует из c-.-j.mx урявн"иий движе­ ния. В самом доле, справедлива Теорема 4 .

где Х- x(j5,fiir), $= 3(р1~к") - решения уравнений (3.17) .

Доказательство. Введем более компактные обозначения. f = k o j f ) JLAJ -мерный вектор. ? s(fi?) - Лл/ -мерный "начальный" вектор .

–  –  –

что и требовглось доказать .

.'.аметим, что данная теорема следует непосредственно из факта симметричности оператора диЫяпенгшрования Нн, задающего эволюгапс нашей системы с помошьи уравнений (3.17) ' °',

4. Нормализация гамильтонианов квантовой механики. Теория возму­ щений Применим развитый в предыдущем разделе Формализм для приведения гамильтонианов квантовой механики к нормальному виду:

й- p'+i W.D При этом ми будем предполагать зависимость гамильтониана от малого &, что дает возможность нормализации гамильтониана в параметра каждом порядке теории возмущений по & .

Приведение гамильтонианов к нормальному виду (4.1) означает точлоо раиак..о исходно.; задачи,так как уравнения двимния в этом случае интегрируются.

Расгмотрим одномерный линейный гармонический осцилля­ W ft*"* t*~ • Символ гамильтониана в данном случае есть //« l тор Z _ ь -/ Ч • Скобка Вейля г Таким образом, в данном случае уравнения движения (3.17) для символов координаты a (Pif, +J и импульса X(ftp~t) принимают вид:

Начальные условия стандартны ((3,18)). Уравнения первого порядка (4.2) легко интегрируются.

Получаем для символов Вейля гармонического осциллятора выражения:

–  –  –

(4.3) являются опорными решениями в методе теории возмушений, к изло­ жению которого мы переходим .

Для простоты будем рассматривать одномерный случай. Пусть нам з а пана квантовая система с гамильтонианом И С р, ', €), зависящим от малого параметра &. Будем считать, что при S •= О гамильтониан Н становится нормальным гамильтонианом H(G,i!o\g !ioCjS,^\=p*i* .

М хотим найти такое каноническое преобразование, при котором исход­ ы ный гамильтониан принимает нормальный вид. Используя оператор экспо­ ненциального отображения ( 3. 1 2 ), задачу можно сформулировать следу­ ющим образом. Надо найти такую производящую функцию $(f0 преоб­ разования Ли, чтобы в новых канонических переменных В, Q, свя­ занных со старыми переменными b и преобразованием Ли

–  –  –

где п о =• (з •+ ^,. Рассмотрим полностью каноническое ппеобразование (4.4) с генератором В соответствии с теоремой 3 в новых переменных гамильтониан ппимет вид При этом мы должны считать, что существует сходящиеся ряд, то есть Подставляя в (4.7) ряды (4.5),(4.6) и (4.8) и приравнивая коэффициен­ ты при одинаковых степенях ё, имеем:

–  –  –

лучаем алгоритм приведения исходного гамильтониана (4.5) к нормально­ му виду с помощью теории возмущений по & на основе канонического преобразования (4.4). Отметим, что на каждом этапе необходимо решать дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка, что дает возможность получения решения в квадратурах. Основной вопрос при этом, как и в классической механике, нанимает доказательство сходимости соответствующего ряда. Имеет место аналог теоремы Биркгофа о полной интегрируемости .

В качестве примера рассмотрим одномерный нелинейный осциллятор, символ гамильтониана которого имеет вид:

Тогда в соответствии с (4.9) имеем:

–  –  –

Ратить::"' метол обобщает известную процедуру нормализации Яиркгоа, основанную на канонических преобразованиях Ли классическое меха­ нику .

Литература

1. Ландау Ji..':., Липшиц Е Л. Механика. "Наука", М., 197.Ч .

2. Арнольд П.И. Математически»? методы классическое механики. "Наука", М., 1979 .

Л. Керезин Ф.А. Метод вторичного квантования, "Наука", ? !, I9RS .

. .

4. * e y l II. Orup:ienth«orl« und Qunntenmechunllt. ? n d. e r i., L e i p z i g, 1411 .

5. Морозов В,Г., Саякович Л.П. II Международный симпозиум по избран­ ным проблемам статистической механики. ОИЯИ,Д17-81-75Р,Дубна,I981 .

6. Березнн Ф.А. УФН, т. 132, ш п. З, с.497-548, Т980 .

7. Neumann von J. kutn. Ann. v,104, p.570, 1931 .

8. Lie M.S. Theorie rier trunsformat iongru:vien, v.1, Leipzig, 1ЯЧЧ .

9. Leimanis K. The genejiil problem of motion of coupled rep-.id hodie::

about н fixed point. Sprin^er-Verlug, New York, p. 1?1, lq&r- .

10. Зжгелъ К.Л. Лекции по небесной механике. ИЛ, М., 1959 .

11. Ыорег J. Сопш. Pure Appl. tl.atii. v. 8, p. /109, W i .

12. Hori U. J. Jupan A s t r o n. S o c. v. 1 8, p. ^ 8 7, 1%G .

13. D e p r i t A. C e l e s t. Menh. v. 1, p.1?, 1964 .

14. D e p r i t A., Horn A. C e l e s t. Meoh. v. i, p. 1 6 6, 1970 .

15. Береяин Ф.А. ив. АН СССР. Сер. матем., т.;38, с. Ш б, 1974 .

16. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодичесяая теория, "На­ ука", М., 1980 .

I

–  –  –

В 1962 году Джовефоон'" предсказал возыохвость протекания не­ затухающих соков в сверхпроводвяхах, разделенных тонки слоен изоля­ тора (ховтакт типа S1S ),за спет аффекта когерентного туияелирования хуперовских вар. Токовые состояния в таков систене не сопровож­ дается возникновением разности потенциалов между сверхпроводниками, образующими контакт, если величина тока не превосходят предельного значения J-, которое оказывается значительно меньше критичес­ кого термодинамического тока, характерного для массивного сверхпро­ водника; если ке J /*,»„ • возникает разность потенциалов, а ток осциллирует, при атом, если поддерживать разность потенциалов V постоянной, осцилляции имеют частоту v = 2.eV/L .

Общие физические идея Джозефсона оказались применимы и к кон­ тактам другого типа, например, к контакту типа J//S, где символ А/ обозначает прослойку нормального металла нейду сверхпроводниками, тол­ щина которой далее обозначается буквой d. Математическое описание токовых состоянии в $JY$ -контактах должно опираться на последова­ тельную микроскопическую теорию токовых состоянии в сверхпроводниках, основой которой являются уравнения Боголюбова в общем пространствен­ но-неоднородном случае. Это связано с тем, что простая модельная сей­ ма, использующая приближенное понятие туннельного гамильтониана и сводящая эффективным образом задачу к проотранотвенно-однороднои, применима линь в случае, когда вероятность туннелированил отдельно­ го алектрояа нала, что соответствует экспериментально! ситуации в случае SIS контакта, во несправедливо ждя контакта S&S .

Последовательная микроскопическая теория токовых состоянии в сверхпроводниках включает реяенне уравнения, описывающего простран­ ственное изменение параметра сверхпроводящего упорядочения Д{%Т) (зависящего также от температуры Т )• Это реяенне удаетоя д а в ляжь для температур, близких к кржтжчеокож, благодаря возможности произвести разложение по отепеняя Л. Уравнения корни сверхпро­ водимости переходят при этом уравнения Гинзбурга-Ландау практичес­ ки во вое! сверхпроводящей системе за исключением тонкого поверхно­ стного слоя порядка сверхпроводящей длины когерентности $"„, где справедливо линейное интегральное уравнение для А • Основы такой теории заложены в работах ' ', а сана теория в её современной форме достаточно подробно изложена в книге' ' .

При температурах, гораздо ниже критической, также существует достаточно хорошо разработанная теория стационарных свойств S/YS контакта, несмотря на невозможность решения нелинейного интеграль­ ного уравнения для Д ' * '. Возможность теоретического описания в этом случае связана с использованием большого отношения U/l • В та­ ких условиях знание точного поведения Л вблизи границы несущест­ венно, так как параметр упорядочения Д отличается от своего асимп­ тотического значения в глубине массивного сверхпроводника Д лишь — в относительно узкой области порядка Г вблизи Гранины, а поэто­ му вклад указанной области в свободную энергию мал. Это и дает воз­ можность аппроксимировать истинное поведение Д как функции коорди­ нат постоянным вплоть до границы значением. Разумеется, фазы парамет­ ра упорядочения на левой и правой границах раздела сверхпроводников должны быть выбраны разными, если мы хотим описать токоьсе состояние .

В данном докладе м не будем касаться теории S/VS -контакта ы при Т « Т, а рассмотрим некоторые новые результаты, относящие­ с ся к случае температур, близких к критической.

По сравнению с теори­ ей, изложенной в книге' л а также с докладом автора на предыдущем,!!, дубневскон симпозиуме, речь будет идти о следующем развитии теории:

1) учет немагнитных примесей произвольной концентрации в контакте' ;

2) учет возможного отражения электронов на границах раздела нормаль­ ной прослойки и сверхпроводника' С В стандартной модели, в рамках которой отличие сверхпроводни­ ка от нормального металла заключается лишь в том, что в последнем ис­ чезает константа эффективного притяжения 4, интегральное уравнение для 4, полученное линеаризацией точного уравнения самосогласования в теории сверхпроводимости, имеет вид

-Ж Прр его написании мм приняли, что начало координат находится посре­ дине нормальной прослойки, а ось 02 направлена перпендикулярно граница!: раздела нормального металла и сверхпроводников. В простей­ шем случае чистого контакте, т. е. контакта, не содержащего примесей, ядро Kfe) определяется формулой

–  –  –

лее опускаем, Л^. = /, =• / .

Нас, однако, будет интересовать более общий случая; когда в кон­ такте ииептся немагнитные примеси, тогда ядро выглядит гораздо слож­ нее, и удобнее вышсать его преобразование Фурье, иыесцее достаточно простой вид

–  –  –

и м приходим к (2). Другой простой предельный случай возникает, ы когда €« 5 (высокая концентрация примесеЯ), тогда,учитывая, а что характерные / и / ~ '/Г ^ нетрудно показать, что (3) приводится к форме а в конфигурационной пространстве Отметим, что характерная длина, на которой меняется ядро,в чистом случае есть I. - длина когерентности, а в грязном", как видно из Поведение реаеиия интегрального уравнения ( I ) на бесконечности определяется некоторыми проспан обджин свойствами его ядра:а) к(р), а следовательно, я Jtfr) - функция четная, б) Jffe) -положительно,

ъ) SK(i-2')А*'="(")-1, г ) уравнение JcCi) = l инеет един­ ственный корень второго порядка в точке р ~ о. Все эти свойства легко проверяется; так, соотношение KM-j имеет место в силу оп­ ределения критической температуры Во избежание недоразумения подчеркнем, что сумма по частотам обреза­ на на дебаевской частоте, хотя указание на это обстоятельство, как обычно, опускаем .

Следствием свойства г) является то, что асимптотика решения интегрального уравнения ( I ) на бесконечности линейна. Используя безразмерную координату, запипем

–  –  –

Поскольку уравнение ( I ) обладает лево-правой симметрией, мож­ но перейти к зашссн его на полуоси, вводя четную й (;) в нечетную Д (С) части функции &(€~) .

После сдвига переменно! на с(/2, получаем два уравнения

–  –  –

ны, а фиксируется однозначно; наше! дальнейшей задачей является их вычисление. В8 реяеиие существенно облегчается тем обстоятельством, что второе влагаемое в (9) при cf»T, можно считать малым: дейст­ вительно характерны длины, на которых убывает ядро в безразмерных переменных порядка единицы, тогда как О.» А.. Таким образом, при решении уравнений (9) можно применить теории возмущений. Пред

–  –  –

тривиальны. Так, так что,согласно (22), Аналогично Интегралы (23) могут быть асимптотически оценены и в общем слу­ чае промежуточных звачевий концентрации примесей. Опуская соответст­ в у е т е выкладки, приведем результат (26)

–  –  –

Тогда реальную релаксацию, имеющую характерный временной мас­ штаб X "де. и описываемую уравнением типа ( в ), можно аппрок­ симировать последовательностью квазистационарных состояний, каждое из которых рассматривается на временах (t-T)«(Z- ^/ог­ раничение сверху связано с конечным временем жизни данного ква­ зистационарного состояния/ и (t-t) SI /ограничение снизу необходимо для того, чтобы успели произойти все "быстрые" из­ менения, и можно было бы применять аппарат статистической ме­ ханики/. Отметим, что квазистационарнне состояния переходят в строго стационарные при "выключении" взаимодействия. Таким образом, благодаря наличию малого параметра эе/Sl, при описа­ нии неравновесных процессов в системе с гамильтонианом ( i ) ока­ зывается весьма плодотворным применение идей и методов равно­ весной статистической механики, которые работают с тем большей точностью, чем меньше указанный параметр .

Займемся подробнее исследованием таких кваэистационарных состояний методом двухвременннх функций Грина. Для функции Грина системы S при этой '%*ЛЬ.= j. зто свойство, являвшееся аналогом унитарности рассеяния, обеспечивает равенство указанных выражений. Теперь исклсчш1 в (28) производные в соответствии с ( I I ), тогда

–  –  –

Здесь Л„ - значение параметра упорядочения в глубине сверхпроводника, i ( T / - 5„ 1 j^ /_т/т ^ ' разность фаз параметра упорядочения на левой и правой границах равна f. Подставляя (31) в (30) и используя приведенное значение j f r - j. а также Л „. п о ­ лучим окончательно

–  –  –

знать её для вычисления тока не нужно; поскольку (3)=-1,2 чис­ ленный коэффициент порядка единицы, определявшей величиной являет­ ся ЭД„, как и утверждалось. Подстановка (24) и (25) дает извест­ ные значения для тока в чистом и „грязном" случаях, которые м описы­ ы вать не будем .

Рассмотрим кратко случай, когда на одной из границ раздела (расположенной при Z = о ) электроны испытывают отражение, так что коэффициент прохождения % отличен от единицы и завиоит от косинуса угла наклона вектора импульса электрона к оси 02, c+ti = х В этом случае интегральное уравнение для параметра упорядочения мо­ жет быть приведено к уравнению на полуоси путем введения двух функ

–  –  –

Достаточно рассмотреть только одно из уравнений, например,для u^fc), поскольку член, связывающий оба уравнения в систему, мал по парамет­ ру I. M. Зто уравнение, если сохранить в нем члены не вше перво­ го порядка по параметру г*-р(-А1$. ~), вмеет вид Здесь (СГс) дается формулой (2) (мы рассматриваем чистый случай) ;

асимптотическая форма второго слагаемого в (ЗЭ) определяется че­ рез ъсо .

После выделения линейной асимптотики решения при -» * под­ + становкой V (? I =• Сл ( + % „ % fa) чмучаем уравнение для ijP^.; :

–  –  –

определявшие поведение параметра упорядочения на MS - и /\Я -гра­ ницах соответственно .

* Положим Д"'^) = С, ^ 1 / С ) ;. '()-Cite+IJV), а для отыс­ кания функций й fci и ^ ; ' применим метод Галеркива с пробными функциями в виде постоянных А, и А. Тогда 2

–  –  –

После вычисления интегралов, входящих в (35), и подстановки значения постоянных Л, и А имеем /

–  –  –

Как видки, ^ сяова внпало яэ окончательного результата, но посто­ янная f " сохранилась. Она также проще всего вычисляется методом Галёркива. Наибольший интерес представляет собой выражение для а'°' при 2.i. В этом случае (см. О

–  –  –

Характерной чертой ответа является, помимо уменьшения тока на фактор t&H), изменение температурной зависимости (вместо закона ([ -Т/т У - с закон ( 1 - Т / т Л ' ) .

В заключение сделаем несколько замечаний по вопросу о точности использованной вычислительной процедуры. В предложенном методе зада­ ча о расчете токовых состояния решается в два этапа: на первом при­ меняется теория вознуиений, основанная на малости отношения Ы, и с её помощью получается формула для Ц^,, выражающая эту величи­ ну через интеграл от решения вспомогательной "невозиущенной" задачи об Af -границе (или, соответственно, tfl S -границе, если имеется отра­ жение). Решение этой последней может быть, в принципе, найдено с по­ мощью метода Винера-Хопфа и последующего расчета квадратур на компь­ ютере. Представляется,однако, что примененный нами метод Галёркина обладает определенным преимуществом, поскольку позволяет о хорошей точностью вручную получить аналитические формулы, вполне обозримые и наглядные физически. Ранее' ' ' для приближенного аналитического расчета использовался метод Ритца, однако позднее выяснилось, что его не удается применять в задачах с несимметричным контактом (например, при наличии отражения), поскольку не удалось построить соответствую­ щий функционал.Поэтому в таких задачах применение метода Галёркина, не требующего знания функционала, оказалось решающим моментом. Разу­ меется, можно было бы уточнять выбор пробной функции, однако с нашей точки зрения в этом нет надобности, т.к. никакой новой физики это не даот, а приведет лишь к уточнению численных коэффициентов порядка единицы .

Ли тература

1. Jo3ephson В. l'hya.Lett., 1902, 1, р. 251-253 .

2. Де 1ен. Сверхпроводимость металлов и сплавов. U.: Чщ',' 1968 .

3. Гадайко В.П., Свидэинский А.В., Спвсарев В.А. - 1ЭТФ, 1969, J6, вып. 3, 835-640 .

4. Свидэинский А.В. Пространственно-неоднородные задачи теории сверх­ проводимости. П.:"Наука; 1962 .

5. Савченко С И., Свидэинский А.В. - ТИФ, 1983, _56, * 2, 288-300 .

6. Свидзинския А.В., Голубев Л.В. - ТИФ, 198ч, 59, t I, I29-I38 .

–  –  –

Кабардино-Балкарский ордена Дружбы народов госуниверситет.Нальчик Поверхности кристаллических твердых тел обладают особенностями энергетических спектров определяощих ряд их интересных свойств .

Так, например, Бардин' ' объяснил "аномальные" результаты работе/, полученные для контакта металла с кремнием на языке таммовских сос­ тояний. Перестройка поверхностей полупроводников, "эффект поля" и т. д. находят свое объяснение такте в рамках представлений о поверх­ ностных состояниях. То, что в полупроводниках твммовсние состояния проявляет себя в нормальных условиях, понятно, так как характерный интервал запрещенной зоны порядка 0,1 э.ь глубина лчвушни -*0,0I 3.J и порядка энергии теплового движения, т. е. таймов он ие состояния в них оказывается заполненными .

Что касается диэлектриков, то здесь ситуация другая. При шири­ не запрещенной зоны ~ 10 у.,, глубина ловушки оказывается порядка Т э,,и их заполнение за счет теплового движения электронов оказыва­ ется невозможным. Тем не менее, в подходящих условиях таммовские состояния в диэлектриках могут определять ряд э№ктов. Рассмотре­ нию некоторых таких свойств диэлектриков, определяемых этими особен­ ностями, посвявено данное сообщение .

В частности, существование таммовских состояний (энергетиче­ ских уровней, для диэлектриков не обязательно заполненных в отсут­ ствие внешнего п о л я ) ' ' может привести к тому, что вероятность туннелирования Зинера в поверхностном слое может быть существенно выше, чем в объеме.

В самом деле, вероятность туннелирования через барьер шириной Еа дается выражением' '' :

–  –  –

где а. - период решетки,, /м.. заряд • масса электрона,

- напряженность внешнего электрического поля .

Для поверхности кристалла эта же вероятность будет :

–  –  –

В (3) V - вулоновский потенинал точечных зарядов решетки, Ч-Ai/Av - отношение решеточных сумм по изолированной плоской сетке (А*" ) к объему .

Более строгий расчет глубивы ловушки в рамках квантовомеханических методов встречается с большими трудностями ' '. Поэтому для учета других видов сил взаимодействия в решетке можно поступить сле­ дующем одра зон.

Струитурво-термодяяамичесвим методом ъ' ' было по­ казано, что удельная поверхностная энергия грани ( А * ^ ) равна :

e(m)=zv (f.-i)n(iu) :

где суммирование проводится по всем видам сил взаимодействия, м(Ак) - число частиц на единице площади поверхности грани О** )• из сравнения ( 4 ) с (3) можно ваклочить, что где теперь 5с - сужение запрещенной зовы за счет всех видов 'лгятсчйчх сил .

йезгтзуч ( 5 ) глч отноюимя вероятностей тунналирования в объе­ ме 1 sa лерерхаостн, получаем :

при cfortj/hf/ltij *#, что всегда выполняется для диэлект­ риков, эти представления даст возможность для качественного объясне­ ния экспериментального факта снижения порога лучевой прочности по­ верхности диэлектриков в сравнении с объемом в поле лазерного излу­ чения' ' .

Если постулировать, что лавинный процесс пробоя вачивается при фиксированной вероятности туннелировашя Зинера, то отношение крити­ ческих напряжевностей волей из ( I ) и ( 2 ) с учетом ( 5 ) будет :

(б) Формула ( 6 ) отражает ориентациоввую зависимость критической напряженности воля лазерного излучения для данного вещества - для гравей кристалла с большей поверхностной энергией лучевая прочвость меньше, - которая нашла экспериментальное подтверждение для двух граней флюорита .

При переходе от одного кристалла к другому, в зависимости от отношения 6(hkt)/g может явблвдаться как обваружеивая в ' ' t

–  –  –

его, то произойдет перекачка электронов из валентной зовы в поверх­ ностные состояния. После снятия воэмуцения, в результате рекомбина­ ции электронов в валентную зову, должно наблюдеткя свечение поверх­ ности в видимой, или близкой к ней, области спектра. Такое свечение наблюдалось в ряде работ / -, однако его механизм объясняется, на ввж взгляд, недостаточно убедительво с физической точки зрения .

Решая квантовое кинетическое уравнение для электронов в зове проводимости в жнффуаиовном приближении и рассматривая их рассеяние на фововах, авторы/'' получили выражение для критического поля про­ боя в объеме твердых тел. Эти выражения позволяют проводить числен­ ные расчеты, которые удовлетворитедьво согласуются с эксперименталь­ ными данными .

Для рассмотрения вопроса о пороге лучевой прочности поверхнос­ ти диэлектрика, с л е д у я ' ', используем гамильтониан вида :

(7) //=//^хн?4'Д vc* v, * ч), w где / / - гаыяльтоввав электрон-фовоивой системы, вспользоеанвый / 9 /. t)p _ ч ота фонснов в поверхностном слое иристалла; ё+ и а аст ^j, - операторы рождения в уничтожения фововов; &$, - матричный элемент электров-фоновного взаимодействяя; операторы с ивдевсом Р относятся х электрону .

Исходя из уравнения для матрицы плотности системы

–  –  –

Звачиои " 1 " обозначены коэффициенты уравнения Фоккера-Яланка, сос­ тавленного для объема; значком " 2 " - коэффициенты, появляющиеся sa счет добавки (7) к гамильтониану //*, т. е. за счет учете по­ верхности кристалла .

Численные оценка t*. DO ЭТИК формулам показывают его свяже­ f т е по сравнению с * примерно в два раза .

ЛИТЕРА ТУРА

–  –  –

I. Введение. Одним из основных вопросов квантовой статистиче­ ской механики является исследование модельных динамических задач точными математическими методами. Особый интерес представляет метод аппроксимирующих гамильтонианов, развитый 1..1!.Гоголюбовым(мл.)' ', для получения асимптотически точного выражения для свободной энер­ гии системы в термодинамическом пределе, когда объем системы V—»» .

йтот подход основан на замене задачи с модельньы гамильтониа­ ном Н, решение которой для конечных систем не представляется воз­ можным, к точно решаемой задаче со специально выбираемым аппрокси­ мирующим гамильтонианом Н 00 • Метод такого рода аппроксимации о включает в себя доказательство асимптотической близости (при //—voo) функций свободной энергии и термодинамических средних, вычисляемых по основному Н и аппроксимирующему Н (е) гамильтонианам .

–  –  –

Применяя неравенство Н.И.ооголюбови ' ' :

J"I u дальнейшем, где специально не будет оговорено, вместо ч"'^ будем писать ^ • • • ^ из соображений удобства .

–  –  –

1. Bogolubov N.H ( j r. ). - Phyeica., 1966, 32, 933-Э44 .

2. Боголюбов ii.H. (ь;л.). Метод исследования -.гаделькых га..ди1ьто1ь.анов .

"Наука", „I., i97-l .

3. Brankov J.G.,Schiu»ovalcy A.S..Zagrebnov V.-Physica, 1974,78,183-86 .

'i. лапушкин J.J.llpeiipiiHT (Х1НИ,Р-17-Ли6, AyJiia, I37»t .

3. иранков.1.Г., Загреонов о.Л., Гончев К. J. - f.'-lj, {97j,'.'I,22,Л.-Э2 .

G. Курбатов Л..1., Плечко ij.l!. - Tl-L', 1976, 26, ISI, 26, ^ 3 - i I G .

7. Brankov J.G.,Tonch3v N.S..Zagrebnov V, -Phyalea,1975,79,125-127 .

*. Бранкоэ д. Г., Гончев Н. Z. Препринт OilXi ?h-6li~, дуэна, 1эУ( .

9. Bogolubov H.N.(jr.),Pl«ehko V.N., IC/75/68,Tri«ete, 1975. 49 .

IJ. Нерр К and Lieb. -Ana.I ya.(N.Y.).,1973, 76, 360-404 .

–  –  –

thers in a 1 + 1 dimensional system with the potential * * is studi­ f ed on the basis of temperature-Green-function technique developed in the fielu theory. It is shown that quantum fluctuations of the Bose field P at finite temperature may restore the symmetry broken at zero temperature. The effects of a finite temperature appear only through diagrams of higher order in the coupling constant. The mass renormalization completely eliminates the divergence from boson loops .

At finite temperatures the physical mass of the Bose field and the soliton energy depend on temperature and decrease with increas­ s ing temperature, and Ej vanisnes at T * T, where T is the cri­ tical temperature .

In the present article we study the phase transition witn tne symmetry restoration in the two-dimensional ^ model when the fermions are included. This model is explored both in relativistic field /2/ У1/ theory and in condensed matter physics'. The effects due to the fermion-density increase are considered .

tte take the Lagrangian to be

–  –  –

The potential energy of system (1) on the classical level For M, ) 0 we have the doubly degenerate ground state with minimum Ф • ( " • t/^/JT follows we shall assume that N = 2 .

wilet at 5 Ii To define the quantum corrections in (1), one should perform a shift if _, if'+ff, where С is a minimum of the potential energy of the field ^ when all the quantum corrections are taken into ac­ count. After the shift the interaction terms in (1) give rise to mul­ tiloop graphs divergent logarithmically in two dimensions. We should impose some sort of weak-coupling conditions in order to justify the use of perturbation theory. It will be assumed that А ~ й « i. In this case we shall only consider the one-loop graphs. According to ref.'*' at finite temperature all logarithmic divergences are cancel­ led by the redefinition of the polynomial part of the Lagrangian and by the introduction of a counterterm into the interaction г г 8{*%СМ,*)У Q(l«l) where is divergent logarithmically and depends on the temperature of system T and on the chemical po­ tential oC. The one-loop graphs that contain logarthmic divergen­ ces are the tadpole and the boson self-energy (see Fig., where da­ shed lines denote scalar fields, solid lines denote spinor fields) .

–  –  –

(4) Ле can determine G(T,4.) by requiring that the divergences in both the tadpole and boson self-energy are cancelled by the divergences in (4). In the case of a two-dimensional system after renormalization one can obtain where

–  –  –

renormalization of the Bose field at T « 0, i~6 .

The presence or absence of spontaneous symmetry breaking at any given temperature can be determined by examining the minimum of ЬЛЧ) .

In our case

–  –  –

tions from fermion loops in the case об * О are suppressed. The phase transition depends only on the quantum fluctuations of the Возе field .

Without fermions ( в - 0) the result (14) is consistent with that of (in the region I) the order parameter ff refs. ' °. As T • T * t

–  –  –

ed, and we obtain wnere rf. - / f. Discarding terras which represent small corrections we have The examination of expression (11) gives the following result

–  –  –

Явления, связанные с образованием и распространенней солитонов в неограниченных однородных системах, хорошо изучены. Однако реаль­ ные физические системы ограничены в пространстве и имеет неоднород­ ности внутренней структуры, что приводит к возникновении принципиаль­ но новых физических эффектов. В связи с этим в последние годы сфор­ мировалось новое направление в физике солитонов. Его основная з а д а ­ ча: выявление нетривиальных эффектов границ и внутренних неоднородностей на эволюцию нелинейно взаимодействующих полей .

Достаточно общие результаты можно, разумеется, получить лишь в том случае, когда неоднородности локализованы (источники ), а одно­ родная система в каком-то смысле интегрируема (.нам необходимо иметь достаточный запас решений однородной системы, из которых можно сшить решения неоднородной системы, удовлетворяющие условиям на границах) .

".иОолее интересны, конечно, интегрируемые системы, эволюция которых в однородном пределе определяется солитонами. При включении неоднородностеЯ солитонные состояния в таких системах деформируется и могут локализоваться вблизи неоднородиостей. Если в системе есть небольшое затухание, то произвольное начальное состояние в конце концов при­ тягивается к одному из таких статических состояний. По аналогии с точкой покоя конечномерной динамической системы мы назовем его стати­ ческим аттрактором. Если эффекты затухания компенсируется внешними силами ( подкачка энергии), то в системе может установиться периоди­ ческий режим, аналогичный вынужденным колебаниям конечномерных д и ­ намических систем. При этом вблизи собственных периодических движе­ ний системы, которые могут существовать при нулевом затухании, возни­ кают нетривиальные резонансные явления. Ясно, что в общей случае с и с ­ тема под действием внешних сил и затухания будет совершать более сложные движения, которые, при определенных условиях, иогут стать и хаотическими (примеры такого поведения обсуждались на этой конфе­ ренции) .

Тек не менее, начинать следует с простых вещей - статических аттракторов и простых периодических движений. Их изучение позволит подойти к понимание более сложных кваэипериоди. ских и хаотических движений, а также, не менее важно, дать хотя бы в кваэихлассическом приближении каантовув интерпретацио слабо возбужденных состоя­ ний системы .

Необходимо подчеркнуть, что наличие неоднородностей, вообще го­ воря, стирает различия между интегрируемыми и неинтегрируемыми нели­ нейными системами. Как м сейчас покажем, конкуренция эффектов ы дисперсии, нелинейности и неоднородности может привести к появление устойчивых солитоноподобных конфигураций даже в очень простых систе­ мах, в которых в однородном пределе нет никаких нетривиальных аттрак­ торов. Если расстояния между неоднородностями невелики, то практи­ чески несущественно, есть ли в однородной системе солитон. Только в том случае, когда имеется достаточно большие по сравнение с размером солитона однородные участки, его существование может оказать заметног влияние на эволинию системы .

Итак, рассмотрим статические аттракторы. Основная трудность их изучения определяется бифуркациями решений при изменении параметров неоднородной системы, таких,как "заряды" источников, расстояния между ними, размер системы, условия на границе, величина нелинейного взаи­ модействия и т. д. Общую ситуацию легко понять на примере простейшей пространственно-одномерной системы, гамильтониан которой имеет вид

–  –  –

Нетрудно понять, что состояния, определяемые этим уравнением, будут устойчивыми относительно малых флуктуации поля, если &"(а) О т.е .

2 - р F V ) O. (5) Если это выражение при изменении параметра /U обращается в нуль, a,"'(CL) Ф о, т о соответствующее значение /и- есть точка би­ фуркации, в которой порождаются или уничтожается два решения, одно из которых устойчиво, а др/гое - неустойчиво. Легко построить гра­ фические решения уравнения (4) для различных функций Р ; 3 ), зада­ ваемых, например, полиномами .

Такое простое устройство точки бифуркации (или точки катастро­ фы) связано с тем, что мы рассматривали зависимость лишь от одного параметра. Если в качестве параметров рассматривать коэффициенты т полинома F(Q) 1 о возможны и более сложные точки бифуркации, полная классификация которых при небольшом числе параметров известна из теории катастроф .

Таким образом, в этой простой модели можно найти все статические решения и их поверхности бифуркаций в пространств: параметров. Если ввести в левую часть уравнения (г) малую добавку cxf, описывающую t эффекты затухания, то эволюция такой системы Судет оканчиваться на одном из устойчивых состояний. Заметим, что в реальной физической системе локально устойчивые состояния с большей энергией могут пере­ ходить в локально устойчивые состояния с меньшей энергией эа счет температурных или квантовых флуктуации. Вблизи точек бифуркации такие переходы могут оказаться достаточно быстрыми. Заметим такхе, что в общем случае уровни энергии локально устойчивых состояний пере­ секаются. Действительно, допустим, что существует две точки бифур­ кации /", и /и, причем /*,Мг. • Пусть при f^-hi рождается г два состояния, одно из которых стабильно и существует вплоть до и-,м, г

–  –  –

да энергии указанных двух стабильных состояний совпадают при некото­ ром значении Pi*(Pi,f*z~) • Общая картина статических состояний и их бифуркаций в реалисти­ ческих теориях поля с источниками пршерно такая же, как и в описан­ ие й простой модели '^~°', Воспользуемся теперь этой моделью для того, чтобы сформулировать общий подход к описанию движений, вблизи { найденных устойчивых состояний. Положим %-ае~'*, где а удовлетворяет соотношениям (4) и ( 5 ), и рассмотрим малое периоди­ ческое отклонение от этого состояния: у - fo +• V' (x)Usuit .

–  –  –

принадлежащие непрерывному спектру. Для дальнейшего удобно сделать этот спектр дискретным, ограничив значения х интервалом - s x ^ и поставив на границах какие-либо естественные граничные условия, например, f(i:t)=-0, или условия периодачности. Тогда общее решение вблизи р можно представить в виде (%~ 4+9'*') о

–  –  –

Так как для возбуждения высших членов в (7) требуется большая энергия и они быстрее затухаот, то для описания слабо возбужденных состояний можно ограничиться небольшим числом членов в суммах по п .

При этом переменные о описывается конечномерной динамической системой

–  –  –

к изучению эволюции полевых (бесконечномерных) систем мощные методы и результаты конечномерной динамики. Для практических приложений осо­ бенно эффективны методы, разработанные Н.Н.Боголюбовым в нелинейной межнике ' ' ', различные аспекты которых неоднократно обсуждались на этой конференции .

Описанное конечномерное приближение можно проквантовать. Для это­ го достаточно проквантовать гамильтониан ( 8 ). Если пренебречь добав­ кой Jt, то получим квантовую теории вблизи классического решения i f fx) (неоднородный в пространстве "вакуум" теории поля). Более a

–  –  –

найти другое классическое устойчивое состояние «?„ = а е~ ", то такая теория позволит найти квантовые туннельные переходы между состояниями уя и %. В явном аналитическом виде вероятности таких перехо­ дов можно вычислить в квазиклассическом приближении. В этом же приближении можно получить и вероятности переходов, вызванные тепло­ выми флуктуациями .

Ограничимся этими обциыи замечаниями о квантовой теории и вер­ немся к классике. Для иллюстрации общего подхода рассмотрим нашу упрощенную модель с R f ) =;j у + j(p), где Цо)-0, и раз­ ложение j(f) no f начинается с a f. При этом сущест­ }

–  –  –

ю„ — NLO ( на самом деле, как уже объяснялось выше, в реальной физической задаче речь всегда идет лишь о достаточно низких частотах), то разумное качественное приближение для одночастот ного периодическо­ го движения системы (10) получится даже если оставить в разложении (7) лишь один первый член. При этом остается лишь одна степень свободы %(t), подчиняющаяся нелинеЯному уравнению движения ( 1 0 ), у кото­ рого существует периодическое решение, близкое к гармоническому при малой ампл:иуде. Из общей теории следует, что и при учете других сте­ пеней свободы yj (t) такое решение сохранится. В той мере, в какой n статическое состояние ае~"" напоминает солитон, связанный на неодно­ родное т и. периодическое решение с малой амплитудой напоминает бризер .

Если одна из низколежащих частот попадает в резонанс с ы, скажем,

–  –  –

7„ и у,, но и в этом случае можно провести достаточно полный анализ и построить приближенные решения .

Аналогичные состояния мохно найти и в реалистических теориях .

Так, в работе • ' было показано, что в одномерном джозефсоновсхом переходе с одной микронеоднородностью, описываемом гамильтонианом существует устойчивое связанное состояние солитона (или антиоолитона) .

При f : M это состояние задано известным выражением

–  –  –

те наблюдалось, что при / ~ 0,6 помимо таких осцилляции появляются ярко выраженные пульсации солитона с частотой.~ (2тЗ)^,. Возможно, что при этом происходят резонансные колебания системы (15), при кгторых амплитуда у становится достаточно большой .

t Затухание несколько смазывает пульсации, но если оно достаточ­ но мало, основные эффекты ясно видны. Солитон быстро притягивается микронеохнородностью и начинает пульсировать, растрачивая избыток энергии (по сравнению с энергией связанного солитона 8 - 2 / J ) на эти пульсации. Такой механизм захвата притягивающей микронеоднородностьс может оказаться чрезвычайно важным с точки зрения приложений неоднородных дхоэефсоновских переходов для хранения и передачи информации ' .

Точно так же, как это сделано в простейшей модели ( I ), можно найти локализованный на неоднородности джозефсоновский бризер. В д о ­ статочно коротком переходе с помощью всего двух степеней свободы можно описать рождение на неоднородности солитона и антисолитона внеш­ ним полем. Не имея возможности излагать эти и другие интересные эффек­ ты, м ограничились здесь изложением основных идей на самых простых ы примерах .

–  –  –

6. Гальперн B.C., Филиппов А.Т. Ж Т, 1984, 86, c.1527 .

ОФ

7. Боголвбов Н.Н., Митропольский С.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, "Наука", М., 1974 .

8. Каэача Г. С, Сердюкова С И., Филиппов АЛ. ОИЯИ, PII-84-76, Дубна, 1984 .

–  –  –

Tbe Pfaffian approach to the Ising model has been known for over twenty years and has m*»vy successes. However as tbese successes have been associated with the ( ease with which it provides explicit solutions to problems known to be soluble rather than tools to attack unsolved problems, it has somewhat lost favour. This is to be regretted for there is no doubt that it is much simpler than the transfer matrix approach of Onsager, Kramers and Wannier in writing down the partition function of for example the Ising models of complicated lattices .

The Pfaffian method approaches the solving of the Ising model in what cm be regarded as a global fashion in contrast to the local method of Onsager. The latter method concentrates an the determination and the properties of the transfer ualrix which carries the state of a row of the lattice into the state of the next in a manner analogous to the way in which the HamUtonia» carries the state vector at one time into that of a closely succeeding one. The PfaFfian method on the other hand leads directly to an expression for the s t a t e of the whole lattice in a manner reminiscent of, although not particularly closely related to, the functional integral method of Feytiraaii. This is a great advantage whet; the lattice consists not just of points connected by bonds in a periodic way but of complex substructures instead connected internally and externally by multiple bonds. The local method proves very cumbersome in tills case because then one has to deal with a repeating unit of quite a large number of rows rather than just a single one .

In order for the Pfaffian method to he tractable it is necessary to replace the correct expression for the partition function by another one with a different structure and properties. Such a replacement of one expression hy another cannot be correct in genera) as it is not an identity transformation, and it is necessary to know under what circumstarces such a change is permissible. These circumstances are well known and can be simply stated. The expressions obtained by the Pfaffian method will coincide with the correct ones if the lattice to which it is being applied is planar. This weans that it will be valid for an enormous class of lattices - a much larger class than perhaps is fully appreciated - but it will not be valid in many cases of pressing physical interest such as three dimensional lattices and two dimensional lattices with next nearest neighbour interactions. (Despite this, there arc nevertheless some non-planar lattices sut-Ь as two dimensional lattices with toroidal boundary conditions for which the modifications necessary to deal with them are trivial.) In this paper I shall first of all describe the way in which the Pfaffian method is related to the Onsager method. Then I shall show how it can be applied to a wide class of lattices including tltose which have come to he called layered lattices, which have been the subject of recent interest. Finally 1 shall discuss some preliminary results on how it can be formulated in terms of C*-algehras .

2. THE RELATION BETWEEN THE PFAFFIAN MHD THE ONSfiGER M T O S

EH D We consider a lattice with N sites, and assume, further that each site itself contains n points, so there are nN vertices in the lattice. With each vertex we associate a dichotomic variable SJ = I 1 (j = l,...nN). The whole set can alternatively be regarded as a set of 2* dimensional commuting matrices with eigenvalues + 1 .

–  –  –

The structure of the lattice is determined by the values of the bond energies J... If n - 1 and J.. - 0 unless j and h arc nearest neighbours on a square lattice, we have the usual Ising model. The periodic nature of the lattice is imposed by requiring that J-.= J..,, if j * к - j ' -It' pn, p ( Ж .

It is well known that the evaluation of Z can be reduced to a combinatorial problem of counting the number of closed intcrsretinj, but not overlapping, polygons which can be drawn on the laUice in accordance with the bond connection.? whir!» мд.ц hp

ridde. This is because (1) can be written in the alternative Oguchi form:

–  –  –

an explicit evaluation becomes feasible. The question then is whether this change from SJ to jj makes any difference to 2, and, if not, under what circumstances is this so .

The answer is that Z and its modified form Z are equal if the lattice is planar. This will be so if none of the closed polygons which are drawn an the lattice have one or other Df the two basic nonplanar graphs as a subgraph. These special non planar graphs are depicted in Fig. 1, together with examples of how they can occur in a lattice! Graph (a.) appears as л. $нЬа?лоЪ ы the tifivt-nRArRst- neighbour two di»eiV'io4.il lattice (c) and the cubic lattice Ш .

Jf these subgraphs cannot appear the identity of 2 and ?' can he dernDi.strated by topological arguments uhich depend on showing that Z and Z', when expanded as multinomials in the coefficients xjk are identical because they generate the s^me collection of cubgr-дрЬс. Ther8 ic na difficulty in seeing that both function»: li.wrc tin* same coefficients in their expansion to within at most a sign change, anil then it is only necessary t o show that such sign differences cannot occur. Topological arguments provide such a demonstration .

ftn alternative way to proceed is t o show the identity of the two expressions by algebraic arguments. For the square lattice with m columns ue can define a partial

partition function 2*ji iFft+y,...,oft) hy:

–  –  –

3. EXPLICIT EXPRESSIONS FOB PETITION FUNCTIONS

With the conditional identification of the two approaches it is then necessary to show why it is advantageous to make such a change. Tim reason is that if anticommutjny variable'; n j are used in the. definition of ?.', the latter can he very readibi

–  –  –

T is a "time ordering" operator implying that when the exponential is expanded each term in the expansion is to be arranged in order of increasing J from right to left .

The expression (B") has the appearance of a functional or path integral of the same structure as appears in Feynman's formulation of quantum mechanics and quantum field theory, and so it is in this sense that this modification of the Pfaffian approach can be regarded as a global formulation of the Ising model. What is more useful is that the exponent which corresponds to the action in the Feynman approach is quadratic in the fermion fields and so is what can be called a non-interacting system. It is for this reason that the Ising model for the square lattice can be solved exactly, and this is

the Pfaffian presentation of the conclusion of Schultz, Hattis and Lieb that the

Onsager approach can be regarded as a free fermion theory. The consequent evaluation of (?") is therefore straightforward and can be described in the language of a Feynman-Dyson perturbation expansion which it is easy to sum, particularly if transla­ tions! invariance is ensured by choosing helical boundary conditions, thereby

permitting the use of Fourier transfo.ms. The result is:

–  –  –

see whether there are any physical systems more general than planar lattices that can be modelled in this way .

The generalize*! «square lattice is still not the most general planar lattice whose solution can be written down explicitly by the PFaffian-free fermion method. The most general case is a triangular lattice with an arbitrary number of bonds along each lattice direction as depicted in Fig. 3 .

If n, n, n are the number of available bonds in the horizontal, diagonal and t t 3

–  –  –

they are annihilation operators with, for example, Л (j) annihilating bonds coming from tlte lattice site j - 1 if 1 к n, and so on in an anticlockwise direction, whilst for n + 1 к Zn they are the corresponding creation operators. Then, foHowiny the previous reasoning, the partition function Z, is given by

–  –  –

The correlation functions can he calculated from the knowledge of these Green's

functions. For example for the simple square lattice ые have, fnr the rou correlation:

–  –  –

This means that the exponent in (8") has the additional term The partition function cannot be calculated immediately because it resembles the field theory of the massive Thirring model. It is well known that the solution of the Baxter and Thirring models requires extensive use of the Bethe ansatz. However it is clear from this that the fermion version of the Pfaffian approach can correctly describe the Baxter and other related models although it does not offer any simple method for their resolution .

–  –  –

elegantly by a jump in the index of a Fredholm operator associated with the Fock state .

The Pfaffian upproAch has been shown to be equivalent to the Onsager approach for finite lattices and so it can be argued that the s t a t e for an infinite lattice can be inferred by making this correspondence first and then going to the limit. However because of the many advantages that have been described of working directly with the Pfaffian approach it is interesting to see whether a C*-algebra

–  –  –

It is therefore still an open question as to what are the properties of the states defined by the ife., and in particular whether they are unitarily equivalent or not .

It is reasonable to assert however that the nature of one or more of these states will change as the temperature goes through the critical value .

–  –  –

8. Л. W Gibberd and С. A. Hurst, J. Hath. Phys., 1967, B, v. 1427 .

.

9. И Л Baxter, Ann. Physics, 1973, 76, p.l .

10. S. Pirogov, Theor. Math. Pliys. 1972, 11, (3), p.6M; J. T. Lewis and M. Winninlt, The Ising-Hodel Phase transition and t h e Index of S t a t e s on the Clifford ftlgehra in Random Fields, Coliuquia S o c i e t a t i s Janos Bolijai, 27, Eszforgom, itongary 1979; H, Kuih, Doctoraals Dissertation, Groningen (19B1); J. T .

Lewis and P.N.M. Sisson, Commun. Math. Phys. 197R. 44, p.279: D. E. Evans and J .

T. Lewis, The Spectrum of the Transfer Matrix in the C*-algebra of the Jsing Model Hi High Temperature, DlftS-STP-B2-21; II. ftrahi and D. E. Evans, On a C*-algebra Approach to Phase Transition in tlie Two-dimensional Ising Model, 19B3, R1MS-438 .

11. E. Ы. Montroll, R. B. P o t t s and J. С Ward, J. Math. Plujs. 1%3, 4, р.ЗОЯ .

–  –  –

При гидродинамическом описании простых жидкостей и газов на ос­,2 нове метода двухвременных температурных функций Грина' ' в качестве исходных операторов, для которых строятся эти функции, естественно выбрать плотности сохраняющихся величин: плотность числа частиц, плот­ ность импульса и плотность энергии. В качестве функций Грина удобно взять функции релаксации Кубо, т.к. коэффициенты уравнений для та­ ких функций будут клеть непосредственный физический смысл. Однако, как будет показано ниже, такой выбор основных (базисных) динамических переменных не является достаточным для построения полностью микроско­ пической теории, т.к. входящие в уравнения в качестве начальных дан­ ных статические восприимчивости не могут быть определены в рамках по­ лученных уравнений. В этом состоит существенная разница уравнений для релаксационных функций и уравнений для коммутаторных функций Грчна .

В последних начальные данные задаются в виде усредненных одновремен­ ных коммутаторов, которые понижают порядок корреляционных функций, что позволяет их вычислить в рамках полученных уравнений, воспользо­ вавшись спектральными представлениями для функций Грина /1.2/ _в пер­ вом разделе работы будут рассмотрены уравнения, основанные на трехкомпонентном базисе, и обсуждены недостатки такого подхода. Во втором разделе будет введен расширенный базис и получены выражения, опреде­ ляющие как кинетические коэффициенты, так и статические восприимчи­ вости на микроскопическом уровне, исходя из операторных уравнений движения для системы взаимодействующих частиц .

I. Обобщенные уравнения гидродинамики При построении уравнений для функций Грина воспользуемся спосо­ бом сведения обычной цепочки уравнений к цепочке уравнений для непри­ водимых функций Грина, развитым в работах ' /. Исходя из цепочки операторных уравнений движения

–  –  –

г где р s-ip. Ш не включили в (I.?) поперечную компоненту плотнос­ ти импульса, т.к. будем рассматривать только продольные флуктуации .

Полагая в (1.2) й = А *, получим систему уравнений для функций +

–  –  –

Уравнения (1.8), (1.9) будем назьшать уравнениями обобщенной гидро­ динамики, т.к. они являются точными и переходят в гидродинамические в пределе малых энергий и малых импульсов f. Сравним теперь полученное выражение (1.9) с функцией Грина, вычисленной на основе уравнений гидродинамики для флуктуации макроскопических величин '

–  –  –

• и ? - объемная и сдвиговая вязкости, А - коэффициент тепло­ j проводности. Полагая в массовых операторах (1.9а,б) E=ic ( ?° ), получим где t i Г,. действительные и положительные величин*, слабо зави­ сящие от. Используя (I.I3), убеждаемся, что при малых Е и ^ ?

(1.9а,0) совпадает с (1.10), если положить

–  –  –

ность относительно обращения времени,

2. Введение четного базиса. Уравнения молекулярной гидродинамики Дополним трехкомпонентный базис (1.7) производной -г А- = = С к* i 1~(3 • Тогда массовые операторы будут выражаться через операторы, имеющие одинаковую четность, и число уравнений,необходимых для определения скалярнмх произведений, будет равно числу неизвестных .

После ортогонализации в качестве А^ будем иметь столбец г е = л t = С К, Ю, % = b,-f* №f М Л • д Такой базис будем называть четным. Для А., из (1.2) получим, в отли­ чие от (1.8), систему четырех уравнений. Мы не будем выписывать эти уравнения. Выпишем лишь выражение для zrf //Ц, которое из них получается

–  –  –

и индекс I означает неприводимость относительно четырехкомпонентного столбца (2.1). Обращая с помощью определений типа (1.5) неприводимые скалярные произведения, выразим статические восприимчивости через высшие корреляционные функции и одновременные коммутаторы • '

–  –  –

(Л.2) к гидродинамическому пределу Е-*с, у -с и сравнивая их с выражением (1.10), полученным на основе макроскопической гидродина­ мики аналогично (I.14) получаем где Т и Т' определяются соотношениями, отличными от (1.13) .

Термодинамические величины выражаются соотношениями (I.I5), в кото­ рых правые части с помощью (2.3) выражаются через коммутаторы и выс­ шие корреляционные функции. Таким образом, все соотношения, получен­ ные в этом разделе, полностью определяются на микроскопическом уров­ не через уравнения движения системы взаимодействующих частиц. Заме­ тим, что выражение для $д (а.4) отличается по форме от (1,14). Оно напоминает выражение, получаемое в элементарной кинетической теории, так что Т - величина, пропорциональная времени свободного пробега .

Существенная особенность FToro выражения состоит также в том, что в (2.5) X' выражается чеуез операторы - t " ^ (или t'6.2 ), в кото­ чем рых кинетическая часть имеет более высокий порядок по. потен­ циальная. Следовательно, при а-0 в 3)Q основной вклад дает потен­ i - А.*, а при ?-« можно пренебречь циальная часть оператора взаимодействием. Это дает возможность независимо оценить вклады кине­ тической и потенциальной частей, что сильно облегчает вычисления. В

•if* в (2.5) потенциальная и кинетическая части имеют, к сожале­ нию, одинаковый порядок по ^. В результате возникает трудная зада­ ла оценки в едином приближении вкладов частей,имеющих различную опе­ раторную структуру. Чтобы получить для S такое же удобное для вы­ числения выражение, как и для %)о, надо дополнить базис (2.1) опеt f~, ~i f„. Тогда в производной р раторами четвертого по­ рядка, которая выйдет в массовые операторы, кинетическая часть будет более высокого порядка по. Однако все уравнения при этом сильно ?

усложнятся .

–  –  –

В докладе*' дается общая формулировка "различных" ренормализашоюшх групп, употребляемых в разных областях физики: квантовой теории поля, теории критических явлений, теории турбулентности, физи­ ке полимеров и некоторых других. Эта единая формулировка использу­ ет язык групповых преобразований и связанных с ними функциональных уравнений .

Показано, что в основе этих преобразований и уравнений лежит простое свойство физических систем - свойство функциональной автомо­ дельное™, являющееся обобщением степенной автомодельности, широко используемой в задачах гидромеханики и газовой динамики .

Обсувдается отличие физической основы ренормгрупповых преобразо­ ваний в системах с бесконечно большим числом степеней свобода и функциональной автомодельности простых физических систем .

I. Введение

В течение последнего десятилетия наблюдается замечательное я в ­ ление распространения общих идей и техники вычислений метода ренормализационной группы в различные, далекие друг от друга, области физи­ ки. Термин "ренормгруппа" из узкоспециального выражения, понятного лишь читателям статей по теории частиц, становится общефизическим .

Первоначально ренормгруппа возникла около 30 лет назад в кван­ товой теории поля. Факт наличия особой группы непрерывных преобразо­ ваний, связанных с конечным произволом, возникающим в результате квантовополевой процедуры устранения ультрафиолетовых расходимостей / х 'Сокращенный вариант опубликован в МФ ' ' .

был установлен в 1953 году Иггокельбергом и Петерманом'", которые и ввели термин "La ЕГО up e de normalisation^. Вслед за тем в ра­ ботах 1954-55 гг.' ' ' ренорлгрупповые преобразования были реали­ зованы как мультипликативные преобразования (типа преобразований Дайсона) вершинных функций и пропагаторов при одновременном преоб­ разовании растяжения шкалы энергий-импульсов. Оказалось, что эти преобразования могут быть записаны в виде функциональных уравнений для функций Грина и новых специфических функций - эффективных кон­ стант связи. С практической точки зрения весьма полезным являются дифференциальные групповые уравнения, соответствующие бесконечно малым групповым преобразованиям, впервые полученные в работе ' ' (а для многозарядного случая - в работе ' ' ). На основе этих урав­ нений в работе ' ' была предложена регулярная процедура улучшения результатов теории возмущений в ультрафиолетовой и инфракрасной областях, т.е. в таких областях, когда решения уравнений движения имеют сингулярное поведение. Эта процедура, впервые успешно при­ мененная ' ' к асимптотикам функций Грина квантовой электродинами­ ки, известна теперь как метод ренормализационной группы (МРГ) .

Ъ начале 70-х годов МРГ был распространен ' ' на теорию крити­ ческих явлений статистической физики. Здесь ренормгрулпа получила более простую физическую формулировку, основанную на так наз. ме­ ханизме Каданова ' '. Механизм соответствует возможности эквива­ лентного описания свойств макроскопического образца в окрестности точки фазового перехода с помощью последовательности различных мик­ роскопических моделей, связанных между собой преобразованием измене­ ния величины "элементарного" микроскопического масштаба (например, постоянной кристаллической решетки) при одновременном подходящем изменении констант взаимодействия .

Эта, более наглядная, чем в квантовой теории поля, физическая основа ренормгруппы облегчила ее дальнейшую экспансии в другие об­ ласти физики. Так,ренормгрупповой подход к теории турбулентности /6,9/ основывается на инвариантности макроскопических характеристик относительно изменения нижней по частоте границы высокочастотных флуктуации, которые не описываются уравнениями, а учитываются фено­ менологически некоторыми подходящими параметрами (например, эффек­ тивным числом Рейнольдса) .

Ясно, что процедура обрезания по частотам сверху физически близка ограничениям но минимальным размерам. Аналогичные соображе­ ния, использующие свободу выбора "минимального блока" в длинной мо­ лекуле, лежат в основе использования МРГ в теории полимеров ' Ю / .

Оригинальное использование идеи изменения "границы по частоте" IJ «ыло недавно сделано ' ^ в теории переноса излучения в непрозрачных средах с сильной зависимостью длины пробега фотона от частоты .

Любопытно, что почти в то же самое время ренормгрупповые ас­ социации возникли в теории переноса совершенно в другом контексте .

Здесь, используя принцип инвариантности Амбарцумяна ' ', удалось получить '^' функциональную формулировку соответствующих свойств симметрии в реальном конфигурационном пространстве, по форме иден­ тичную функциональным уравнениям рекормгруппы. Преобразование, соот­ ветствующее ренормгрупповсму преобразованию изменения масштаба шка­ лы импульсов или частот, в данном случае есть преобразование сдвига по пространственной координате .

Поразительная общность математического аппарата, основанного на функциональных групповых уравнениях, как оказалось ' "^, имеет достаточно простую основу, котсрую удается явно сформулировать на примерах классических механических систем. Эта основа, названная нами функциональной автомодельностью ' » ', соответствует свойству транзитивности характеристик физической системы относительно способа задания их начальных граничных условий. Ренормгрупповые преобразо­ вания квантовой теории поля и теории критических явлений являются частными случаями преобразований функциональной автомодельности .

3 этом сообщении мы, во-первых, вводим преобразования функцио­ нальной автомодельности в общем виде и устанавливаем связь функцио­ нальной автомодельности с обычной, а во-вторых, обсуддаем соответст­ вие меяду сложным построением кадановского типа, лежащим в основе ренормгруппы теории критических явлений, и более прозрачным свойст­ вом симметрии, приводящим к функциональной автомодельности простых динамических систем,

2. Преобразования функциональной автомодельности Рассмотрим совокупность однопараметрических преобразований двух величин X u q, характеризуемых непрерывным положительным па­ раметром " :

«-•ас'-*.'*, 3-*^' ё'-^9К (I) где $*••$) ~ некоторая однозначная функция овоих аргумен­ тов, удовлетворяющая условию

–  –  –

представляющему собой функциональное уравнение на i .

Такие преобразования будем называть преобразованиями функцио­ нальной автомодельнооти .

функция / от аргументов я и ^ образует представление группы функциональной автомодельнооти, если при преобразованиях (I) она преобразуется по формуле где 2 - некоторая константа, зависящая от параметра преобразова­ ния. Частному случаю 2 = I соответствует /•, являющаяся ин­ вариантом преобразования .

Полагая в (3),, = J: И, -, запишем его в виде из которого видно, что функция 5" ( х, ч ) является инвариантом пре­ образования. В общем случае инвариант преобразования может быть представлен в вале где F - произвольная функция .

В квантовой теории поля преобразования (I) и соотношения (4) и (S) соответствуют самой простой, так наз. однозарядной ренормгрутз в безмассовом случае, т.е. группе ренормировочных преобра­ зований в безмсссовой квантовополевой модели с одной яонотантой связи. Переменная а: имеет смысл квадрата 4-импульоа, а я

- константы связи полей, функция q называется аффективной кон­ стантой связи. Более сложным моделям взаимодействующих квантовых полей отвечают обобщения преобразования (I). Рассмотрим некоторые из них .

Пусть наряду с аргументом х, представляющим основную физи­ ческую переменную задачи, имеется параметр и той же размерности, в квантовополевой случае - квадрат маосы частицы.

Зашлем вместо (I):

x / t ' W'-*/* s *j'-j(t.t. ) .

*-**'- () Таким образом, преобразование меняет одинаковым образом шкалы ве­ личин.х. и -I. Кроме того, параметр а входит в функцию преобра­ зования J ', функциональное уравнение для которой принимает вид Соответствующим образом модифицируетоя формула (4). В кван­ товой теории поля выпиоанные преобразования соответствуют ренормгруппе для модели взаимодействия с одной константой связи и одной массой. Вновь введенный параметр ч можно "размножить". Случай с несколькими параметрами и_ отвечает квантовополевым моделям с несколькими различными массами, например, квантовой хромодинамике .

Заметим, что предельный переход и - 0 возвращает нас к безмас­ совому случав (I), (5). Он соответствует приближению a:~i » ъ k

–  –  –

Условия групповой согласованности преобразований аргументов о и к имеют теперь вид системы функциональных уравнений (9) В квантовой теории поля таким преобразованиям соответствует так наз, двухзарядная ренормгруппа, т.е. группа для модели взаимодействующих полей с двумя константами связи. Не составляет труда записать преобразования с несколькими аргументами типа и и несколькими аргументами типа « одновременно И т.д .

В приложениях важную роль играют дифференциальные групповые уравнения. Такие уравнения, соответствуйте бесконечномелым преоб­ разованиям, легко получаются дифференцированием функциональных .

Уравнения, соответствующие (7) и (4), могут быть записаны в форме

–  –  –

Общее решение приведенных выше функциональных уравнений было дано Овсянниковым ' * '. Не вдаваясь в детали,отметим, что функциональ­ ное уравнение, налагая связь, на единицу уменьшает число независи­ мых аргументов.

Так, например, общее решение уравнения (7) для функции трех аргументов 7 (ж, у, а ) имеет вид:

где ф(?.. - произвольная функция двух аргументов, обратимая относи­ тельно второго. Из дифференциального уравнения (9) также следует, что функция J ( x, j t, 4 ) полностью определяется заданием функции двух аргументов А(у,д (которая может быть связана с функцией ф / ^ о ) из 112)) .

Установим теперь связь с обычной автомодельностью. Дня этого рассмотрим линейные по второму аргументу решения уравнения (3) вида J 5= q f t x ) • Подставляя в (5), без труда находим J = j x. Ис­ пользуя полученное выражение в основном преобразовании (I), видим, что оно приобрело вид преобразования степенного подобия, лежащего в основе автомодельности, используемой в задачах гидромеханики и газовой динамики. Таким образом, преобразования функциональной авто­ модельности в простейшем случае являются обобщением степенной авто­ модельности, что и соответствует их названию .

3. Функциональная автомодельность в макроскопических задачах функциональные уравнения и преобразования можно переписать в логарифмических переменных. Полагая

–  –  –

т.е. преоОразованил сдвига по первому аргументу. Запись (14)-(16) будем называть "аддитивной версией" функциональной автомодельнооти .

В таком виде она присуща многим простым задачам неквантовой физи­ ки. Рассмотрим некоторые из них ' ' .

I. "Упругий стержень". Представим упругий прут с закреплен­ ной точкой (см. рис. I, точка " О " ), который изогнут под воздейст­ вием каких-либо внешних сил (например, силы тяжести). Если свойства стержня однородны вдоль него и внешние силы такке однородны, то углы его наклона J (см. рис. I) в трех разных точках "О","!", "2" связаны некоторой одной функциональной зависимостью, так что Комбинируя зти соотношения,получаем (14) .

–  –  –

2. "Гидродинамическая волна". Рассмотрим расходящуюся или сходящуюся волну, которая распространяется сквозь однородный газ или «дикость при однородных внешних условиях. Обозначим через С [С) амплитуду (давление, температуру) волнового максиму­ ма как функцию пространственной координаты (или времени) L. Тог­ да значения функции С. С. в трех произвольно расположенных раз­ личных точках I = €, •'.,i могут быть связаны соот­ в t ношениями, подобными (17), а сама функция будет удовлетворять уравнению (14) (см. рис. ;)

–  –  –

ва направо (см. рис. 3) на расстоянии L от границы с пустотой .

Значения функции Ст'Л ), взятой в точках "О", "I" и "2" могут быть связаны друг с другом соотношениями (Г7).вследствие чего мы опять приходим к уравнению (14) .

Как подробно показано в работе Мкацаканяна ' ', эта задача допускает простые обобщения, которые приводят к аддитивным аналогам "массивного" уравнения (7), т.е. к (15), а также системы (9) .

.Ложем теперь сделать вывод о том.ч'ло общее свойство,приводящее к функциональным уравнениям ренормгруппового типа,есть простое свой­ С-{(,ч) ство транзитивности некоторой физической характеристики по отношению к способу задания ее начального или граничного значения Мы также показали, что функциональная автомодельность присуща широкому классу динамических оистем и что для классических систем она может быть установлена значительно более просто, чем для кванто­ вых.Это замечание открывает дверь для использования так наз. метода ренормгрушш в различных областях физики .

4. Реношгруппа в квантовой теории поля и теории критических явлений

Из приведенного во введении беглого обзора развития метода ренормгрушш в физике следует, что, как это ни парадоксально, в ис­ торическом плане движение происходило "от сложного к более простому" .

В самом деле, наименее прозрачной является физическая подоплека оенормгруппы в задачах квантовой теории поля. В пионерской работе '*' ренормгрупповые преобразования введены как формальные преобразова­ ния в некотором пространстве конечных параметров, без какого-либо обсуждения их физического смысла. Следующая работа ' ', посвященная квантовой электродинамике, использует довольно сложную процедуру импульсного обрезания, причем импульсы обрезания одновременно играют роль импульсов нормировки, в частности, нормировки заряда. Физичес­ ки наглядный образ соответствует (см.' ') электрону конечных разме­ ров, "размазанному"по малой области радиуса Тй — " с/., причем К Л

–  –  –

В отличие от этого физическая картина, лежащая в основе ренормгрупповых представлений и понятий работ ' » ', может быть сформули­ рована в рамках локальной квантовой теории поля в духе принципа до­ полнительности (принципа целостности) Бора. Степень свободы, связан­ ная с операцией изменения шкалы импульсов и соответствующего ей из­ менил константы связи, относится здесь к процессу измерения. Та­ кая точка зрения, связывающая группу штпкельберга и Петермана с иде­ ями, впервые подчеркнутыми Челленом ' ™ ' оперирует лишь с понятиями и объектами перенормированной локальной квантовой теории поля. Как известно, исходные параметры ("голые" массы, константы связи) клас­ сического лагранжиана, подвергающегося квантованию, не имеют непосред­ ственного отношения к проявляющимся на опыте характеристикам взаимо­ действия пслей и массам их квантов. Последний связываются с перенорчарованными значениями этих параметров. Рецепт получения этих, фи­ зических, значений из затравочных (т.е. голых) неоднозначен и тре­ бует фиксации способа измерения. В квантовой электродинамике этим путем мы приходим к функции ё(к"~;, зависящей от квадрата 4-имяульса К виртуального фотона, с помощью которого в реальных ус­ ловиях происходит процесс измерения заряда электрона. Величина г ё(к ) была названа инвариантным зарядом (инвариантной констан­ той связи) .

Ренормализационная группа в теории критических явлений в перво­ начальной постановке Вильсона ' ' идейно близка работе ' '. Ее ис­ ходное построение вполне параллельно набору модельных нелокальных влектродинамик Гелл-Макна-Лоу с размазанным электроном, характери­ зуемым парой параметров A - » e - с.+,,'сЛ,). В ней рассматривает­ t i

–  –  –

..., общий член которой может быть представлен в виде функции двух аргументов К = К (i/n, К ). Ренормгрупповое преобразование есть п преобразование изменения шкалы макроскопических расстояний а. -» па .

(т.е. размеров "элементарных" блоков) при одновременном преобразо­ вании константы связи спинов л Я'. Для корреляционной длины п при этом оказывается справедливым соотношение (см. например '^') j (к) =п/,'/„; .

Положим теперь, что аргумент ос = t/n непрерывен и перейдем к вве­ денной выше функции К. Это дает Ji'R'.x.Kj) xJ(K) .

= Теперь уже нетрудно убедиться, что эффективная константа связи 1С удовлетворяет функциональному уравнение квантовополевой ренормгруппн (5), т.е. уравнению функциональной автомодельности .

Явный вид зависимости R (х,К), подобно функциям е(Я,-) и ё (*У из предыдущего случая, должен определяться из уравнений движе­ ния. Переход от системы, состоящей из блоков одного размера,к сис­ теме, составленной из блоков другого размера, есть переход между различными моделями, т.е. приближениями в одной и той же физической системе, каждая из которых правильно передает макроскопические ха­ рактеристики в окрестности точки фазового перехода .

–  –  –

торой переменной гс (импульс обрезания высокочастных флуктуа­ ции, длина "элементарного" блока в длинной молекуле и т.п.), а также значениями некоторого параметра ^ (или набора парамет­ е,К ров) - аналога констант связи. Ренормализационная группа есть группа преобразований внутри последовательности моде­ лей } М„] .

В отличие от этого свойство функциональной автомодельности простых классических систем с небольшим числом эффективных сте­ пеней свободы, подобных рассмотренным в разделе 3, есть свойство инвариантности самой модели, формулируемое на языке ее естествен­ ных переменных, например, пространственной координаты, и простых физических характеристик, определяемых уравнениями движения .

В то же время формулировка квантовополевой ренормгруппы, дан­ ная Н.Н. Боголюбовым и автором данной статьи ' '(см. также главу 9 монографии ' ' ), в определенном смысле является промежуточной между этими двумя "крайностями". Она опирается на понятия и величи­ ны, целиком лежащие в рамках одной локальной перенормируемой кван­ товополевой модели. В то же время она использует вспомогательные переменные (импульсы нормировки) и функции (инвариантные или эф­ фективные заряды), которые отсутствуют в исходном лагранжиане и уравнениях движения. Как уже отмечалось выше, последнее обстоя­ тельство является следствием принципа дополнительности .

Мне приятно поблагодарить Н.Н. Боголюбова, А.Н. Васильева, Г.М. Верешкова и Л.В. Овсянникова за плодотворные обсуждения раз­ личных аспектов этой работы .

Литература

1. Stueckelberg Е., Petermann A.-Helv. Ph,vs. Acta, 1953, ?6,499Gell-Иапл Ы., bow F,- Phys. Rev., 1954, 95, 1300-1312 .

2 .

3. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. - ДАН СССР, 1955, J03, 203-206 .

4. Ширков Д.В. - ДАН СССР, 1955, 125,. 972-976 .

5. Боголюбов Н.Н. и Ширков Д.В. - ДАН СССР, 1955, 103. 391-394 .

–  –  –

К. Мнацаканян М.А. - Сообщ. Бюракан, обсер., 1978, вып. 50, 59-78 .

13. Мнацаканян М.А. - ДАН СССР, 1982, 262, 856-859 .

14. Ширков Д.В. - ДАН СССР, 1982, 263, 63-66 .

15. Ширков Д.В. - Препринт ОИЯИ Е2-83-790, 1983, 7с .

16. Овсянников Л.В. - ДАН СССР, 1906, 109, II2-III5 .

Вильсон К., УФН, 1983, т. 141, » 2, с. 193-220 .

17 .

18. 0. K S l l e n -Nuovo Ciraento, 1954, 12, 217-225

19. Вильсон К. и Когут Да. "Ренормализационная груша и Е -разло­ жение", М., 1975 .

20. Harris А.Б. et al., Phys. Rev. Lett., 1975, 35, 327-330;

Stlnchcomhe R.B., Watson B.P., J.Phys. C.: Solid State Phys .

1976, 9, 3221-3247 .

21. Madden T."Mioroorack connectivity in rocks" Joarn. Geophys .

Research,,. 88, Ко BI, p. 565-592 .

22. Боголюбов Н.Н. и Ширков Д.В. "Введение в теорию квантованных полей", М., "Наука", Изд. 3-е, 1976» Изд. 4-ое, 1984 .

23. Парков Д.В. - Т, 1084, GO, 218-222 .

.Н,

–  –  –

cussed in analogy with ordinary second order phase transitions. The calculation of the peculiar correlation function L however, is the y central task of constructing a dynamical theory for the glass-tran­ sition (cf. /3,10/) .

In this paper a generalization of the localization theory to manybody systems is used to show that L can be regarded as a measure of localization.Then,with the help of isothermal linear response theory (see /11,12/) a strong connection between localization, non-or.irodicity and glass-like behaviour will be demonstrated. This approach is tested by the investigation of an anharmonic Boson-model. The results are in qualitative agreement with experimental characteris­ tics of phenomena in glass-like systems .

2) Localization and glass To introduce and define localization in interacting many-body sys­ tems it is reasonable to consider local integrals of motion K,, i.e., СЙ.K-^l = 0, where 3 is the hamiltonian. If a suitable condition can be found to determine 11, uo a l o c a l quantity, the eicenfunctions of k, can be regarded as the searcued localized s t a t e s, which are in general Lsany-body s t a t e s. In analo&y to the size dependence of the s e n s i t i v i t y of e i ^ e n s t a t e s to the boundary condition ir. the o n e - p a r t i c l e case (of. / 1 5 / ) we ргорозе the following d e f i n i t i o n of.". local operator K. : Hrc K = c o n s t., lim (лК. ) \ = const, rnd

–  –  –

where Л. is an arbitrary local operator like local spin or local atomic displacement (see /14/) .

Physically, thi3 localization criterion means that a local deviation AA.(t) does not diffuse aivay and is allivays correlated to the iiiitit.1 value Дл, Си) even in the limit t -»oo. In tae one-particle case this criterion 1з yust the so-called Anderson criterion for r:bsence of diffusion .

I o v we ask for the consequences of localization L,, 0 ? Here we point.i.-/ at the anomal isothermal relaxation properties of the 3ystem only .

Let us consider a pertubation Jf = - Z., "- h,(t), where the exter­, w

–  –  –

will be switched off. Then for t~*«2 the time dependent thermodynamical averaged value of a local operator.Л. does not relax to the equilibrium value ^ A - ^ ",..'ithin the framework of isothermal linear response theory Л^ ~" is given by (of. /12,14/)

–  –  –

reason for ^ l a s s - l j k e behaviour besides the existence of disorder in the 3ystem. In t h i s connection i t i s worthwhile to note t h a t l o c a l i nation nun disappear under cortain cond j lion:-, j »., ehan/rinr; paraMi'.'terw ol* fcho system J..-,, can ко or jump to aei*o- Consequently, v.-c propose that tiio d.lsappcarenco of.localisation a net an omul r e l a x a t i o n will L nrk the ^ l a a s - t r a n o i t i o n, ;

uiuluuin,-; tne effect or thermal bath, additional relaaat.i.orial dyna­ mics can cause a tjjne dependent luoal:ination function. As usual, an exponentjal decay can bo inn-posed, i. e..b-.-,(t) ^h,..j c*l (-t/'C n»)* 'iim local relaxation time ',,; will be in general depend on the actual place in disordered aysttms» Thus, tho s t r u c t u r a l averaged value ].,y(t J^Tujj i'(t) can show a non-exponential behaviour, e. ^., Jj,(t 4 ], ] l l ^ ' ' l l ' » t t A J Ccf. / 7 / ) .

' ) "-nVmrrnoni n Horjon-model i.oL us ui-cui)j tne l'ollo.Jin^ uaiailtonian

–  –  –

s t o c h a s t i c a l l y d i s t r i b u t e d quantities! because of the disordered s t r u c t u r e or random o r i e n t a t i o n of the spins, however, both quanti­ t i e s are strongly correlated by the equilibrium condition

–  –  –

case, i. e., ••j' =^(1-1^ s-nd i^-Jt, tne eii.'s (.7) and (t;} contain luu solution k:=0 and L.-=C only. That means, in normal crystals the acoustic ihonony are a l l celocalized. in analog witu u.-at -e choose the averaged value of Kj in disordered systems to be zero, i.e.,K.-C\ Further calculations will bo done in a sinfile-3ite approximation, where ive replace a l l V, in eq, (P.) vith l / l by 7.. Then I...-i~~Ct.^S .

–  –  –

is the harmonic p a r t. F, contains the anharmonic corrections of dynamical origin and becomes important only at higher tampei-atures .

F i s the direct contribution of localized states and determines ess

sentially the low temperature behaviour:

–  –  –

tion follows that only at several sites localized statee (K ^0) ± occur, as ф ?'fluctuates randomly. In dependence of the real poten­ t i a l and structure ^ may hnve rather different distributions. It is розз1Ъ1е that in ooise special сизез (jij is non-zero only at a few

–  –  –

temperature.,,, jumps to ;:ero. Thus, our theory is in iiualitative agreement with l.i,,,,, measurements on spin g l a s s e s '/ 7 /. " The magnetic v i s c o s i t y appears, if a f t e r a p p l i c a t i o n of a steady. i e l d h the magnetization continues to r i s e. For spin glasses i t was obtained J'U: ie^ = 1^ + 6tx,hj l n ( t / t J. iiccoruing to the con­

–  –  –

l o c a l i z a t i o n and, hence, the v i s c o s i t y disappear. Tims, the magne­ t i c v i s c o s i t y described in our model behaves even in such a way as 11 was found oy r e l a x a t i o n measurements on spin g l a s s e s ' .

i l j ) Л f i r s t estimation of a o - s u s c c p t j b l l i t y and transport coeffi­ c i e n t s for the jjoson-model \-j) yields ti.e typicaj. jiatiii-li^j uoliuviour observed in experiiTFents .

Acknowledgement s Vhe authors v.-oulu l i k e to thank iJr. V.L..'Jcsenov ai.d i.r. I..1. .

i^lukidu for helpful discussions .

Pet'erpncns / 1/ j. i '. oaui, ч.и..lilliam^, n.i,. r'riscn,. lys-.-uv. B^u, \'l\(Yjb2) /2/ H.U. i'almer, Advanc. in i'hys. 2 1, ud'J (bjb2) /3/ U. iienjrtzelius,... 'Jotze, Л. Sjolandar, preprint (1904) /4/ W, Л. I ' h i l l l p s, Vopico in Current I'hys. Vol.2, Sprinj;ur-Verl a j, Berlin (19Q1) .

/5/ Glassy metals I., Sprin;-er-VGrlaf;, -ierlin (1981) .

/G/ ; :. ] ;. i'ischer, p h y s. a t a t. s o l. ( b ) 11b. 357 (19U3) /'I/ 4.D. Juloraon, J. L. xholence, J.Appl.l'hys. 2, 7b84 (1902) /8/ P.... Anderson, in Ill-condensed L a t t e r, Lea Touches Lectures, i.orth-Holland (1979) /9/ ii. Oourtens, Helvetica Phys.Acta J_, 705 (1yt3) /10/ K.H. Fischer, J.A. J'ertz, J.Phys. C±G, 5017 (19ПЗ) /11/ D.K. "nbarev, Neravnov. Htnt. Terri'Od., "nuka,.Y.oscovr (1971) .

J /1У/ V.1-. Kalaschnikov, uubna-preprint,i 4-7bu3 (1974) /13/ U.J. Thouless, Vhys.Rep. V^C, 94 (1974) f /14/ J. *nhre3ber, I'roc. I n t e r n. -)ymp. on Locnlization, Teubnerl e x t e, -uei^zi *1Уа4) /15/ S.ii. caruus, d.Phyo. КП, ^249 (1981) /16/ 1!.;.. T.ORoljubov, S.V. TjabliJcov, Dokl. AH SSSR V26, 53 (1959) /17/ A.K. huychauduuri, И.О. Pohl, Phys.Rev. B25_, 1310 (1982)

–  –  –

*Departmcnt of Mathematics, Heriot-Watt University, Edinburnh, t'.K + C e n t e r for Nonlinear Studies, Los Alamos National Laboratory,USA .

–  –  –

It is over ten years since Davydov first suggested a selftrapping mechanism in a-helix proteins which would give rise to а soliton-like excitation on these biologically important molecules .

This pioneering work has led to extensive theoretical and experimental investigations on both sides of the Atlantic .

Professor Davydov, in his talk at this Symposium, will be giving details of recent work in the USSR on this topic. In this paper we would like to summarise some of the work carried out in this area at Los Alamos over the last 12 months. Full details of the topics discussed here will appear elsewhere .

This sti.idy begins with an investigation into solitons in acetanilide (ACN), a crystalline material with many properties in common with a-helix proteins. This work extends in a natural manner to a theory of self-trapping, applicable to many discrete systems, described by a new set of equations, which we have called the f Discrete Sel -Trapping (DST) equations. These equations are a discrete, generalised form of the nonlinear Schrodinger (NLS) equation. The introduction of discreteness introduces many novel mathematical features which still require further study. Although these equations were developed to describe solitons on large discrete lattices, it turns out that the same equations for a small number cf lattice sites have important applications to the study of scliton­ like vibrational modes of small molecules .

2. Solitons in Acetanilide

–  –  –

and e is a scaling factor chosen such that the largest element of M is unity .

We define stationary volutions of (2.2) to be those having the form A = ф exp(iut)» (2.4) where ф is a time independent 4N-vector. Inserting this into (2.2) we get a nonlinear eigenvalue problem for w and ф

-шф + Y diagl |ф| )Ф + еМф = О. (2.5) Solutions of (2.5) for fixed values of y,e and w can be found by Newton Iterative Methods. Once a solution is known, it can be continued as a function of the parameters by using numerical path following techniques. Some typical solutions are shown in Fig. 2 .

Figs. 2(a) and (c) show two types of soliton-like solutions for large у values: Fig 2(b) shows a solution calculated for small y. All three solutions lie on one continuous branch of solutions. Note that the four sites in each unit cell are labled 0, +,0,x respectively, and that the solitons at large у values are much more localised than in the case where the nonlinearity is small. Numerical tests on the full evolution equations (2.2) suggest that the solution shown in Fig. 2(a) is stable but that the other solutions may be unstable to perturbations. We argue in that the "anamolous amide-I" line in Fig. 1 can be explained by the presence of solitons of the type shown in Fig. 2(a), with the energy focused essentially on one peptide group in the unit cell .

3. The Discrete Self-Trapping Equations .

In the study of the ACN problem, many other, more complicated, stationary solutions were found. In addition, the evolution and self-trapping of states starting out as arbitrary nonlocali2ed distributions of energy was not clearly understood. It was also noticed that equation (2.2) applied to many other systems for which self-trapping was known to occur. With appropriate choices of the matrix 4, this system can model solitons on ос-helix proteins or globular proteins or polarons in a crystal. Furthermore, these equations could also be used to model the vibrational states of polyatomic molecules' ', a problem for which (2.2) with only a small number of sites would be appropriate. If M is chosen to be tridiagonal, with appropriately chosen coefficients, a finite difference version of the nonlinear Schrodinger (NLS) equation is obtained, in view of the general importance of (2.2), it was decided to name the system the Discrete Self-Trapping (DST) equations iA + у diag[ |A| ]A + eMA = 0 (3.1) where now A is a complex n-vector, у and e are real parameters, and M is an arbitrary real symmetric n * n matrix. In view of the application to molecular vibrational analysis for small n, and as a first step to understanding the behaviour of the equations for large n, we have carried out an initial investigation of (3.1) for n = 1,2, 3 and 4 and for a few specific choices of M .

Some general properties of the DST equations (3.1) are worth listing before progressing to specific examples. The DST equations can be derived from the Lagrangian

–  –  –

are denoted by *. Only solutions which are independent under the permutation group of M are listed .

We now examine some special cases for various n, considering both stationary and non-stationary solutions. Recall that we are restricting ourselves to the cases where the diagonal elements of M can be transformed to zero, and we normalize N to unity in (3.4) .

1) The case n = 1 In this case, H = О and there is only one solution of (3.1) the stationary solution Л = exp(ivt), denoted by (t). This stable solution corresponds to a single harmonic oscillator .

2) The case n - 2 In view of our restrictions on M, the only case to consider is

–  –  –

solutions (Table 1) correspond to fixed points in these phase planes:

( + t), (H) correspond to a = 1//5" and 0 - о,тг respectively, and (+•) (for у 2c) is a fixed point at 0 = 0 and a equal to one of the ф values in Table 1 .

It is clear that the solution (ft) is a stable fixed point for Y 2E: for Y 2e it turns into an unstable saddle point and the two new stable centres corresponding to the (+•) solution appear .

The (t+) fixed point is a stable centre for all y. It seems likely that the general initial value problem for this system can be solved in terms of elliptic functions, but the details of this have not yet been worked out .

The n = 2 case then furnishes a nice example of a nonlinear coupled oscillator system where all '-he solutions are well understood .

–  –  –

ф = -ф = 1//2", ф = О, ш = Y/2 - E. No analytic solutions for the other three real solutions known have been found .

Solution curves for the real solutions are shown in Tig. 6 .

There is a bifurcation point at (OJ,Y) = (7C/2,9E/2). The (t--) branch becomes stable at the point at which 3Y/3W = 0. The (MO) branch is unstable in the interval 3.5385... u / 8, where the je first number is the only root of x - 8x - 16 = 0. Stability calculations suggest that the complex stationary solution (t **) is stable for all y .

Numerical integrations of (3.1) for a variety of initial conditions have been made to study non-stationary solutions, л range of periodic, quasi-periodic, and chaotic solutions have been found ' ' .

It. is possible that a different choice of M in the n = 3 case would give an integrable system, but this possibility is still an open question .

–  –  –

'' ' ' ^*-^ / / ^-^ ' ' ^-"^»••

–  –  –

elements elsewhere. The other is a "nearest neighbor" interaction with m = 0 if ji - j| = 0,2 and m - 1 elsewhere. Detailed bifurcation diagrams for the stationary solutions in this case are reported elsewhere' {

5) Higher values of n The solutions described above for n = 2,3,... can be used to generate period 2,3,... solutions to higher order problems with appropriate symmetries .

It is clear that one of the most interesting solutions will be the one corresponding to the single stationary soliton-like solution {t•••...•). Experience with the ACN solutions suggest that this is always the one with the highest binding energy .

When this approach is applied to arbitrary globular proteins, the interaction matrix M is essentially random. In this case the energy of the single soliton localised at one site will vary from site to site. An important problem, as yet poorly understood, is how an arbitrary nonlocal energy distribution becomes focused into a single soliton or some similar mode. In more regular structures such as ACN the initial mechanism for self trapping is the Benjamin-Feir Instability', but there is no theory as yet for more random structures .

In considering the DST equations (3.1J for smaller n values, although the localized soliton states are stable, the "basin of attraction" for such states is small. Initial homogeneous energy distributions behave in a stochastic manner, and the energy does not become localized at any one site for any appreciable period .

Presumably as n is increased, the tendency to self-trap becomes stronger, since it is known from the ACN and NLS studies that this occurs for large n. Further studies are under way to investigate this effect for both regular and random structures .

Acknowledgements Most of this work was done whilst one of the authors (JCE) was a long-term visiting fellow at the Center for Nonlinear Studies, LANL .

He is grateful to the CNLS and to the Royal Society for financial support during this period, and to the US/UK Educational Commission and the Carnegie Trust (Edinburgh) for further Travel Grants .

References

1. A.S. Davydov and N.I. Kislukha, Phys. Status Solidi (b) 1973, 59, p. 465. See also A.S. Davydov, Phys. Scr., 1979, 20, p. 387, and the proceedings of this symposium for more recent results and bibliographies .

2. G. Careri, U. Buontempo, P. Carta, E. Gratton and A.C. Scott, Phys. Rev. Letts., 1983, 51, p. 304 .

3. J.C. Eilbeck, P.S. Lomdahl and A.C. Scott, "Soliton Structure in Crystalline Acetanilide", Report LA-UR-84-785, to be published in Phys. Rev. B .

4. A.C. Scott, P.S. Lomdahl and J.C. Eilbeck, "Between the Local Mode and Normal Mode Limits", Report LA-UR-84-1604, submitted for publication .

5. J.C. Eilbeck, P.S. Lomdahl and A.C. Scott, "The Discrete SelfTrapping Equations", in preparation .

6. D.W. Decker and H.B. Keller, Comm. Pure and Appl. Math., 1981, 34, p. 149, M. Kubicek and M. Marek, "Computational Methods in Bifurcation Theory and Dissipative Structures", 1983, SpringerVerlag, New York .

7. P.S. Lomdahl, "Nonlinear Dynamics of Globular Proteins", Report LA-UR-82-2252; to appear in "Nonlinear Electrodynamics in Biological Systems", 1984, eds. W.R. Adey and A.F. Lawrence, Plenum Press, New York .

8. T. Holstein, Ann. Phys., 1959, 8, p. 325, p. 343 .

9. J. Carr and J.C. Eilbeck, "Stability of Stationary Solutions of the Discrete Self-Trapping Equations", in preparation .

ТЫ)ИИ ФАЗОВЫХ Ш Р И Щ Д О В ВТОРОГО РОДА

И.Р.Юхновский Институт теоретической физики АН УССР Львовское отделение "Статистическая физика", Львов Б этой статье приведены результаты, представляющие собой этапы приближенного решения задачи о фазовом переходе второго рода .

В качестве модели физической системы рассмотрена трехмерная модель Изинга. Выполнен расчет статистической суммы, найдена свободная энергия, энтропия, теплоемкость, средний момент и восприимчивости .

Получено и решено уравнение для критической температуры. В резуль­ тате удалось установить прямую связь между параметрами исходного гамильтониана и значениями термодинамических функций. Найдены кри­ тические индексы, удовлетворяющие всем известным условиям термоди­ намической устойчивости системы .

§ X. Гамильтониан Рассмотрим систему N частиц, расположенных в узлах идеальной кристаллической решетки в объеме периодичности V. Решетка простая кубическая, С - период решетки, N c = V • Состояние каждой частицы определяется собственным значением ее спина .

Гамильтониан системы имеет вид:

–  –  –

ности .

Фазовый переход является равновесным процессом. Он полностью описывается характеристической функцией термодинамики. В качестве независимых переменных примем температуру Т, объем Y и внешнее поле h. Тогда система будет описываться свободной энергией в "F = р ( Т V h) • принципе, нам не следует вводить в состав свободной энергии добавочных переменных типа параметров порядка .

Вместо этого необходимо найти правильное фазовое пространство .

Множество N независимых переменных {ft-} этого пространства должно содержать переменную р, относительно которой при пере­ е ходе через критическую точку происходит смещение максимума плот­ ности меры едр(-вН). Индекс О этой переменной соот­ ветствует точке максимума потенциала взаимодействия ф(к), а сама переменная связана со средним значением спина системы 6 .

Искомыми переменными Pjf являются моды колебаний плотности спино­ вого момента. Обозначим их буквами С* с различными к Вектор к пробегает N значений внутри первой зоны Бриллюэна .

Переменные ft» назовем коллективными переменными (КШ. Kli явля­ ются комплексными величинами. Действительная fi» и коэффициент при мнимой части pi /a lu ii каждой из них определяется формулами -- ' 11.2) Разлагая d(*) в ряд по степеням к и ограничиваясь первыми степенями к, найдем, что Е( f) совпадает по форме с гамильтони­ аном Гинзбурга-Ландау '*/ .

Доказаны две теоремы / / .

Теорема I: Пусть в 11.13) m i n d ( k ) = d(o). Система эйлеровьк уравнений

–  –  –

Птах, действительно, переменная Р связана с параметром порядка 6 и фазовое пространство K t является наиболее удобным фазовым i пространством для описания фазового перехода второго рода .

Вторая теорема относится к форме базисного распределения.

Она утвер­ ждает, что плотность меры вида:

–  –  –

§ 2. Интегрирование статистической суммы для статистической суммы (1.12) рассматривается нулевое прибли­ жение вида:

2.1)

–  –  –

Интегрирование начинаем с переменных первого слоя В..

к В и поэтому полагаем:

^ЧФ-'Ь^Ж^-*'^ (2.3)

–  –  –

периодичности V, €, = 50. При этом считается справедливым равенство:

интегралы по "^д являются как бы "обратными"^ интегралам по *).j Результат интегрирования по N' переменным *? и no N ^ пере­ менным -$д в совокупности равнозначен интегрированию по N'- N 1

–  –  –

Основное отличие предлагаемого метода интегрирования статистической суммы по слоям фазового пространства от метода Вильсона состоит в наличии "промежуточного" интегрирования по переменным - ^, что позволило нам факторизовать подинтегральную функцию в (2.5) .

Таким же образом можно проинтегрировать во втором слое, затем в третьем и т.д.

и получить для Z выражение:

где С/Сц - парциальная статистическая сумма И -того слоя .

По аналогии с (2.9):

–  –  –

Выпишем рекуррентные соотношения, которые мы получаем без учета поправки на усреднение потенциала, полагал в формуле (.5) = Дpfk) 0. Заметим, что среднее значение потенциала (1.17) в П -том слое Вц.,,,^ к В„ будет равным (З.Х)

–  –  –

Рекуррентные соотношения имеют вид:

можно вести, используя уже в качестве базисной гауссову плотность меры. Таким образом, при интегрировании статистической суммы при Т Т имеем две формы для базисной плотности меры: четверную с

–  –  –

Нов?я система уравнений имеет в качестве частного решения неподвиж­ ную точку Ъ" и U*, в окрестности которой уравнения (3.7) можно линеаризовать. Соответствующую линейную систему решаем подобно тому, как в работе Вильсона УЗ"/ .

В отличие от последней, нам известны начальные условия 11.19), что освобождает нас от необходи­ мости постулировать форму зависимости решений от температуры t

В результате:

–  –  –

Критическая температууа находится из определения (3.3), которое возможно только при условии С^ « О. В результате из (3.II) получаем выражение для Т : с

–  –  –

здесь, согласно условию l3.Ib), (3.I9) Я *(к) 0 для всех к ^ Вм : Zu представляет собой сглаженную статистическую сумму блочной кристаллической структуры, в каждом блоке которой имеется отличное от нуля значение среднего момента .

Выделим в (3.21) энергии намагничивания с помощью замены переменных:

–  –  –

(3.26) В (3.25) под интегралом в показателе имеем выражение типа свободной энергии Ландау. Зависимость коэффициентов В и & от темпера­ туры неаналитическая. Из условия экстремума подинтегральной функ­ ции находим средний момент или значение параметра порядка:

–  –  –

Отсвда легко получить значение энтропии и теплоемкости .

Энтропия и теплоемкость состоят из суммы вкладов от области ренормгрупповых решений (КР) и от области, где справедливо гауссово распре­ деление. На рис. I приведены кривые для составляющих энтропии * | р i Ьи, Ь 4 и суммарная энтропия S = Skr+S« Ssj.. + Эс Из рисунка видим, что КР являеюя термодинамически неустойчивым, теплоемкость от него отрицательная (хотя индекс U- является правильным). На этом же рисунке приведена кривая для теплоемкости .

–  –  –

Каждое aim зависит от гп от температуры и от параметров исход­ ного гамильтониана. Принципиальная метаморфоза свойств J-л,.. .

наступает при критической температуре: все J*m стано­ оСц вятся универсальными и одинаковыми по величине, cLm-L .

Для «С получаем следующее выражение:

–  –  –

Основные изменения, вызванные учетом поправок на усреднение потен­ циала, связаны с критическими индексами. Величина термодинамических функций изменится мало. Рассмотрим поэтому выражения для критических индексов с учетом (5.5). Из формул (3.13) и 13.19) вытекают новые значения для координат точек М ^ иМ : т

–  –  –

1. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. О ренормализационной группе в кванто­ вой электродинамике. ДАН СССР, 1905, 103, * 2, с. 203-206 .

2. Боголюбов Н.Н., Ыирков Д.В. Введение в теорию квантованных полей .

П., "Наука", 1976, 479 с .

3. Вильсон К., Когут Дк. Ренормалиэационная группа и 6 -разложение .

М.,*Мир;' 197Ь, 256 с .

4. Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д. К теории сверхпроводимости. % р н .

экспер. и теорет. физики, I95C, т. 20, № 12, с. I064-IG62 .

Ь. Зубарев Д.И. Вычисление конфигурационных интегралов для систем частиц с кулоновским взаимодействием. ДАН СССР, 1954, 95, с. 767-760 .

6. Каданов ii.A. Критические явления и гипотеза универсальности, скейлинга и капельная модель. В кн: квантовая теория поля и физика фазовых переходов. М.,'мир", 1975, с. 7-32 (серия МФФ вып.6)

7. Козловский II.П. Критическое поведение трехмерной модели Изинга .

Модель "У ". Физика многочастичных систем. Киев,"Наукова думка,* 1983, вып. 4, с. 37-43 .

8. Ландау Л.Д. К теории фазовых переходов I. ЖЭТФ, 1937, 7, вып. I, с. 19-32. К теории фазовых переходов П. ЖЭТФ, 1937, 7, вып. 5, с. 627 .

9. Наташинский Л.З., Покровский В.Л. Флуктуационная теория фазовых переходов, и., "Наука', 1975, 380 с .

10. Схновский И.Р., Рудавский O.K. Применение метода коллективных переменных к исследование модели Изинга. 1. Статистическая сумма. Препринт ИТФ-74-171Р, Киев, 1974, 37 с .

11. Схновский И.Р., Рудавский С.К. Представление коллективных переменных для модели Изинга. Укр. физ. журн., 1977, 22, # I, с. 50-59 .

12. Схновский И.Р. Интегрирование статистической суммы трехмерной модели Изинга в методе коллективных переменных .

Препринт ИТФ-76-24Р, Киев, 1976, 29 с .

укр. физ. лурн., 1977, 22, с. 315-335 .

Укр. физ. журн., 1977, 22, с. 484-493 .

13. Схновский И.Р. Статистическая сумма трехмерной модели Изинга .

ДАН СССР, 1977, 232, с. 312-315 .

Теорет. и мат. физика, 1978, 36, с. 373-399 .

14. Юхновский И.Р., Козловский М.П. Рекуррентные соотношения в трехмерной модели Изинга. Укр. физ. журн., 1977, 22, # 7, с. II25-II34 .

15. Схновский И.Р., Козловский 11.П., Колонией. В.А. Исследование трехмерной модели Изинга с помощью масштабных преобразований .

Препринт ИТФ-80-28Р, Киев, 1980, с. 52 .

Укр. физ. журн., 1982, 27, » 6, с. 930-935 .

16. Схновский И.Р., Козловский М.П., Колонией, В.А. Аналитическое решение уравнений ренормгруппы. Укр. физ. журн., 1982, 27, » 6, с. 1399-1403 .

17. Tnkbnorakjr I.E., Koslovsky И.P., sbpot N.A. Free energy,entropy and heat capacity in the critical region at T Tc. - Preprint ITP-8W144S, 1ет, 1984, 40 p .

18. ТоЫшотеку I.H. On general theory of aeeond-order phase tranaltiona. - Preprint ITP-85-6B, 1985, Kier, 65 p .

19. Tukhnovakj 1 3. Solution of the three-dlaenaio&al Iaing nodal in the temperature region below critical point. - Preprint ITPKier, July 1983, 37 P.



Похожие работы:

«ГОСТ 13579-78 УДК 691.327-412:006.354 Группа Ж33 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР БЛОКИ БЕТОННЫЕ ДЛЯ СТЕН ПОДВАЛОВ Технические условия Concrete blocks for walls of basements. Specifications ОКП 58 3500 Дата введения 1979-01-01 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ДАННЫЕ 1. РАЗРАБОТАН Центральным науч...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИСТОРИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра истории России ВОДНЕВА Елена Викторовна III ОТДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННОЙ ЕГО ИМПЕРАТОРСКОГО ВЕЛИЧЕСТВА КАНЦЕЛЯРИИ И МЕХАНИЗМЫ СОТРУДНИЧЕСТВА С ОБЩЕСТВОМ (ПО МАТЕРИАЛАМ Ф...»

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗ А ССР Л А К ЭЛЕКТРОИЗОЛЯЦИОННЫЙ ПРОПИТОЧНЫЙ ФЛ-98 ТЕХНИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ГОСТ 12294— 66 Издание официальное БЗ 4 -9 2 3 руб. ГОССТАНДАРТ РОССИИ Москва обследование строительных конструкций УДК 621.31&.617.4:006.354 Группе Л24 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР ЛАК ЭЛЕКТРОИЗОЛЯЦИОННЫ...»

«МИНИСТЕРСТВО РЕГИОНАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СВОД ПРАВИЛ С П 121.13330.2012 АЭРОДРОМЫ Актуализированная редакция СНиП 32-03-96 Издание оф и ц и ал ь но е М осква 2012 сертификат на двери СП 121.13330.2012 Предисловие Ц е л и и принципы станда рти зац и и в Российской Ф ед е р а...»

«Разработка автоматизированного комплекса приёма, обработки и архивации данных геостационарных спутников в НИЦ "Планета" В.В. Асмус 1, М.А. Бурцев 2, А.А. Воронин 3, А.Е . Кузнецов 3, Е.А. Лупян 2, А.А. Мазуров2, О.Е. Милехин 1, А....»

«Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" Инженерная школа природных ресурсов Направление подготовки: 21.03.01 "Нефтегазовое дело" Отделе...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" Инженерная школа природных ресурсо...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" Школа базовой инженерной подготовки Направление 38.03.03 "Управление...»

«Роботы-пылесосы Agait EC-1 Orange, EC-1 Red, EC-1 White: Инструкция пользователя Robotic Vacuum Cleaner / Odkurzacz Robotic / Robotick vysava / Пыле о обо / Porszv robot Fully Automated Intelligent Dust Buster / Cakowicie zautomatyzowane, inteligentne usuwanie kurzu...»

«Открытые информационные и компьютерные интегрированные технологии, № 81, 2018 doi: 10.32620/oikit.2018.81.03 УДК 629.7.01 Ю. Б. Витязев, А. Г . Гребеников, А. М. Гуменный, А. М. Ивасенко, А. А. Соболев Метод создания моделей самолетов с помощью систем CAD/CAM/CAE и аддитивных технологий...»

«Спектрометры рентгенофлуоресцентные Внесены в Государственный реестр модели EDX2800, EDX3000, EDX3000B, средств измерений EDX3000C, EDX3000D, EDX3600, Регистрационный № EDX3600B, EDX3600L, EDX6000, Взамен № EDX6000B, EDX600, EDX660, EDX Thick800, WDX200, EDX-Pocket Serie...»

«Профессор Я.И. Фет ИГОРЬ АНДРЕЕВИЧ ПОЛЕТАЕВ И ЕГО КНИГА “СИГНАЛ”* Послесловие к сетевому переизданию1 книги Сигнал (VIVOS VOCO, 2004 г.) Книга “Сигнал” первая в нашей стране монография о кибернетике, а ее автор, Игорь Андреевич...»

«СЕКЦИЯ 14. КОМПЛЕКСНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МИНЕРАЛЬНОГО СЫРЬЯ содержанием ОПП до 30% и НПВР до 0,3% по технологическим и реологическим свойствам полностью соответствует техническим требованием к ним. НПВР пол...»

«Ф Е Д Е Р А Л Ь Н О Е АГЕНТСТВО ПО Т Е Х Н И Ч Е С К О М У РЕГУЛ ИР ОВА НИЮ И МЕТРОЛ ОГИИ СВИДЕТЕЛЬСТВО об утверждении типа средств измерений DE.С.31.001.А № 43080 Срок действия до 05 июля 2016 г.НАИМЕНОВАНИ...»

«Социальные технологии и процессы УДК 316.4                          DOI 10.26425/1816-4277-2018-5-175-180 ЦЕННОСТНАЯ ПАРАДИГМА ГЛАЗАМИ Малолетнева Ирина Владимировна канд. психол. наук, ФГБОУ ВО  СТУДЕНЧЕСКОЙ МОЛОДЕЖИ...»

«Вестник ТГПУ (TSPU Bulletin). 2015. 2 (155) УДК 593.1 Л.В.Лукьянцева,Е.А.Иманкулова видОвОЙ сОстав ракОвиннЫх амеБ дОннЫх ОтлОЖениЙ ПОЙменнЫх Озер и УЧастка реки тОми (г. тОмск) В соста...»

«Vestnik slavianskikh kul’tur. 2018. Vol. 49 УДК 821.162.3+82.091 ББК 83.3(0) This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) © 2018 г. К. К. Маслова г....»

«Новая игровая мышь Razer Mamba 2012 получила существенное обновление, теперь она оснащена сверхточной системой двойных сенсоров 4G (четвертого поколения), благодаря использованию лазерного и оптического сенсоров значительно улучшается точ...»

«СОБРАНИЕ ДЕПУТАТОВ МИАССКОГО ГОРОДСКОГО ОКРУГА ЧЕЛЯБИНСКАЯ ОБЛАСТЬ ПЯТИДЕСЯТАЯ СЕССИЯ СОБРАНИЯ ДЕПУТАТОВ МИАССКОГО ГОРОДСКОГО ОКРУГА ЧЕТВЕРТОГО СОЗЫВА РЕШЕНИЕ №19 от 31 мая 2013г. О внесении изменений в Решение Собрания депутатов Миасского городского округа от 25.11.2011г. №1 "Об утверждении Правил землепо...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" Инжен...»

«ПРОЕКТНАЯ ДЕКЛАРАЦИЯ СВЕТЛАНОВСКИЙ UP КВАРТАЛ № 47-000161 Дата подачи декларации: 16.01.2019 01 О фирменном наименовании (наименовании) заст ройщика, мест е нахождения заст ройки, режиме его работ ы, номере т елефона, адресе официального сайт а заст ройщи...»







 
2019 www.librus.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - собрание публикаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.