WWW.LIBRUS.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - собрание публикаций
 

«Московский физико-технический институт (государственный университет) А.А. Натан, О.Г.Горбачев, С.А. Гуз, Е.В. Бурнаев, А.В.Гасников, Е.О.Черноусова СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ Учебно-методическое пособие ...»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Московский физико-технический институт

(государственный университет)

А.А. Натан, О.Г.Горбачев, С.А. Гуз,

Е.В. Бурнаев, А.В.Гасников, Е.О.Черноусова

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Учебно-методическое пособие

Москва 2015

УДК 519.7

Натан А.А., Горбачев О.Г., Гуз С.А., Е.В. Бурнаев, А.В.Гасников,

Е.О.Черноусова Случайные процессы. Учебно-методическое пособие / МФТИ .

М., 2015 .

Содержит программу, список литературы и задачи одноименного курса, читаемого студентам факультета управления и прикладной математики Московского физико-технического института. Задачи могут быть использованы в качестве упражнений на семинарских занятиях, заданий, экзаменационного материала, а также при самостоятельном освоении курса .

ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА

«Случайные процессы»

Определение понятия «случайный процесс». Система конечномерных распределений случайного процесса, ее свойства. Моментные функции случайного процесса. Корреляционная и взаимная корреляционная функции случайных процессов, их свойства. Преобразования случайных процессов .

Непрерывность случайного процесса в среднем квадратическом, ее необходимое и достаточное условие. Непрерывность случайного процесса по вероятности и с вероятностью единица. Производная случайного процесса в среднем квадратическом, необходимое и достаточное условие ее существования .

Интеграл от случайного процесса в среднем квадратическом, необходимое и достаточное условие его существования .

Стационарный случайный процесс. Строгая и слабая стационарность случайного процесса. Взаимная стационарность случайных процессов. Эргодичность случайного процесса по математическому ожиданию в среднем квадратическом. Условия эргодичности по математическому ожиданию .

Спектральное представление стационарного случайного процесса. Теорема Хинчина о спектральном представлении корреляционной функции случайного процесса. Спектральная функция и спектральная плотность случайного процесса, их свойства и приложение. Случайный процесс типа «белый шум» .

Пуассоновский случайный процесс. Сложный пуассоновский процесс, процесс с переменной интенсивностью. Процессы восстановления;

Гауссовский (нормальный) случайный процесс, его свойства .

Марковский случайный процесс. Дискретная марковская цепь. Переходные вероятности. Уравнения Колмогорова–Чепмена. Однородные дискретные марковские цепи. Классификация состояний дискретной марковской цепи, теорема о «солидарности» их свойств .

Асимптотическое поведение дискретной марковской цепи. Предельное и стационарное распределения вероятностей состояний дискретной марковской цепи. Теоремы об эргодичности дискретных марковских цепей .

Марковская цепь с непрерывным аргументом. Прямое и обратное уравнения Колмогорова–Феллера. Примеры приложения теории марковских цепей (модели систем массового обслуживания) .

Непрерывный марковский процесс. Обобщенное уравнение Маркова .

Уравнения Колмогорова и Колмогорова–Фоккера–Планка. Броуновское движение (винеровский процесс) .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Натан А.А., Горбачев О.Г., Гуз С.А. Основы теории случайных процессов:

Учебное пособие. – М.: МФТИ, 2003. – 165 с .

2. Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов в примерах и задачах. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 320 с .





3. Случайный вектор. Учебно-методическое пособие. Составитель Натан А.А .

– М.: МФТИ, 2003. – 29 с .

4. Булинский А.В. Случайные процессы. Примеры, задачи и упражнения. Учебное пособие. – М.: МФТИ, 2010. – 216 с .

5. Кельберт М.Я., Сухов Ю.М. Вероятность и статистика в примерах и задачах. Том 2. Марковские цепи как отправная точка теории случайных процессов и их приложений. – М.: МЦНМО, 2009. – 400 с .

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. – М.: Наука, 1996. – 320 с

2. Гнеденко Б,В. Курс теории вероятностей. – М: Наука, 1988. – 446 с .

3. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. – М.: Мир .

1969. – 400 с .

4. Розанов Ю.А. Введение в теорию случайных процессов. – М.: Наука, 1979. – 1984 с .

5. Климов Г.П., Кузьмин А.Л. Вероятность, процессы, статистика. Задачи с решениями. – М.: изд. МГУ, 1985. – 232 с .

6. Прохоров А.В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Задачи по теории вероятностей .

Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы. – М.: Наука, 1986. – 328 с .

ЗАДАЧИ по курсу «Случайные процессы» .

1. Пусть случайный процесс X (t ) x(; t ) задан на вероятностном пространстве, F, P, где: {1, 2}, F –множество всех подмножеств множества, P приписывает вероятности, равные 1/2, одноэлементным множествам {1} и {2}. Пусть множество значений параметра t есть отрезок [0,1] и x(, t ) t. Найти реализации случайного процесса X(t) и его семейство конечномерных распределений .

2. Пусть случайный процесс X (t ) x(; t ) определен на вероятностном пространстве, B, P где = [0, 1], B – -алгебра борелевских подмножеств множества, P – мера Лебега. Пусть t (0, 1) и x (, t ) = 1 при t, x (, t ) 0 при t. Найти реализации случайного процесса X(t) и его двумерные распределения .

3. Пусть X – случайная величина с функцией распределения F ( x), t R .

Найти семейство конечномерных распределений случайного процесса Y (t ) X t .

4. X– случайная величина с равномерным распределением на интервале (0,1). Найти вид реализаций, распределения сечений, системы конечномерных распределений, моментные функции (функцию математического ожидания, корреляционную функцию) случайных процессов:

а ) Y (t ) X t a; б) Z (t ) X t ; a – неотрицательная неслучайная величина, t[0,) .

5. Найти вид реализаций, систему конечномерных распределений, моментные функции (математическое ожидание, корреляционную функцию) пуассоновского случайного процесса .

6. Показать, что для нормального случайного процесса функция математического ожидания m = m(t) и корреляционная функция R = R(t1, t2) вполне задают систему конечномерных распределений процесса .

7. Пусть X и Y – независимые случайные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 1/2, t 0. Найти семейство конечномерных распределений случайного процесса Z (t ) ( X Y ) / t .

–  –  –

9. Пусть X и Y – случайные величины, причем Y имеет симметричное относительно нуля распределение, P{Y 0} 0. Найти вероятность того, что реализации случайного процесса Z (t ) X t (Y t ), t 0, возрастают .

–  –  –

12. Пусть X1(t), X2(t) – два независимых случайных процесса с корреляционными функциями R X (t1, t 2 ) и R X (t1, t 2 ). Найти корреляционную функцию случайного процесса Y (t ) X 1(t ) X 2 (t ) .

13. Пусть X N (m, ), b – вещественное число. Найти корреляционную функцию случайного процесса Y (t ) Xt b, t 0 .

–  –  –

( ai 0, i (t ) – любые неслучайные действительные функции) обладает свойствами корреляционной функции .

18. X и Y – независимые случайные величины с распределениями вероятностей: P{X=1}=P{X=-1}=P{Y=1}=P{Y=-1}=0,5. Является ли случайный процесс Z (t ) X cos t Y sin t .

( – неслучайная величина) стационарным а) в широком смысле; б) в узком смысле?

19. Пусть X (t ), t 0, – пуассоновский случайный процесс с параметром. Доказать, что случайный процесс Y (t ) X (t 1) X (t ), t 1 является стационарным в широком смысле .

20. Является ли стационарной последовательность попарно независимых одинаково распределенных случайных величин?

21. Доказать, что сумма независимых стационарных случайных процессов является стационарным случайным процессом .

22. Пусть X (t ) – стационарный случайный процесс, Y – случайная величина. Является ли случайный процесс Z (t ) X (t ) Y стационарным?

23. Пусть X(t) – стационарный (в широком смысле) дифференцируемый в среднем квадратическом случайный процесс. Является ли стационарным случайный процесс Y (t ) dX (t ) ? Являются ли процессы X(t) и Y (t ) взаимно стаdt ционарными?

–  –  –

27. Случайный процесс X (t ) может принимать только два значения:

1 и 1. P X (0) 1 P X (0) 1. Переключение с одного значения на другое происходит в случайный момент времени ( и X (0) взаимно независимы). имеет показательное распределение с параметром. Будет ли случайный процесс X (t ) эргодичным по математическому ожиданию? Вычислите RX (t1, t2 ) .

<

–  –  –

29. Случайный процесс X(t) имеет вид X ( t ) b sin ( t ), где b, – известные числа, – случайная величина с функцией плотности распределения f(x), t 0. Исследовать случайный процесс X(t) на стационарность и на эргодичность по математическому ожиданию в следующих случаях: a) f(x) = cos х при х [0, /2], f(x) = 0 при х [0, /2]; б) f (x) = 1/2 при x [0,2], f(x) = 0 при x [0, 2] .

–  –  –

Y 0. Являются ли эргодичными по математическому ожиданию процессы X(t) и Z(t)=X(t)+Y ?

31. Показать, что функция R () 2 e a|| cos, где a,, – некоторые положительные постоянные, может быть корреляционной функцией непрерывного в среднем квадратическом и стационарного в широком смысле случайного процесса. Определить спектральную плотность, соответствующую такой корреляционной функции .

32. Проверить, что функция R() a b | |, b 0, является корреляционной функцией некоторого случайного процесса. Найти его спектральную плотность .

–  –  –

34. Пусть X (t ) x(; t ) – случайный процесс, определенный на вероятностном; пространстве, F, P. Доказать, что если множество счетно и все одноточечные его подмножества имеют положительные вероятности, то стохастическая непрерывность случайного процесса X (t ) эквивалентна условию непрерывности :всех его траекторий .

35. Пусть X (t ), t 0 – случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и с корреляционной функцией вида R (t ; s ) e st. Доказать, что данный случайный процесс бесконечно дифференцируем в среднем квадратическом .

36. Исследовать на дифференцируемость в среднем квадратическом случайный процесс X (t ) e at sin (t ), где, – известные числа, – случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0, 2], t 0 .

–  –  –

39. Показать, что поток событий является пуассоновским с интенсивностью тогда и только тогда, когда временной интервал между соседними событиями имеет показательное распределение с математическим ожиданием MX = -1 .

40.Точечный случайный процесс X(t) представляет собой результат сложения r независимых пуассоновских потоков событий с интенсивностями i ir1. Определить тип и параметры процесса X(t) .

–  –  –

процессов X i (t )ir1 .

42. Пусть X(t) – пуассоновский случайный процесс с интенсивностью и Y(t) – случайный процесс, полученный в результате удаления из X(t) всех событий, очередной номер которых не кратен s. Определить тип и параметры распределения интервала между соседними событиями в случайном процессе Y(t) .

43. Деятельность коммерческой фирмы состоит в выполнении потока сделок, реализуемых в случайные моменты времени t = t1, t2,…,tk,…Каждая kая сделка приносит фирме прибыль, представляющую собой случайную величину Vk с математическим ожиданием m и с дисперсией 2. Поток сделок описывается пуассоновским процессом с интенсивностью. Найти математическое ожидание и дисперсию суммарной прибыли, получаемой фирмой к моменту t. Используя предельную теорему, оценить вероятность получения суммарной прибыли к моменту t = t* не ниже Q* (положить: = 1, t* = 100, m = 4, 2 = 9, Q* = 250) .

44. В задаче 58 случайная величина Vk с вероятностью p принимает значение 1 («успешная сделка») и с вероятностью q = 1 - p – значение 0 («безуспешная сделка»). Найти тип и параметры потока успешных сделок .

45. Пусть X(t) – нормальный (гауссовский) случайный процесс с корреляционной функцией RX (t1, t 2 ) be a|t t |, b 0, a 0. Проверить существование

–  –  –

46. Пусть X(t) – нормальный (гауссовский) случайный процесс с математическим ожиданием mX(t) = m = const и корреляционной функцией RX (t1, t 2 ) be a|t t |, b 0, a 0. Найти вероятность P{ X (t ) c}, если X (t ) x (величины с и x заданы) .

47. Пусть X(t) = (X1(t),…,Xn(t)) – n – мерный нормальный стационарный векторный случайный процесс с известными моментными функциями – вектором математических ожиданий его компонент MX(t) = (MX1(t),…,MXn(t)) и матрицей корреляционных функций R(t1,t2) =(Rij(t1,t2)), где при i = j Rii(t1,t2) – корреляционная функция случайного процесса Xi(t) и при i j Rij(t1,t2) – взаимная корреляционная функция случайных процессов Xi(t) и Xj(t) (i,j = 1,…,n) .

Найти распределение скалярного случайного процесса Xn в момент времени t t при известных значениях[ случайных процессов X1(t),…,Xn-1(t) в момент .

t t .

48. Пусть X(t) = (X1(t), X2(t)) – двухмерный нормальный стационарный векторный случайный процесс с известными моментными функциями: MX(t) = (MX1(t), MX2(t)), корреляционными функциями R X (t1, t 2 ). R X (t1, t 2 ) и взаимной корреляционной функцией R X X (t1, t 2 ) его компонент. Найти вероятность

–  –  –

49. Урна содержит в начальный момент m белых и k черных шаров .

Опыт состоит в последовательности шагов с извлечением из урны на каждом n

– ом шаге одного шара, его возвращением в урну и добавлением в неё одного шара того же цвета. Пусть событие An обозначает извлечение белого шара на n

- ом шаге, а событие Bn(r) – нахождение в урне на n - ом шаге r белых шаров .

Являются ли последовательности {An} и {Bn(r)} марковскими?

50. Однородная дискретная марковская цепь X(t) с множеством состояний S имеет известные переходные вероятности pij=P{X(t+1) =j| X(t)=i}, i,jS .

Найти распределение вероятностей состояний процесса в момент t+1, если а) известно состояние процесса в момент t; б) известно распределение вероятностей состояний процесса в момент t; в) известно состояние процесса в момент t – 1 .

51. Товар определенного типа продается магазином поштучно в порядке очереди (по записи). Число покупателей U(r), записывающихся в очередь в течение r-го интервала времени (r = 1, 2,…)– случайная величина; случайные величины {U (r )} независимы в совокупности. В начале каждого интервала времени на продажу в магазин поступает один экземпляр товара при условии, что очередь на его покупку не пуста. Является ли длина очереди, фиксируемая в конце каждого интервала времени, марковской цепью?

–  –  –

Для марковских цепей найти переходные вероятности за один шаг .

55. Пусть X 0, X 1,... и Y0,Y1,... – две марковские цепи. Будет ли марковской цепью последовательность X 0 Y0, X 1 Y1,... ?

56. Пусть последовательность случайных величин X0, X1,… образует марковскую цепь. Доказать, что любая подпоследовательность последовательности X0, X1,…также является марковской цепью .

57. Известно, что дискретная марковская цепь полностью определяется начальным распределением и матрицей вероятностей перехода за один шаг .

Определяется ли дискретная марковская цепь начальным распределением и матрицей вероятностей перехода за два шага?

58. Пусть X 0, X 1,... – последовательность случайных величин, образующих марковскую цепь, (x) – некоторая функция. Будет ли последовательность (X0), (X1),…марковской цепью?

–  –  –

60. Пусть X 0, X 1,..., – последовательность случайных величин, образующие однородную дискретную марковскую цепь. Доказать, что для того, чтобы случайные величины X 0, X 1,..., были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы все строки матрицы вероятностей перехода за один шаг были одинаковыми .

61. Пусть X 0, X 1,..., – последовательность попарно независимых (необязательно независимых в совокупности) случайных величин. Образуют ли они дискретную марковскую цепь?

62. Классифицировать состояния дискретной марковской цепи, изображенные на графике (стрелками изображены переходы, имеющие ненулевые вероятности) .

-3 -2 -1 0 1 2 3

63. Однородная дискретная марковская цепь с тремя состояниями S={0,1,2} имеет матрицу одношаговых переходных вероятностей

–  –  –

66. Доказать, что в конечной неразложимой однородной дискретной марковской цепи все состояния – ненулевые .

67. Доказать, что неразложимая дискретная марковская цепь, у матрицы переходных одношаговых вероятностей которой хотя бы один диагональный элемент положителен, не может быть периодической. Может ли неразложимая дискретная марковская цепь, у матрицы одношаговых переходных вероятностей которой все диагональные элементы суть нули, быть непериодической?

–  –  –

69. Проведение некоторого эксперимента состоит в осуществлении большого числа шагов. На каждом шаге может быть выбрано одно из двух возможных действий. Каждое действие может привести как к успеху, так и к неудаче данного шага. Существуют вероятности успеха p1 и p 2 первого и второго действий соответственно и вероятности их неудач q1 1 p1, q2 1 p2, которые экспериментатору неизвестны. Цель экспериментатора состоит в максимизации математического ожидания числа успехов в эксперименте в целом .

Сравнить две стратегии проведения эксперимента: а) равновероятный выбор на каждом шаге каждого действия; б) повторение на следующем шаге действия, приведшего к успеху на предшествующем шаге, и смена действия, приведшего к неудаче .

–  –  –

72. Предположим, что на некотором шоссе поток автомобилей можно считать пуассоновским с интенсивностью 30 машин в минуту. Выпишите вероятность того, что пройдет более N секунд, пока мимо поста наблюдения проедут n автомобилей .

73. Рассмотрите марковскую цепь в непрерывном времени с двумя состояниями. Пусть время нахождения цепи в первом состоянии есть экспоненциальная случайная величина с интенсивностью, время нахождения цепи во втором состоянии – экспоненциальная случайная величина с интенсивностью. Найдите стационарное распределение вероятностей .

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

,F,P – вероятностное пространство ( – множество исходов, F – -алгебра, P – вероятностная мера);

MX(t) – математическое ожидание случайного процесса X(t);

DX(t) – дисперсия случайного процесса X(t);

RX(t1,t2) – корреляционная функция случайного процесса X(t);

N(m,2) – нормальное распределение с параметрами: m (математическое ожидание) и 2 (дисперсия);

Po() – распределение Пуассона с параметром (интенсивностью) ;

*() – функция распределения стандартного нормального распределения N(0,1);

X (t ) – центрированный случайный процесс;



Похожие работы:

«Абонентские оптические терминалы NTE-RG-1402 rev.B Руководство по эксплуатации, версия 1.4 (26.04.2018) Версия ПО 3.14.5 IP-адрес: 192.168.0.1 имя пользователя: user пароль: user Текущая версия ПО: 3.14.5 В...»

«Ф Е Д Е Р А Л Ь Н О Е АГЕНТСТВО ПО Т Е Х Н И Ч Е С К О М У Р ЕГ УЛИР ОВА НИЮ И МЕТР ОЛ ОГИ И СВИДЕТЕЛЬСТВО об утверждении типа средств измерений GB.C.29.001.A № 45726 Срок действия до 06 марта 2017 г.НАИМЕНОВАНИЕ ТИПА СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ Устройства измерительные D 2401-2 ИЗГОТОВИТЕЛЬ Фирма...»

«[54] 6101-41-2_seq. Обл6101-28. № заказа Руководство по эксплуатации, техническому обслуживанию и установке 6101.00.0.000 РЭ СОДЕРЖАНИЕ Оснащенность моделей плит на обложке 1 Общие ука...»

«РУКОВОДСТВО ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ Optima 7103M TS7027AW Благодарим Вас за выбор продукции Digma! Перед началом использования данного устройства, пожалуйста, внимательно прочтите руководство для обеспечения правильной эксплуатации изделия и предотвращения его повреждени...»

«Разработка автоматизированного комплекса приёма, обработки и архивации данных геостационарных спутников в НИЦ "Планета" В.В. Асмус 1, М.А. Бурцев 2, А.А. Воронин 3, А.Е . Кузнецов 3, Е.А. Лупян 2, А.А. Мазуров2, О.Е. Милехин 1, А.А. Проши...»

«СТЕПАНЕНКО ЕЛЕНА ВЛАДИМИРОВНА УПРАВЛЕНИЕ СОЦИАЛЬНОЙ АДАПТАЦИЕЙ ИНОСТРАННЫХ СТУДЕНТОВ В POCCHflCKOM ТЕХНИЧЕСКОМ ВУЗЕ Специальность 22.00.08 социология управления АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата социологических наук Москва 2003 Работа выполнена на кафедре прик...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО" Кафедра математической экономики ПРИКЛАДНЫЕ КАЛЬКУЛЯЦИИ ДЛЯ...»







 
2019 www.librus.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - собрание публикаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.