WWW.LIBRUS.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - собрание публикаций
 

«Институт механики Национальной академии наук Армении Саакян Арег Аветикович Влияние граничных условий на изгиб и устойчивость прямоугольных пластин ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ...»

Институт механики

Национальной академии наук Армении

Саакян Арег Аветикович

Влияние граничных условий на изгиб и

устойчивость прямоугольных пластин

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

по специальности 01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела

Научный руководитель:

главный научный сотрудник, профессор

Белубекян Мэлс Вагаршакович

Ереван – 2018

СОДЕРЖАНИЕ Введение

Глава 1. Влияние граничных условий и наличия промежуточной опоры на прогиб и устойчивость стержня §1 .

1 Анализ прогиба балки под действием сосредоточенной силы при различных условиях на концах

§ 1.2 Устойчивость сжатого стержня при различных граничных условиях и наличии промежуточной опоры шарнирного типа

§ 1.3 Устойчивость сжатого стержня при различных граничных условиях и наличия промежуточной опоры типа жесткой муфты

Глава 2. Прогиб шарнирно опертой по двум сторонам прямоугольной пластинки под действием сосредоточенных нагрузок § 2 .

1 Анализ прогиба пластинки под действием распределенной по параллельному шарнирно опертым сторонам отрезку нормальной нагрузки при различных условиях на двух других сторонах

§ 2.2 Анализ прогиба пластинки под действием распределенной по перпендикулярному к шарнирно опертым сторонам отрезку нормальной нагрузки при различных условиях на двух других сторонах

§ 2.3 Прогиб пластинки под действием сосредоточенной силы

Глава 3. Локализованная неустойчивость свободного края шарнирно-опертой по двум сторонам прямоугольной пластинки § 3 .

1 О локализованной неустойчивости свободного края шарнирно опертой по трем сторонам прямоугольной пластинки

§ 3.2 О локализованной неустойчивости свободного края прямоугольной пластинки, шарнирно опертой по двум противоположным сторонам и жестко защемленной по третьей стороне

§ 3.3 О динамической неустойчивости прямоугольной пластинки с одним свободным краем

Заключение

Литература

  ВВЕДЕНИЕ Изучение условий устойчивости упругих систем, нагруженных как консервативными, так и неконсервативными силами, представляет значительный интерес для современного машиностроения, авиации и ракетной техники, объектов систем автоматического регулирования, а также для объектов гражданского строительства .

На современном этапе развития расчетных методов наиболее плодотворным аппаратом для решения неконсервативных задач теории упругой устойчивости является динамический метод, основанный на рассмотрении колебаний системы вблизи положения равновесия. Это сближает теорию упругой устойчивости с общей теорией устойчивости движения, а также с ее приложениями в других областях механики и техники .

Инженерная практика ставит все новые и новые задачи по созданию новых высокопрочных композиционных материалов, тонкостенные конструкции из которых будут отличаться высокой несущей способностью при малом весе, достигаемом, главным образом, за счет уменьшения толщины конструкции, что, в свою очередь, приводит к увеличению риска потери устойчивости .

В сложившейся ситуации вопросы исследования устойчивости различных тонкостенных конструкций приобретают особую важность. Это подтверждают многочисленные публикации в этой области .

Задача устойчивости центрально сжатого упругого стержня была сформулирована и решена еще в 18-ом веке Л .





Эйлером. Однако теория устойчивости Эйлера ввиду отсутствия практического применения долгое время оставалась в тени и только с введением стали, а позже и высокопрочных пластиков, в проектирование инженерных конструкций с гибкими элементами, вопросы устойчивости приобрели особую значимость и резко увеличилось число работ, посвященных этим вопросам. Особое внимание уделяется потере устойчивости от действия следящей силы. Из многих работ, опубликованных в последние   двадцать лет, можно отметить работы [34,42,47,74,85,87-89]. В работе [83], носящей обзорный характер указывается, что в последние десятилетия интерес к задаче Эйлера заново всплыл ввиду широкой ее распространенности как в инженерных конструкциях, так и в природе. Среди множества работ, в той или иной мере связанных с устойчивостью тонкого стержня, отметим, в частности, работы [55, 56] в области биомеханики, [91, 96] в микроэлектронике и [50,71,77] в инженерии .

Задачи оптимизации устойчивости сжатого упругого стержня по критерию минимального веса исследованы достаточно полно [12]. Из работ, относящихся к задачам оптимизации на основе определения места расположения опоры можно указать работы [26-28]. В работе [75] решена задача устойчивости закрепленного по концам двухкомпонентного составного стержня под действием осевой сосредоточенной силы, приложенной в точке раздела материалов, и выявлена зависимость величины критической силы от отношения изгибных жесткостей составных частей стержня .

Немалое число работ опубликовано и по исследованию изгиба прямоугольных пластин, среди них отметим [54,61,63,65,66,68,69,72,82,86,90-93]. Более пристальное внимание уделялось и продолжает уделяться вопросам устойчивости прямоугольных пластин [30,33,46,48,51-53,57-60,62,64,67,70,76,78-81,95] .

Из исследований, относящихся к явлениям, локализованным в окрестности края или линии раздела материалов, в частности изгибным колебаниям, отметим работы [2,22,29,38] .

Существенный вклад в развитие теории пластин и оболочек внесли представители армянской школы механики во главе с академиком С.А.Амбарцумяном. Работ армянских ученых в этой области очень и очень много, отметим лишь некоторые из них, отдавая предпочтение тем, которые в той или иной степени связаны с темой диссертации [1,3-9,11,20,25-27,31,36По аналогии с задачей распространения локализованной у свободного края прямоугольной пластины изгибной волны, решенной   Ю.К.Коненковым [33], была сформулирована задача о локализованной потере устойчивости [14]. В дальнейшем было опубликовано много работ, посвященных устойчивости тонкостенных конструкций как в плане локализованной потери устойчивости, так и глобальной ее потери. Отметим, в частности, работы [10,13,15-19,41,43,84,97-103] .

Настоящая диссертационная работа относится к исследованию тонкостенных элементов типа упругого стержня и тонкой прямоугольной пластинки в двух аспектах. С одной стороны исследуется зависимость максимального прогиба указанных элементов при действии на них сосредоточенных нагрузок от различных факторов: условий закрепления концов стержня и сторон пластинки, места приложения сосредоточенной нагрузки, соотношения сторон пластинки .

С другой стороны, изучаются вопросы устойчивости консольного стержня, сжатого осевой силой, при наличии промежуточной опоры в зависимости от условий закрепления конца (шарнирное опирание, жесткая заделка или скользящая заделка), характера приложенной силы (консервативная или следящая), типа промежуточной опоры (шарнир или скользящая муфта) и места ее установки, а также вопросы возможности локальной потери устойчивости свободно опертой по двум противоположным сторонам прямоугольной пластинки со свободной кромкой, на которую действует равномерно распределенная сжимающая нагрузка, в зависимости от характера приложенной нагрузки (консервативная или следящая), условий опирания четвертой стороны, отношения сторон пластинки и от коэффициента Пуассона материала пластинки .

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы .

Во введении дан краткий обзор работ, связанных с тематикой диссертационной работы. Кратко описано содержание работы, обоснована ее актуальность, представлены основные положения, выносящиеся на защиту .

В первой главе, состоящей из трех параграфов, исследуется изгиб балки под действием сосредоточенной силы, определены максимальные прогибы и   интервалы точек, в которых эти прогибы могут достигаться, в зависимости от точки приложения сосредоточенной силы при различных условиях опирания концов балки, а также исследуется устойчивость сжатого центральной осевой силой упругого стержня в условиях наличия промежуточной опоры типа шарнира или муфты при различных граничных условиях на конце стержня .

Проведен сравнительный анализ .

В первых двух параграфах второй главы исследуется прогиб шарнирно опертой по двум противоположным сторонам прямоугольной пластинки под действием нагрузки, сосредоточенной в одном направлении и синусоидально распределенной в другом направлении, при различных краевых условиях на двух других сторонах. Исследовано поведение максимального прогиба и координат точки, в которой этот прогиб достигается, в зависимости от места приложения нагрузки и отношения сторон прямоугольника. Рассмотрены предельные случаи, когда имеет место цилиндрический изгиб и становится возможным сопоставить полученные для пластинки результаты с результатами для балки, полученными в предыдущей главе. Проведен сравнительный анализ результатов, полученных при различных условиях на двух других сторонах. В третьем параграфе исследован изгиб пластинки под действием сосредоточенной силы. Для пластин с определенным отношением сторон проведен сравнительный анализ максимального прогиба и координат точки достижения этого максимума от одинаковой сосредоточенной силы, приложенной в определенной точке, рассчитанных при различных граничных условиях на противоположных сторонах пластинки .

В третьей главе, также состоящей из трех параграфов, исследуются вопросы устойчивости прямоугольной пластинки, две противоположные стороны которой шарнирно оперты, третья сторона либо шарнирно оперта, либо защемлена, а на четвертую, свободную в смысле опирания, сторону действует сжимающая нагрузка. В такой ситуации потеря устойчивости носит локальный характер, будучи сосредоточенной в окрестности свободного края. Рассмотрены случаи как консервативной, так и следящей сжимающей нагрузки .

Показано, что в статической постановке задачи устойчивости пластинки определить критическую следящую нагрузку, приводящую к потере устойчивости невозможно. В связи с этим в третьем параграфе этой главы проводится исследование потери устойчивости в динамической постановке .

Проведен подробный численный анализ. В первых двух параграфах построены кривые зависимости приведенной критической консервативной нагрузки, приводящей к локальной потере устойчивости, от отношения сторон пластинки для различных значений коэффициента Пуассона материала пластинки. Найдены те значения отношения сторон пластинки, при которых пластинка максимально устойчива, построены формы потери устойчивости. В третьем параграфе показано, что потеря устойчивости при действии следящей нагрузки не может носить локальный характер и, как следует из построенных кривых зависимости приведенной критической следящей нагрузки от отношения сторон пластинки, возможна только при относительно небольшей разнице между сторонами пластинки .

В заключении подытожены результаты, полученные в диссертации .

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях [97Они докладывались и обсуждались на семинарах «Волновые процессы» и отдела «Динамика деформируемых сред и связанные поля» Института механики НАН РА, а также на международной школе-конференции молодых ученых «Механика 2016», 3-7 октября 2016, Цахкадзор, Армения и на V международной конференции “Актуальные проблемы механики сплошной среды», 3-7 октября 2017, Цахкадзор, Армения .

В окончательном виде диссертационная работа была доложена на общем семинаре Института механики НАН Республики Армения .

Пользуясь случаем выражаю благодарность моему научному руководителю профессору Мелсу Вагаршаковичу Белубекяну за постановку задач и помощь при их решении, за внимательность и чуткое отношение .

 

ГЛАВА 1. ВЛИЯНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ И НАЛИЧИЯ

ПРОМЕЖУТОЧНОЙ ОПОРЫ НА ПРОГИБ И УСТОЙЧИВОСТЬ

СТЕРЖНЯ .

В настоящей главе исследуется изгиб балки под действием сосредоточенной силы, определены максимальные прогибы и интервалы точек, в которых эти прогибы могут достигаться, в зависимости от точки приложения сосредоточенной силы, а также исследуется устойчивость сжатого центральной осевой силой упругого стержня в условиях наличия промежуточной опоры типа шарнира или муфты при различных граничных условиях на концах балки и стержня .

Проведен сравнительный анализ .

§ 1.1 Анализ прогиба балки под действием сосредоточенной силы при различных условиях на концах .

Постановка задачи и ее решение. В рамках теории Эйлера - Бернулли рассмотрим уравнение изгиба балки

–  –  –

J x - момент инерции поперечного сечения. Заметим, что уравнением (1.1.1) описывается также цилиндрический изгиб бесконечной пластинки, тогда D = 2 Eh3 3(1 2 ), 2h - толщина пластинки, - коэффициент Пуассона .

Уравнение (1.1.1) будем рассматривать именно в таком контексте, чтобы иметь возможность проведения сравнительного анализа с результатами для прямоугольных пластин, которые будут получены ниже .

Целью исследования является определение интервала точек, в которых балка, при различных условиях опирания на концах, может иметь максимальный прогиб. Поставленный вопрос будет правомочен, если каждый из концов балки либо шарнирно оперт, либо жестко защемлен .

  Путем последовательного интегрирования уравнения (1.1.1) нетрудно получить общее представление прогиба w ( x ). Оно имеет вид:

–  –  –

Случай а). Отметим, что полученные для этого случая результаты имеются и в работе [45], однако, для сохранения цельности изложения, приведем их заново .

Имеем граничные условия

–  –  –

значению xmax = l 3. Такое же значение для точки максимального прогиба было получено при приложении на конце балке момента [21], который является предельным случаем рассматриваемой здесь задачи, когда l при условии постоянства произведения q0 ( )( l ) .

Таким образом, где бы не была приложена сосредоточенная сила, максимальный прогиб балки имеет место в средней части балки, занимающей интервал

–  –  –

  Естественно ожидать, что и при любой распределенной, очевидно знакопостоянной, нагрузке, точка максимального прогиба балки будет находиться в этом же интервале .

На Рис.1.1.2 схематически приведены формы балки под действием указанных на рисунке сосредоточенных сил, приложенных в точках / l = 0.5;0.6;0.7;

0.8;0.9;0.95. Величины сосредоточенных сил выбраны так, чтобы во всех случаях максимальный прогиб был бы одинаковым. Из рисунка видно, что для сил, приложенных близко к концу, формы искривленной балки практически не отличаются друг от друга .

–  –  –

На Рис.1.1.3 схематически приведены формы балки под действием указанных на рисунке сосредоточенных сил, приложенных в точках / l = 0.1;0.2;0.3;

0.4;0.5; ( 2 2 ) ;0.7;0.8;0.9;0.95. Величины сосредоточенных сил, как и выше, выбраны так, чтобы во всех случаях максимальный прогиб был бы одинаковым .

Случай в). Граничные условия будут:

–  –  –

В частности, если сила приложена в золотом сечении, т.е. p = 0.6180..., то a = 0.5172.... Отметим также другой интересный случай, когда сумма дополнительно приложенных сил равна величине заданной силы P. Это имеет место только при p = 0.6087... и a = 0.5 .

На Рис. 1.1.5 представлены изогнутые оси балки под действием силы P, приложенной в точке = 0.8l ( p = 0.8 ), (пунктир) и под действием системы сил Pk = a k 1 P ( a = 0.7891.., k = 1, 2,..) (сплошная линия) .

  2 .

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 2 .

4 .

6 .

–  –  –

Наибольший прогиб под действием системы сил балка приобретает точно в средней точке, однако изогнутая ось не становится идеально симметричной относительно середины балки. При этом отклонение от симметрии является наибольшим у концов балки и в данном случае достигает всего 0.67%. Следует заметить, что величина отклонения от симметрии существенно зависит от точки приложения силы P, т.е. от точки = pl, и принимает максимальное значение около 3.5% при значении p около 0.57. При p 1 изогнутая ось балки становится симметричной, поскольку и a 1, т.е. бесконечная система сил стремится к равномерно распределенной нагрузке .

Аналогичный анализ для закрепленной по обоим концам балки показал, что при наибольшем прогибе в середине балки отклонение от симметрии в этом случае намного больше и достигает почти 20%, причем опять при значении p около 0.57 .

Отметим, что прогиб балки под действием бесконечной системы сил изменяется в пределах, соответствующих прогибу от сосредоточенной силы P, приложенной в середине балки, и прогибу от равномерно распределенной нагрузки интенсивности P .

  Сравнение полученных для шарнирно-опертой и жестко закрепленной балок результатов показало, что при действии одной и той же силы наибольший прогиб в первом случае в четыре раза превышает прогиб во втором случае. Но несмотря на это, область, в которой этот прогиб возможен, чуть более чем в два раза меньше и занимает около 15.5% длины балки. Знание этой области может помочь в вопросе эффективного подпирания балки при действии на нее нагрузки, имеющей сильно выраженную несимметричность относительно середины балки .

  § 1.2 Устойчивость сжатого стержня при различных граничных условиях и наличии промежуточной опоры шарнирного типа

–  –  –

  упругости материала стержня, J - момент инерции поперечного сечения относительно оси Ox .

Общее решение уравнения (1.2.1), очевидно, имеет вид

–  –  –

Численный анализ. Учитывая обозначение в (1.2.1), численный анализ и выводы будут делаться относительно параметра, используя при этом выражение «критическая нагрузка» .

Рассмотрим крайние положения опоры. Пусть опора вплотную подходит к

–  –  –

4sin l +8 cos l + 4sin l cos l = 0 и, очевидным образом, перейдет в уравнение (1.2.22) .

Уравнение (1.2.19), полученное для случая скользящей заделки, также переходит в уравнение (1.2.22), решением которого является (1.2.21) .

Для следящей нагрузки уравнения (1.2.11), (1.2.15) и (1.2.20) решений не имеют, т.е. под действием следящей силы стержень устойчивость не теряет .

Пусть теперь опора вплотную подходит к свободному концу стержня ( 1). Очевидно, что в этом случае понятия консервативной силы и следящей силы совпадают и задача сводится к задаче об устойчивости стержня, один конец которого шарнирно оперт, а на другом конце заданы различные условия закрепления .

  Непосредственной подстановкой = 1 в соответствующие уравнения, находим, что уравнения (1.2.10) и (1.2.11) переходят в уравнение sin l = 0, 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Рис. 1.2.2 Кривые зависимости критической нагрузки от местоположения опоры при разных условиях закрепления конца стержня

–  –  –

сжатие. Следовательно, при действии следящей нагрузки наличие опоры начинает сказываться на величине критической силы только лишь с некоторого расстояния от закрепленного конца .

Таким образом, исследование влияния промежуточной точечной опоры шарнирного типа на величину критического усилия, вызывающего потерю устойчивости центрально сжатого упругого стержня, при различных условиях закрепления одного его конца, показало, что при расположении опоры близко к свободному концу стержня даже при следящей нагрузке возможна потеря устойчивости, причем величина критической следящей нагрузки всегда превосходит критическую консервативную нагрузку. Показано также, что при любом местоположении опоры критическая консервативная нагрузка для стержня с защемленным концом превосходит подобное значение для стержня с шарнирно закрепленным концом, а последнее превосходит значение для стержня со скользяще заделанным концом .

§ 1.3 Устойчивость сжатого стержня при различных граничных условиях и наличии промежуточной опоры типа жесткой муфты Постановка задачи. Пусть стержень постоянного поперечного сечения, закрепленный на одном конце, сжимается центральной силой P. Предполагается возможность установки точечной опоры типа жесткой муфты, ограничивающей поперечное смещение и поворот стержня в этой точке (Рис. 1.3.1) .

  При заданной длине стержня l требуется определить местоположение опоры, т.е. найти множитель 0 1, при котором критическая нагрузка, приводящая к потере устойчивости, будет наибольшей .

–  –  –

Уравнение устойчивости для каждой из частей стержня, как и в предыдущем параграфе, имеет вид (1.2.1), а общее решение этого уравнения дается формулой (1.2.2)

–  –  –

2 ( C2 sin l + D2 cos l ) = 0 для существования нетривиального решения которой необходимо обеспечить равенство нулю детерминанта матрицы. Это условие и приводит к уравнению для определения критической силы

–  –  –

2 = 0. (1.3.11) Учитывая то обстоятельство, что для левой части стержня нет понятия «консервативная» или «следящая» сила, а также уравнение (1.3.11) для правой   части, можно сделать вывод, что в случае следящей нагрузки стержень не теряет устойчивость независимо от месторасположения опоры типа муфты .

Перейдем к рассмотрению вопроса устойчивости левой части стержня при различных видах закрепления левого конца стержня .

–  –  –

критической силы. При установке же опоры в точке 2 3 l при скользящей заделке конца приводит к трехкратному увеличению значения критической силы .

 

ГЛАВА 2 ПРОГИБ ШАРНИРНО ОПЕРТОЙ ПО ДВУМ СТОРОНАМ

ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ НАГРУЗОК

В настоящей главе исследуется прогиб шарнирно опертой по двум противоположным сторонам прямоугольной пластинки под действием нагрузки, сосредоточенной в одном направлении и синусоидально распределенной в другом направлении, при различных краевых условиях на двух других сторонах. Исследовано поведение максимального прогиба и координат точки, в которой этот прогиб достигается, в зависимости от места приложения нагрузки и отношения сторон прямоугольника. Рассмотрены предельные случаи, когда имеет место цилиндрический изгиб и становится возможным сопоставить полученные для пластинки результаты с результатами для балки, полученными в предыдущей главе. Проведен сравнительный анализ результатов, полученных при различных условиях на двух других сторонах .

§ 2.1 Анализ прогиба пластинки под действием распределенной по параллельному шарнирно опертым сторонам отрезку нормальной нагрузки при различных условиях на двух других сторонах .

–  –  –

  Как нетрудно заметить из рис.2.1.2 значение максимального прогиба пластинки Wmax ( a* 2, max ), как и координата max точки, в которой он достигается, существенно зависят от соотношения сторон пластинки a* .

На рис. 2.1.3 представлены графики зависимости значения максимального прогиба пластинки от соотношения сторон пластинки a* при различных значениях параметра c, указывающего на место приложения внешней нагрузки .

–  –  –

Рис. 2.1.3 Зависимость максимального прогиба от a* при разных c На рис. 2.1.4 представлены графики зависимости координаты точки максимального прогиба пластинки от соотношения сторон пластинки a* .

–  –  –

Очевидно, что при увеличении соотношения a* все представленные на графиках величины, в пределе при a*, должны стремиться к значениям, принимаемым при цилиндрическом изгибе пластинки, то есть балки. Сравнив полученные значения с соответствующими значениями, полученными в главе 1 для шарнирно опертой по концам балки, нетрудно убедиться, что это действительно имеет место .

Как замечаем из рис.2.1.3 и рис.2.1.4 выход на предельные значения намного быстрее происходит у координаты max, чем у максимального прогиба

–  –  –

На рис. 2.1.6 показаны точки, в которых достигается максимальный прогиб .

В каждой группе точек, соответствующих пластинке определенных размеров, имеется 17 точек, которые соответствуют значениям c от 0.1 до 0.9 с шагом 0.05 .

–  –  –

  Величина максимального прогиба в этом случае меньше, чем в предыдущем случае, а разница тем больше, чем меньше значение a*, и стремится к нулю при

–  –  –

a*, когда c = 0.9, только лишь количественно отличаются от графиков на рис.2.1.2. Для иллюстрации этой разницы, которая существенна только при малых значениях a*, на рис.2.1.7 сплошными линиями показаны прогибы в рассматриваемом случае, а пунктирными линиями – соответствующие прогибы в первом случае .

–  –  –

Графики подтверждают тот очевидный факт, что защемленная по двум кромкам пластинка прогибается меньше, чем свободно опертая. При этом на максимальном прогибе, имеющем место на линии a* 2, это сказывается больше при малых значениях a*, а при больших a* максимальные прогибы для обоих случаев стремятся к одному и тому же значению, соответствующему цилиндрическому прогибу шарнирно-опертой бесконечной пластинки .

На рис. 2.1.8 и 2.1.9 сплошными линиями представлены графики, подобные графикам рис. 2.1.3 и рис. 2.1.4. Для наглядной иллюстрации разницы между указанными графиками пунктирными линиями приведены также графики рис .

2.1.3 и рис. 2.1.4 .

–  –  –

§ 2.2 Анализ прогиба пластинки под действием распределенной по перпендикулярному к шарнирно опертым сторонам отрезку нормальной нагрузки при различных условиях на двух других сторонах .

Рассмотрим ту же пластинку, что и в предыдущем параграфе, но при условии, что внешняя нормальная нагрузка распределена синусоидально по

–  –  –

то есть, имеем нагрузку, синусоидально распределенную по отрезку, параллельному оси y. Выбор синусоидального распределения обусловлен лишь стремлением упрощения выкладок .

Действительно, в этом случае в общем представлении для Q (, ) Q (, ) = qn ( ) sin n n =1

–  –  –

  Нетрудно заметить, что по оси прогиб симметричен и наибольший прогиб будет при = 1 2 .

На рис. 2.2.2 представлены прогибы W (,1 2 ) при q0 = 1 в зависимости от относительной ширины пластинки a*, когда d = 0.7 a*. Для возможности совместного представления графиков и проведения сравнительного анализа по оси абсцисс отложена приведенная длина пластинки .

–  –  –

Графики рис.2.2.2. показывают, что при малых значениях a* пластинка прогибается по всей длине и принимает максимальное значение не под приложенной нагрузкой, а ближе к центру. При больших же значениях a* прогиб пластинки локализуется в окрестности линии действия внешней нагрузки .

На рис. 2.2.3 представлены графики зависимости значения максимального прогиба пластинки от соотношения сторон пластинки a*. Полагается, что при изменении a* относительное положение линии приложения внешней нагрузки сохраняется, то есть имеем d = d 0 a*. Приведенные графики соответствуют различным значениям параметра d 0 .

–  –  –

Рис. 2.2.4 Зависимость координаты max от a* при разных d 0   При увеличении соотношения a* поставленная задача приближается к задаче изгиба шарнирно-опертой по сторонам бесконечной пластины под действием нормальной нагрузки, распределенной по поперечному сечению .

Очевидно, что прогиб пластинки будет локализованным в окрестности линии действия нагрузки, а максимальный прогиб будет иметь место под нагрузкой .

Это подтверждается графиками рис.2.2.2. Графики рис.2.2.3 и рис.2.2.4 показывают скорость выхода соответствующих величин на предельные значения .

Замечаем, что при больших значениях d 0 этот выход происходит при больших a*. Это объясняется тем, что при больших значениях d 0 имеем относительную близость линии приложения внешней нагрузки к кромке = a* и только лишь при больших a* эта относительная близость в абсолютном смысле становится удаленной и влияние кромки на прогиб пластинки уменьшается .

2. На обоих сторонах заданы условия жесткого защемления. Тогда на

–  –  –

когда d = 0.7, только количественно отличаются от графиков на рис.2.2.2. Для иллюстрации этой разницы, которая существенна только при малых значениях a*, на рис.2.2.5 сплошными линиями показаны прогибы в рассматриваемом случае, а пунктирными линиями – соответствующие прогибы в первом случае .

Из рисунка замечаем, что при значениях a* 5 графики практически сливаются. Этого следовало ожидать, так как при больших a* прогиб пластинки носит локальный характер .

–  –  –

Как и в предыдущем параграфе, графики подтверждают тот очевидный факт, что защемленная по двум кромкам пластинка прогибается меньше, чем свободно опертая. При этом разница больше проявляется при малых значениях a*, а при больших a* максимальные прогибы для обоих случаев стремятся к   одному и тому же значению, соответствующему локальному прогибу шарнирно-опертой по краям бесконечной пластинки под действием синусоидально распределенной по поперечному сечению нормальной нагрузки .

–  –  –

значения отношения сторон пластинки a* = 4 граничные условия на коротких сторонах пластинки практически не влияют ни на максимальный прогиб, ни на место его достижения. Очевидно, что с увеличением d 0 соответствующее значение a* возрастает, причем для достижения одинакового прогиба намного больше (рис. 2.2.6), чем для совпадения точек максимального прогиба (рис .

2.2.7). При меньших же значениях a* влияние граничных условий достаточно существенно .

§ 2.3 Анализ прогиба пластинки под действием сосредоточенной нормальной силы при различных условиях на двух других сторонах .

Рассмотрим ту же пластинку, что и в предыдущих параграфах, но при условии, что внешней нагрузкой является, приложенная в точке

–  –  –

1. На обоих сторонах заданы условия шарнирного опирания .

Не повторяя выкладки по определению постоянных интегрирования из граничных условий, сразу выпишем выражение для wn ( )

–  –  –

больше a*, тем оно меньше .

На рис.2.3.2 представлены пространственные картинки формы прогиба прямоугольной пластинки с отношением сторон a* = 0.5 при действии

–  –  –

(2.3.10) и (2.3.11) .

На рис.2.3.3, подобно рис.2.3.2, представлены пространственные картинки формы прогиба такой же прямоугольной пластинки, что и выше, но с одной защемленной стороной. Для возможности проведения сравнения полагается, что и сосредоточенная сила действует в той же точке d = 0.25a*, c = 0.7 .

–  –  –

(2.3.16) .

На рис.2.3.4, как и выше, представлены пространственные картинки формы прогиба такой же прямоугольной пластинки, что и выше, но с двумя защемленными сторонами. Для возможности проведения сравнения опять полагается, что и сосредоточенная сила действует в той же точке d = 0.25a*, c = 0.7 .

Максимальный прогиб достигается в точке xmax = 0.166, ymax = 0.6995 и

–  –  –

Исходя из данных таблицы 2.3.1 и учитывая близость точки приложения сосредоточенной силы к стороне = 0, можно утверждать, что защемление стороны приводит к более, чем двухкратному, уменьшению прогиба. По расположению точки достижения максимального прогиба можно заметить, что   по оси, она располагается относительно далеко от точки приложения силы, причем больше при защемленной стороне = 0. По оси же она очень близка к точке приложения силы. Это объясняется тем, что при принятом значении a* = 0.5 пластинка удлинена в направлении оси .

 

ГЛАВА 3 ЛОКАЛИЗОВАННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СВОБОДНОГО

КРАЯ ШАРНИРНО-ОПЕРТОЙ ПО ДВУМ СТОРОНАМ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ

В настоящей главе исследуются вопросы устойчивости прямоугольной пластинки, две противоположные стороны которой шарнирно оперты, третья сторона либо шарнирно оперта, либо защемлена, а на четвертую, свободную в смысле опирания, сторону действует сжимающая нагрузка. В такой ситуации потеря устойчивости носит локальный характер, будучи сосредоточенной в окрестности свободного края. Рассмотрены случаи как консервативной, так и следящей сжимающей нагрузки. Показано, что в статической постановке задачи устойчивости пластинки определить критическую следящую нагрузку, приводящую к потере устойчивости невозможно. В связи с этим в третьем параграфе этой главы проводится исследование потери устойчивости в динамической постановке § 3.1 О локализованной неустойчивости свободного края шарнирно опертой по трем сторонам прямоугольной пластинки

–  –  –

= {0 x a, 0 y b, h z h, h min ( a, b )} и шарнирно опертую по сторонам y = 0, y = b и x = a. На стороне x = 0 действует равномерно распределенная сжимающая нагрузка (Рис. 3.1.1) Уравнение устойчивости пластинки имеет вид [24]

–  –  –

поскольку указанные граничные условия будут выполняться тождественно .

Подстановка (3.1.8) в уравнение (3.1.1) приводит к решению последовательности обыкновенных дифференциальных уравнений

–  –  –

Из условия равенства нулю детерминанта матрицы системы (3.1.21), необходимого для существования нетривиального решения, т.е. ненулевых значений постоянных Bn и Cn, получим уравнение для определения параметра n, характеризующего критическую нагрузку,

–  –  –

Отметим, что рассматриваемая задача была доложена на международной школе-конференции «Механика-2016», 3-7 октября 2016 и включена в сборник ее трудов [98]. Позже в работе [98] была замечена неточность, допущенная при выводе дисперсионного уравнения и повлекшая к ошибочному заключению. В работе [98] последнее уравнение было получено со знаком минус между слагаемыми .

Если полученное уравнение имеет решение, удовлетворяющее условию

0 2n 2, (3.1.24)

s1 из (3.1.15) будет вещественным числом и, следовательно, уравнение то (3.1.9) будет иметь решение, затухающее от свободного края по координате x .

Такие решения принято считать локализованными в окрестности свободного края .

Рассмотрим предельные случаи, когда a b и когда a b 0 .

В первом случае из уравнения (3.1.23) непосредственно замечаем, что первое слагаемое, содержащее гиперболический синус, будет стремиться к бесконечности, и, поэтому, его коэффициент должен быть равен нулю

–  –  –

и ни при каком значении коэффициента Пуассона не имеет решения, удовлетворяющего условию (3.1.24) .

Заметим, что последнее утверждение очевидно при общепринятом предположении, что коэффициент Пуассона изменяется в пределах [ 0, 0.5] .

Но, согласно известному соотношению теории упругости изотропных тел [35] 3K 2 = 6 K + 2 где K, – модули объемной деформации и сдвига, положительные для стабильных материалов, существование материалов с отрицательным коэффициентом Пуассона теоретически не исключено. В обзорной статье [32] достаточно широко представлены работы в этой области. В частности, отмечено, что в 1987 году К.Войцеховски [94] предложил первую двумерную модель термодинамически стабильной изотропной системы с 0, а также,   что в том же году Р.Лэйксом были опубликованы результаты испытаний синтезированного пенополиэфира с = 0.7 [73] .

Исходя из вышесказанного, уравнение (3.1.27) было исследовано на наличие корня n, удовлетворяющего условию (3.1.24), и для отрицательных коэффициентов Пуассона. И в этом случае, такого корня не оказалось .

Во втором случае ( a b 0 ) непосредственной подстановкой убеждаемся, что оба слагаемых уравнения (3.1.23) обращаются в ноль. Поэтому, заменив синусы первыми членами их разложения в ряд в окрестности нуля, получаем

–  –  –

и, очевидно, при любом значении коэффициента Пуассона имеет решение, удовлетворяющее условию (3.1.24), а в случае следящей нагрузки

–  –  –

В итоге можно сделать вывод, что в случае, когда противоположная свободному краю сторона пластины шарнирно-оперта, при действии на свободный край консервативной нагрузки локализованная неустойчивость всегда, т.е. независимо от отношения a b, имеет место и критическая нагрузка определяется из уравнения, получаемого из (3.1.23) подстановкой ( = 0 ), а при действии следящей нагрузки возможность возникновения локализованной неустойчивости отсутствует .

  Численный анализ. Поскольку локализованная неустойчивость возможна только при консервативной нагрузке, то выпишем уравнение (3.1.23) для этого случая в виде:

–  –  –

В общем случае, при заданном значении a* для каждого n существует свой корень уравнения (3.1.30) n. Численный анализ этих корней, с учетом связи внешней нагрузки с корнями n, определяемую не самим корнем, а произведением n n, показал, что при любом значении a* наименьшая критическая нагрузка, приводящая к потере устойчивости по первой форме,

–  –  –

= 0.1 1.2 = 0.2 = 0.3 1.1 = 0.4 1.0 = 0.5 0.9 0.8 0.7

–  –  –

  На графиках рис. 3.1.2 замечаем горбинки, указывающие на то, что при определенной геометрии пластинка максимально устойчива. При этом более выраженные при малых значениях коэффициента Пуассона .

В таблице 3.1.1 для разных значений этого коэффициента приведены значения параметров a* и 1, а также процентное превышение 1 по отношению к, соответствующего предельному значению при a* и определяемому формулой (1 )( 3 + ) = (3.1.31)

–  –  –

Рис. 3.1.5 Первая форма ( a* = 0.1) Рис. 3.1.6 Вторая форма ( a* = 0.1)   Если на рис. 3.1.5 и рис. 3.1.6 трудно заметить локальный характер потери неустойчивости, то рис. 3.1.3 и рис. 3.1.4 это явно демонстрируют уже для квадратной пластинки .

Для выяснения влияния коэффициента Пуассона на прогиб пластинки, на рис. 3.1.7 показано сечение y = 0.5b квадратной a* = 1 пластинки, потерявшей устойчивость по первой форме, а на рис. 3.1.8 – сечение y = 0.75b той же пластинки при потере устойчивости по второй форме для разных значений коэффициента Пуассона = 0.1;0.3;0.5 .

= 0.3 = 0.1 1.0 0.2 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 = 0.5 0.6 -0.2 = 0.5 -0.4 0.4

-0.6 0.2 = 0.3 -0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 = 0.1 -1.0

-0.2

–  –  –

Из рисунков непосредственно видно, что прогиб у пластинок с меньшим коэффициентом Пуассона больше. Кроме того замечаем, что у первой формы зона явно выраженного искажения первоначально плоской формы пластинки у свободного ее края шире, чем у второй формы. Численные расчеты для больших значений a* подтверждают тот факт, что чем больше номер формы, тем она более локализована. На степень локализации определенную роль оказывает и коэффициент Пуассона, но это влияние не настолько существенно .

  § 3.2 О локализованной неустойчивости свободного края прямоугольной пластинки, шарнирно опертой по двум противоположным сторонам и жестко защемленной по третьей стороне .

–  –  –

= {0 x a, 0 y b, h z h, h min ( a, b )} и шарнирно опертую по сторонам y = 0 и y = b, и жестко защемленную по стороне x = a. На стороне x = 0 действует равномерно распределенная сжимающая нагрузка (Рис. 3.1.2) Уравнение устойчивости пластинки имеет вид [24] (3.1.1). Все обозначения сохраняются .

–  –  –

  нулю изгибающего момента (3.1.4) и перерезывающей силы (3.1.7), которое записано в общем, для консервативной и следящей нагрузок, виде .

Таким образом, необходимо решить уравнение (3.1.1) при граничных условиях (3.1.2), (3.2.1), (3.1.4) и (3.1.7) .

Как и выше, решение уравнения (3.1.1) представляется в виде разложения (3.1.8) w ( x, y ) = f n ( x ) sin n y, n = n / b n =1 Тогда граничные условия (3.1.2) будут выполняться тождественно .

Далее процедуру решения описывать не будем, потому что вплоть до формул (3.1.20) пришлось бы повторить .

Удовлетворяя условиям жесткого защемления стороны x = a (3.2.1), которыми и отличается рассматриваемая задача от предыдущей, получим следующую однородную систему линейных алгебраических уравнений

–  –  –

образом указывает на то, что появление локализованной неустойчивости, т.е .

существование решения задачи, удовлетворяющего условию (3.1.24), существенно зависит от отношения сторон пластинки a* = a / b. Перейдем к определению этого отношения .

В случае консервативной нагрузки уравнение (3.2.3) имеет вид

–  –  –

уравнения (3.2.5). Для исключения их из рассмотрения в уравнении (3.2.5) заменим соответствующую тригонометрическую функцию двумя членами их разложения в ряд в окрестности нуля .

–  –  –

Это уравнение позволяет найти минимальное значение a*, после которого уравнение (3.2.3) будет иметь корень n, удовлетворяющий условию (3.1.24), что означает потерю устойчивости в окрестности свободного края. Очевидно, что для определенного значения коэффициента Пуассона мы будем иметь решение na* = const, то есть для каждого n, представляющего определенную форму потери устойчивости, мы будем иметь свое значение a*. При этом чем меньше a*, тем сложнее будет форма потери устойчивости, а это, в свою очередь, приводит к выходу за рамки применимости принятой изначально классической теории Кирхгоффа-Лява. Учитывая сказанное, ограничимся только первой формой потери устойчивости .

  В табл. 3.2.1 приводятся численные значения для a*, найденные из

–  –  –

Таким образом, выяснено, что при действии на свободный край равномерно распределенной следящей нагрузки, как и в предыдущем случае, пластинка не теряет устойчивость. При действии же на свободный край равномерно распределенной консервативной нагрузки, в отличие от случая шарнирно опертой противоположной стороны, локализованная неустойчивость имеет место только начиная с определенного значения отношения сторон пластинки a* = a / b, зависящего от величины коэффициента Пуассона материала пластины .

Численный анализ. Учитывая, что потеря устойчивости возможна лишь при консервативной нагрузке, выпишем уравнение (3.2.3), подставив в нем =0

–  –  –

1.3 =0 = 0.1 1.2 = 0.2 = 0.3 1.1

–  –  –

0.0 0.68 0.83 0.09 0.1 0.69 0.85 0.095 0.2 0.71 0.88 0.094 0.3 0.74 0.93 0.095 0.4 0.77 0.98 0.098 0.5 0.81 1.05 0.097   Из таблицы замечаем, что с увеличением коэффициента Пуассона ширина интервала возрастает от 0.15 до 0.24 .

И здесь построим формы потери устойчивости. Полагая, что n является корнем уравнения (3.2.10) и выбрав первое из уравнений (3.2.2), которое совпадает с первым уравнением (3.1.21), а также учитывая, что формулы (3.1.20) применимы и здесь, нетрудно проверить, что f n ( x ) и в этом случае имеет представление (3.1.32) .

На рис. 3.2.3 и рис.3.2.4 показаны формы потери устойчивости пластинки с коэффициентом Пуассона = 0.3 и отношением сторон a* = 0.31, очень близким, с учетом округления в таблице, к соответствующему критическому значению .

Рис. 3.2.3 Первая форма ( a* = 0.31) Рис. 3.2.4 Вторая форма ( a* = 0.31)

–  –  –

устойчивости, начинает проявляться локальный характер потери устойчивости и влияние условий опирания противоположной стороны практически не сказывается .

  § 3.3 О динамической неустойчивости прямоугольной пластинки с одним свободным краем .

В первых двух параграфах этой главы рассматривалась устойчивость пластинки в статической постановке и было показано, что в такой постановке при действии на свободный край равномерно распределенной следящей нагрузки ни в одном из рассмотренных случаев локализованная неустойчивость не возникает .

В настоящем параграфе рассматривается та же задача, но при предположении, что сжимающая нагрузка является следящей, и исследуется возможность появления динамической неустойчивости упругой прямоугольной пластинки в постановке В.В.Болотина [22] .

Пусть тонкая упругая пластинка в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz занимает область: 0 x a, 0 y b, h z h. Принимаем, что ее стороны y = 0 и y = b шарнирно оперты, сторона x = 0 свободна от опирания, а сторона x = a или шарнирно оперта, или жестко защемлена. Эти случаи будут рассмотрены ниже раздельно. Для рассмотрения задачи в динамической постановке необходимо иметь инерционные члены, в связи с чем полагаем, что на свободной стороне пластины имеется равномерно распределенная по ней масса с плотностью распределения m. Согласно [22] уравнение устойчивости пластинки имеет вид, схожий с уравнением (3.1.1) в статической постановке, но предполагающий зависимость прогиба w ( x, y, t )

–  –  –

Из условия равенства нулю детерминанта матрицы полученной системы, необходимого для существования нетривиального решения, т.е. ненулевых значений постоянных Bn и Cn, получим уравнение

–  –  –

обращении в ноль либо числителя, либо знаменателя выражения (3.3.10). При этом условие обращения в ноль числителя является уравнением для определения критической следящей нагрузки, приводящей к потере статической устойчивости, получаемым из уравнения (3.1.23) после подстановки = 4s2 .

Приравнивая числитель и знаменатель выражения (3.3.10) к нулю, для определения критической нагрузки, приводящей к потере устойчивости, получим совокупность уравнений

–  –  –

Уравнение (3.3.11), как было показано в первом параграфе этой главы, не имеет корней, удовлетворяющих условию n 2. Нетрудно проверить, что и уравнение (3.3.12) не имеет таких корней. Следовательно, локализованная неустойчивость не может иметь места .

При n 2 уравнения (3.3.11) и (3.3.12) примут вид

–  –  –

Очевидно, что наименьшую критическую нагрузку мы будем иметь при n = 1, но, в зависимости от a*, при различных значениях параметра k .

Графики зависимости от параметра a* для первых двух форм потери устойчивости представлены на рис. 3.3.1  

–  –  –

Интересно заметить, что при n = 1 значение a* является средним геометрическим двух последовательных натуральных чисел, а значение отношением их среднего арифметического к среднему геометрическому .

Защемленный край. В этом случае на крае x = a имеем условия (3.2.1), которые, с учетом разложения (3.1.8), сводятся к условиям

–  –  –

n = 2, который, как нетрудно проверить, приводит лишь к тривиальному, нулевому решению поставленной задачи. Второе из уравнений (3.3.20) не имеет   корней, удовлетворяющих условию n 2, полагая же n 2, оно переходит в уравнение, которое в выражении через введенный выше параметр имеет вид

–  –  –

Рис. 3.3.6. Зависимость критической следящей нагрузки от относительной длины пластинки: кривая 1 соответствует шарнирному опиранию, а кривая 2 – жесткому защемлению края x = a .

Как видно из графиков на рис.3.3.6 критическое значение сжимающей нагрузки при защемленной стороне, как и следовало ожидать, превосходит аналогичное значение при свободно опертой стороне, причем это превосходство наиболее существенно при малых значениях относительной длины. Особый интерес представляют значения относительной длины a*, равные среднему геометрическому двух последовательных натуральных чисел, когда независимо от условия закрепления четвертой стороны критические значения сжимающей нагрузки совпадают .

  Таким образом, показано, что в динамической постановке задачи при действии на свободный край равномерно распределенной сжимающей следящей нагрузки в обоих случаях происходит потеря устойчивости, при этом критическое значение сжимающей нагрузки во втором случае превосходит соответствующее значение для первого случая и только при определенных значениях относительной длины эти значения совпадают. Минимальные значения относительной длины пластинки, начиная с которых может наступить потеря устойчивости, определяются условиями прочности материала пластинки .

  ЗАКЛЮЧЕНИЕ Диссертационная работа относится к исследованию тонкостенных элементов типа упругого стержня и тонкой прямоугольной пластинки в плане прогиба от сосредоточенных нагрузок и устойчивости от сжимающей нагрузки .

В работе получены следующие результаты:

• построена система сосредоточенных сил меньшей интенсивности, которая вместе с сосредоточенной силой, приложенной вне центра балки и вызывающей асимметрию при ее изгибе, максимально приближает изогнутую ось балки к симметричной кривой;

• исследовано влияние промежуточной точечной опоры шарнирного или скользящего типа на величину критического усилия, вызывающего потерю устойчивости центрально сжатого упругого стержня, при различных условиях закрепления одного его конца. Показано, что при установке, вместо опоры шарнирного типа опоры типа муфты в точке 0.74l, в случае шарнирно закрепленного конца, и в точке 0.8l, в случае жесткого его ( 2.12 ) защемления, приводит к более чем двукратному увеличению значения критической силы;

• найдена зависимость максимального прогиба и точки его достижения шарнирно опертой по двум противоположным сторонам прямоугольной пластины при действии на нее распределенной по линии, параллельной или перпендикулярной к шарнирно опертым сторонам, нагрузки от отношения сторон прямоугольника и координаты линии приложения нагрузки .

Сравнение результатов, полученных при различных граничных условиях на двух других сторонах, показало, что влияние этих условий существенно лишь когда длина этих сторон больше четверти длины шарнирно опертых сторон. Рассмотрен также случай действия сосредоточенной силы;

• построены графики зависимости критической консервативной нагрузки, вызывающей локализованную потерю устойчивости шарнирно опертой по трем сторонам прямоугольной пластинки, от отношения сторон пластинки при различных значениях коэффициента Пуассона ее материала;

 

• найден интервал изменения, в зависимости от коэффициента Пуассона, отношения сторон шарнирно опертой по трем сторонам прямоугольной пластинки, обеспечивающего ее максимальную устойчивость при действии на свободную сторону сжимающей консервативной нагрузки;

• для прямоугольной пластинки, шарнирно опертой по двум сторонам и жестко защемленной по третьей, противостоящей к свободной, стороне, найдено минимальное значение отношения сторон пластинки, после которого может иметь место локализованная потеря устойчивости от действия сжимающей консервативной нагрузки;

• показано, что с увеличением отношения сторон пластинки значение критической силы достаточно резко уменьшается, выходя на предельное значение для удлиненных пластинок, но при этом имеется интервал, на котором изменение значения критической силы не превосходит десятой доли процента. С изменением коэффициента Пуассона от 0 до 0.5 ширина этого интервала возрастает от 0.15 до 0.24 .

• показано, что в динамической постановке задачи при действии на свободный край равномерно распределенной сжимающей следящей нагрузки, в обоих случаях закрепления противостоящей стороны, происходит потеря устойчивости, но она не носит локальный характер .

  ЛИТЕРАТУРА

1. Агаловян Л.А. Асимптотическая теория анизотропных пластин и оболочек .

М.: Наука, Физматлит. 1997 – 414 с .

2. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.:

Машиностроение, 1991, 336 с .

3. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин.-М.: Наука, 1987.-360 с .

4. Амбарцумян С.А., Белубекян М.В. К вопросу об изгибных волнах, локализованных вдоль кромки пластинки. //Прикладная механика, 1994, т. 30, №2, сс. 61-68

5. Амбарцумян С.А., Гнуни В.Ц. О вынужденных колебаниях и динамической устойчивости трехслойных ортотропных пластинок. Изв. АН СССР., Мех. и Машиностр.-1961-N3, сс.117-123

6. Амбарцумян С.А., Хачатрян А.А. Об устойчивости и колебаниях анизотропных пластинок. Изв. АН АрмССР., Механика,-1959,т. 29, №4, сс. 159-166 .

7. Багдасарян Г.Е. Колебания и устойчивость магнитоупругих систем. Изд .

ЕГУ, Ереван 1999, 440с .

8. Багдасарян Г.Е., Белубекян М.В. Колебания и динамическая устойчивость цилиндрической оболочки в магнитном поле. Доклады АН АрмССР, 1972, т. 54 .

№4, сс. 210 – 216 .

9. Багдасарян Г.Е. Устойчивость магнитострикционных прямоугольных пластин. Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2006, вип. 3, сс. 9-19

10. Багдасарян З.Р. Изгиб прямоугольной пластинки равномерно распределенной нормальной нагрузкой. Ученые записки, Ереван, 2007, N3, с. 52-61 .

11. Багдасарян Р.А., Казарян К.Б. Изгибные поверхностные волны в ортотропной пластинке. Докл. АН Арм. ССР, 1986, т. 83, №2, с. 69 – 72 .

12. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М., Наука, 1980, 256с .

13. Белубекян В.М. К задаче устойчивости пластин с учётом поперечных сдвигов //Изв. РАН. МТТ. 2004. №2. С.126-131 .

14. Белубекян В.М. Локализованная неустойчивость равномерно сжатой пластинки. // Изв. НАН РА. Механика. Ереван, 2007. Т.60. №1, сс.33-37 .

15. Белубекян В.М., Белубекян М.В. Устойчивость прямоугольной пластинки при действии “следящей” нагрузки, приложенной на свободной кромке. // Изв .

НАН РА. Механика. Ереван, 2008. Т.61. №2, сс.23-32 .

 

16. Белубекян М.В. Задачи локализованной неустойчивости пластинки //В сб.:

«Вопросы оптимального управления, устойчивости и прочности механических систем». Ереван: Изд.ЕГУ, 1997.С.95-99 .

17. Белубекян М.В., Гараков В.Г. Задача С.А.Амбарцумяна о выборе места расположения опор балки. В сб. «Седьмая годичная научная конференция РАУ», Ереван, Изд-во РАУ, 2013, с. 19-22 .

18. Белубекян М.В., Казарян К.Б., Мартиросян С.Р. Модельные задачи учета трения для консольной балки со следящей нагрузкой. Доклады НАН Армении, 2007, т. 107, № 2, сс. 167-172

19. Белубекян М.В., Чил-Акопян Э.О. Задачи локализованной неустойчивости пластинки со свободным краем //Изв. НАН Армении. Механика. 2004. Т.57 .

№2. сс.34-39 .

20. Белубекян Э.В., Дарбинян А.З., Саакян А.А. Термоупругая задача изгиба слоистой композитной ребристой пластинки. Доклады НАН РА, 2017, т. 117, №1, сс. 44-51 .

21. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М.-Л., Гостехиздат, 1949, 772с .

22. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости М.:

"Гос. Изд-во физико-математической литературы", 1961 г., 340c .

23. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М, Наука, 1967, 984с .

24. Вильде М. В., Каплунов Ю. Д., Коссович Л. Ю. Краевые и интерфейсные резонансные явления в упругих телах. М., Физматлит, 2010. - 279 с .

25. Геворкян Г.З., Киракосян Р.М. К геометрически нелинейной уточненной теории ортотропных пластин переменной толщины. Изв. НАН Армении, Механика, 2007, т.60, N4, сс. 43-52 .

26. Гнуни В.Ц. Оптимальный выбор расположения опор в задачах изгиба, колебаний и устойчивости упругой балки //В сб. «Вопросы оптимального управления, устойчивости и прочности механических систем», Ереван, Изд .

ЕГУ, 1997, сс.115-120 .

27. Гнуни В.Ц. Устойчивость балки с двумя произвольно, но симметрично расположенными опорами при действии следящей нагрузки. // Изв. НАН РА .

Механика. Ереван, 2006. Т.59. №1, сс.25-30 .

28. Гнуни В.Ц., Элоян А.В. Оптимальный выбор расположения опор в задаче изгиба прямоугольной пластинки // Изв. НАН РА. Механика. Ереван, 2001 .

Т.54. №3, сс.14-17 .

29. Гулгазарян Г.Р., Гулгазарян Р.Г., Михасев Г.И. О свободных интерфейсных и краевых колебаниях тонких упругих полубесконечных круговых цилиндрических оболочек со свободным торцом// Механика машин и механизмов и материалов. 2016. N2 (35). С.34-46 .

30. Ишлинский А.Ю. Об одном предельном переходе в теории устойчивости упругих прямоугольных пластин//ДАН СССР. 1954. Т.XCV. №3. С.477-479 .

31. Киракосян Р.М. Прикладная теория ортотропных пластин переменной толщины, учитывающая влияние деформаций поперечных сдвигов. Изд .

“Гитутюн” НАН РА, Ереван 2000,-122 с .

32. Конёк Д.А., Войцеховски К.В., Плескачевский Ю.М., Шилько С.В .

Материалы с отрицательным коэффициентом Пуассона (обзор), Механика композитных материалов и конструкций, 2004, т.10, №1, сс. 35-69 .

33. Коненков Ю.К. Об изгибной волне релеевского типа //Акустич. журнал .

1960. Т.6. №1. сс.124-126 .

34. Лагозинский С.А., Соколов А.И. Устойчивость прямолинейных стержней, нагруженных следящими силами. //Сб. статей «Проблемы прикладной механики, динамики и прочности машин», Под редакцией В.А. Светлицкого, О.С. Нарайкина, М., Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2005, сс. 244-259 .

35. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости. М., Наука, 1965, 204 с .

36. Мартиросян С.Р. Об одной неконсервативной задаче устойчивости консольной балки. Изв. НАН РА. Механика, 2009, т. 62, № 2. сс. 10-13

37. Минасян М.М. Нелинейные волны и колебания в физически активных деформируемых средах. Ер., Изд-во ЕГУ, 2007, 256 с .

38. Михасев Г.И., Товстик П.Е. Локализованные колебания и волны в тонких оболочках. Асимптотические методы, М., Физматлит, 2009, 282 с .

39. Мовсисян Л.А. К устойчивости цилиндрических оболочек с наполнителем со смешанными граничными условиями. // Изв. НАН РА. Механика, 2016, т. 69, № 2. сс. 40-46

40. Мовсисян Л.А., Нерсисян Г.Г. К устойчивости консольного стержня при следящей нагрузке. // Изв. НАН РА. Механика, 2006, т. 59, № 1. сс. 31-36

41. Погосян Д.М. Неконсервативная задача устойчивости сжатой прямоугольной пластинки //Изв. НАН Армении. Механика. 2013. Т.66. №2. сс.40-48 .

42. Радин В.П., Чирков В.П., Щугорев А.В. Устойчивость стержня на упругом основании при непотенциальном нагружении. // Строительная механика и расчет сооружений. 2008, № 5, сс. 5-11 .

43. Самвелян Л.А. Волны локализованные вдоль кромки предварительно напряженной тонкой пластинки. // Изв. НАН РА. Механика. Ереван, 1996. Т.49 .

№4, сс.96-100 .

 

44. Саркисян С.О. Общая двумерная теория магнитоупругости тонких оболочек. Ереван, Изд. АН Армении, 1992, 235 с .

45. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. Т.1, М., Наука, 1965, 365с .

46. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек (Асимптотические методы) .

М.: Наука, 1995. 320 с .

47. Цатурян А.Е. Поперечные колебания вертикального стержня под воздействием следящей нагрузки. Изв. НАН РА. Механика, 2010, т. 64, № 2. сс. 78-81 .

48. Adali S. Stability of a Rectangular Plate under Nonconservative and Compressive forces. //Int.J.Solunds and ctruct. 1982, 18(12), p.1043-1052 .

49. Avetisyan A.S., Belubekyan M.V., Ghazaryan K.B. Stability of a beam with periodic supports. //Mechanics. Proceedings of National Academy of Sciences of Armenia, 2015, 68 (3). pp. 16-21 .

50. Auciello N.M. Stability and Vibration of Roads under Follower Forces; the Boundary Characteristic Orthogonal Polynomials (BCOP) method // Proc. of AIMETA2009 XIX International Congress of the Italian Association for Theoretical and Applied Mechanics, Ancona, September 14-17, 2009, Italy. ARAS Edizioni, ISBN/ISSN. 9788896378083 .

51. Baker G., Pavlovic M.N., Elastic stability of simply supported rectangular plates under locally edge forces, ASME Transaction, Journal of Applied Mechanics, 1982, 49: pp. 177-179 .

52. Banichuk N.V., Barsuk A.A. Localization of eigenforms and limit transitions in problems of stability of rectangular plates // J.Appl.Math. and Mech. 2008. V.72(2) .

P.302-307 .

53. Banichuk N.V., Ishlinskii A.Yu. Some special features of problems of the stability and vibrations of rectangular plate //J. Appl.Math. and Mech. 1995. 59(4). P.593-597 .

54. Bert C.W., Devarakonda K.K., Buckling of rectangular plate subjected to nonlinearly distributed in-plane loading, International Journal of Solids and Structures, 2003, 40: pp. 4097-4106 .

55. Brangwynne C.P., MacKintosh F.C., Kumar S, Geisse N.A., Talbot J, Mahadevan L, Parker K.K., Ingber D.E., Weitz D.A. Microtubules can bear enhanced compressive loads in living cells because of lateral reinforcement // JCB, The Journal of Cell Biology. 2006 Jun 5, 173(5), pp.733-741 .

56. Das M., Levine A.J. and MacKintosh F.C. Buckling and force propagation along intracellular microtubules //Europhysics Letters 2008, Vol.84, 18003. DOI 10.1209/0295-5075/84/18003  

57. Ding, Z. Natural Frequency of Rectangular Plates Using a Set of Static Beam Functions in Rayleigh-Ritz Method. Journal of Sound and Vibration, 1996, 189(1):81–87 .

58. Eftekhari S.A., Jafari A.A., Accurate variational approach for free vibration of simply supported anisotropic rectangular plates, Archived of Applied Mechanics, 84 (2014), 607-614 .

59. Eftekhari S.A., Jafari A.A., Vibration of an initially stressed rectangular plate due to an accelerated traveling mass, Scientia Iranica, 2012, 19, 5, 1195-1213

60. Farag, N. H. and Pan, J. Free and Forced In-Plane Vibration of Rectangular Plates. Journal of the Acoustical Society of America, 1998, 103(1):408–413 .

61. Hosseini-Hashemi, S., Khorshidi, K., Amabili, M.: Exact solution for linear buckling of rectangular Mindlin plates. J. Sound Vib. 315, 318–342 (2008)

62. Ilanko S. Vibration and post-buckling of in-plane loaded rectangular plates using a multi-term Galerkin’s method. Jour. of Applied Mechanics 2002, 69, pp.589–592 .

63. Jafari A.A, Eftekhari S.A. An efficient mixed methodology for free vibration and buckling analysis of orthotropic rectangular plates. Applied Mathematics and Computation, 2011, 218: pp. 2670–2692, doi: 10.1016/j.amc.2011.08.008

64. Jana P, Bhaskar K. Stability analysis of simply-supported rectangular plates under non uniform uniaxial compression using rigorous and approximate plane stress solutions. Thin Walled Structures, 2006, 44: pp.507–516

65. Jones RM. Buckling of bars, plates, and shells. Blacksbourg, VA: Bull Ridge Publishing; 2006. 824p .

66. Kang J.H., Leissa A.W. Exact solutions for the buckling of rectangular plates having linearly varying in-plane loading on two opposite simply supported edges .

International Journal of Solids and Structures, 2005, V. 42, Is. 14, pp. 4220-4238 https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2004.12.011

67. Kang J.H., Leissa A.W. Vibration and buckling of SS-F-SS-F rectangular plates loaded by in-plane moments. International journal of structural stability and dynamics, 2001, V. 01(04), pp. 527–543 doi: 10.1142/S0219455401000299

68. Kerr AD, Alexander H. An application of the extended Kantorovich method to the stress analysis a clamped rectangular plate. Acta Mechanica 1968; 6: pp. 180–96 .

69. Khan M.Z., Walker A.C., Buckling of plates subjected to localized edge loading, Structural Engineering, 1972, 50(6): pp. 225-232 .

70. Kokhanenko Yu.V., Zelenskii V.S., “Influence of the geometrical parameters on the critical load in three-dimensional stability problems for rectangular plates and beams,” Int. Appl. Mech., 39, No. 9, pp. 1073–1080 (2003) .

 

71. Kolomiets L., Orobey V., Lymarenko A. Non-conservative problems of the stability of bar structures // Technical journal, Hrcak, Croatia, Vol.9, No3 (2015), 311-316

72. Kumar Panda S, Ramachandra LS Buckling of rectangular plates with various boundary conditions loaded by non-uniform inplane loads. International Journal of Mechanical Sciences, 2010, 52(6): pp.819–828

73. Lakes R. Foam structure with a negative Poisson’s ratio. Science, 1987, v. 235, pp. 1038- 1040 .

74. Langthjem M.A., Sugiyama Y., Dynamic stability of columns subjected to follower loads: a survey, Journal of Sound and Vibration, 8 (2000), 809–851 .

75. Lee G.E., Reissner E. Note on a problem of beam buckling //Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP) (1975) 26:839. doi:10.1007/BF01596086

76. Leissa A.W., Ayoub E.F., Vibration and buckling of a simply supported rectangular plates subjected to a of inplane concentrated forces, Journal of Sound and Vibration, 1988, 127: pp. 155-171 .

77. Liu Y., Xue Y. Some Aspects of Research on Mechanics of Thin Elastic Rod .

The 4th Symposium on the Mechanics of Slender Structures (MoSS2013) // Journal of Physics: Conference Series 448 (2013) 012001, doi:10.1088/1742Liu Y.G., Pavlovic M.N., Elastic Stability of flat rectangular plates under patch compression, International Journal of Mechanical Sciences, 2007, 49, pp. 970-982

79. Norris A.N. Flexural edge waves. Journal of Sound and Vibration, 1994, v.171, pp.571-573

80. Norris AN, Krylov VV, Abrahams ID. Flexural edge waves and comments on "A new bending wave solution for the classical plate equation", J Acoust Soc Am. 2000 Mar;107(3):1781-1785 .

81. Rajalingham, C., Bhat, R.B. and Xistris, G.D. Vibration of Rectangular Plates Using Plate Characteristic Functions as Shape Functions in the Rayleigh-Ritz Method. Journal of Sound and Vibration, 1996, 193(2):497–509 .

82. Sarat Kumar Panda and Ramachandra L.S., “Buckling of rectangular plates with various boundary conditions loaded by non-uniform inplane loads”, International Journal of Mechanical Sciences, Vol. 52, No. 6, June 2010, pp. 819-828, doi:10.1016/j.ijmecsci.2010.01.009

83. Shan W. and Chen Z. Mechanical instability of thin elastic rods // Journal of Postdoctoral Research, 2013, Vol.1, No. 2, pp.1-8

84. Sharifian R., Belubekyan V. Stability of a rectangular plate axially compressed on its two opposite free edges. //ZAMM, 2012, v.92(7), pp.558-564 .

 

85. Shatalov M., Marais J., Fedotov J., and Tenkam M., “Longitudinal Vibration of Isotropic Solid Rods: From Classical to Modern Theories,” Advances in Computer Science and Engineering, M. Schmidt, ed., InTech Open, Rijeka, Croatia, 2011, pp.187–214 .

86. Shukla, K.K., Nath, Y., Kreuzer, E., Sateesh Kumar, K.V., 2005. Buckling of laminated composite rectangular plates. Journal of Aerospace Engineering 18 (4), pp.215–223 .

87. Shvartsman B.S. Static Analysis of the Cantilever Subjected to Subtangential Follower Forces. Adv. Theor. Appl. Mech., Vol. 1, 2008, no. 3, pp.121 – 130

88. Shvartsman B.S., Direct method for analysis of flexible beam under a follower load, Proceedings of Computational of Mechanics for the Next Millennium, Vol. 1, Singapore, 1999, pp.155-160

89. Shvartsman B.S., Large deflections of a cantilever beam subjected to a follower force. Journal of Sound and Vibration, 304 (2007), pp.969-973 .

90. Srinivas, S., and Rao, A.K., “Bending, Vibration and Buckling of Simply Supported Thick Orthotropic Rectangular Plates and Laminates,” Inter. Journal of Solids and Structures, Vol. 6, No. 10, 1970, pp. 1463– 1481 .

91. Sun Y., Choi W.M., Jiang H., Huang Y.Y., Rogers J.A. Controlled Buckling of Semiconductor Nanoribbons for Stretchable Electronics //Nature Nanotechnology, 2006, Vol. 1, No. 3, pp.201-207 .

92. Taylor R, Govindjee S. Solution of clamped rectangular plate problems .

Communications in Numerical Methods in Engineering, 2004, 20(10):757–765, doi:10.1002/cnm.652

93. Wang X, Gan L, Zhang Y Differential quadrature analysis of the buckling of thin rectangular plates with cosine-distributed compressive loads on two opposite sides .

Advances in Engineering Software, 2008, 39(6): pp. 497–504

94. Wojciechowski K.W. Constant thermodynamic tension Monte-Carlo studies of elastic properties of a two–dimensional system of hard cyclic hexamers. Molecular Physics., 1987, v. 61, № 5, pp. 1247-1258 .

95. Xiang Y. and Wang C. M. “Exact Buckling and Vibration Solutions for Stepped Rectangular Plates”, Journal of Sound and Vibration, Vol. 250, No. 3, 2002, pp. 503doi:10.1006/jsvi.2001.3922

96. Xu F., Lu W., Zhu Y. Controlled 3D buckling of silicon nanowires for stretchable electronics //ACS Nano, 2011, 5 (1), pp 672–678, doi: 10.1021/nn103189z  

97. Саакян А.А. Анализ прогиба балки под действием сосредоточенной силы при различных условиях на концах Известия НАН РА, Механика, 2016, т.69, №2, сс. 46-54

98. Белубекян М.В., Саакян А.А. Локализованная неустойчивость прямоугольной пластинки при действии сжимающей нагрузки на свободном крае. Труды межд. школы-конференции молодых ученых «Механика 2016», 3-7 октября 2016, Цахкадзор, Армения, сс. 43-46 .

99. Саакян А.А. Влияние места расположения опоры на величину критической нагрузки сжатого стержня. Известия НАН РА и НПУА. Серия технических наук. 2017, №3, сс. 272-279 .

100. Саакян А.А. Влияние места расположения и типа опоры на величину критической нагрузки сжатого стержня. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер .

Естественные науки. 2017. № 4, сс.65-74 .

101. Геворгян Г.З., Саакян А.А. О динамической неустойчивости прямоугольной пластинки с одним свободным краем Труды V международной конференции “Актуальные проблемы механики сплошной среды»,, 3-7 октября 2017, Цахкадзор, Армения, сс. 59-60 .

102. Gevorgyan G.Z. and Sahakyan A.A. On the dynamic instability of a rectangular plate with one free edge Journal of Physic. Conference Series. 2018, Ser .

991 012024. DOI: /10.1088/1742-6596/991/1/012024

103. Белубекян М.В., Саакян А.А. О локализованной неустойчивости свободного края опертой по двум противоположным сторонам прямоугольной пластинки при различных условиях закрепления четвертой стороны. МТТ, 2018, №3, 61-66.



Похожие работы:

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА СССР КАБЕЛИ МАСЛОНАПОЛНЕННЫЕ НА ПЕРЕМЕННОЕ НАПРЯЖЕНИЕ 110-500 кВ ТЕХНИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ГОСТ 16441-78 Москва 1990 Содержание 1. МАРКИ, ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И РАЗМЕРЫ 2. ТЕХНИЧЕСКИЕ ТРЕБОВАНИЯ 2а. ТРЕБОВАНИЯ БЕЗОПАСНОСТИ 3. КОМПЛЕКТНОСТЬ 4. ПРАВИЛА ПРИЕМКИ 5. МЕТОДЫ ИСПЫТАНИЙ 6. УПАКОВКА, МАРКИРОВКА,...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" Школа инженерного предпринимательства Направление: 38...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" Школа Инженерн...»

«.. 04.16. – “, ” =========================================== ЕРЕВАНСКИЙ ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ А.И. АЛИХАНЯНА Шагинян Альберт Айрапетович МНОГОКАНАЛЬНЫЕ ДЕТЕКТОРЫ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ПАРТОННОЙ СТРУКТУРЫ НУКЛОНОВ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учено...»

«Lenovo TAB4 8 Plus Safety, Warranty & Quick Start Guide Lenovo TB-8704F Lenovo TB-8704X English//Русский/аза тілі Русский Внимательно прочитайте это руководство перед использованием устройства. Вся информация, помеченная звездочкой (*) в данном...»

«Содержание электронного журнала "Психолого-педагогические исследования", №1-2018 Рубрики, авторы, названия статей Страницы ПСИХОЛОГИЯ РАЗВИТИЯ Шумакова Н.Б. Специфика и проблемы развития одаренных детей в младшем школьном 1–7 возрасте Арон И.С. Готовность к профессиональному самоопредел...»

«Костицына Ирина Валерьевна Коррозионная стойкость трубных сталей в агрессивных средах нефтяных и газовых месторождений Специальность: 02.00.04 Физическая химия Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук Научный руководитель профессор, доктор х...»







 
2019 www.librus.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - собрание публикаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.