WWW.LIBRUS.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - собрание публикаций
 

Pages:   || 2 | 3 | 4 |

«Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики им. В. В. Пака МАТЕРИАЛЫ ...»

-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДНР

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра высшей математики им. В. В. Пака

МАТЕРИАЛЫ

студенческой научно-технической конференции

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА

26 апреля 2017 г .

г. Донецк, 2017 Рекомендовано к печати Ученым Советом факультета КИТА ДонНТУ (протокол № 6 от 29.08.2017) Математическая культура инженера // Сборник докладов Республиканской студенческой научно-технической конференции, 26 апреля 2017 г., Донецк [Электронный рессурс] .

– Донецк : ДонНТУ, 2017. – 543 с .

В сборник вошли доклады, сделанные студентами и аспирантами на секции 1. „История математики”, на секции 2. „Математика в профессиональной деятельности инженера”, на секции 3. „Экономикоматематическое моделирование и методика обучения математике” и на секции 4. „Математика в техническом университете” .

Редакционная коллегия:

Председатель: зав. кафедрой высшей математики ДонНТУ, д.т.н., профессор Улитин Геннадий Михайлович

Руководители тематических направлений:

д.ф.-м.н., профессор кафедры высшей математики ДонНТУ Лесина Мария Ефимовна д.п.н., профессор кафедры высшей математики ДонНТУ Евсеева Елена Геннадиевна к.п.н., доцент кафедры высшей математики ДонНТУ Прач Виктория Станиславовна к.т.н., доцент кафедры высшей математики ДонНТУ Гребенкина Александра Сергеевна

Технический секретариат:

ассистент кафедры высшей математики ДонНТУ Прокопенко Наталья Анатольевна Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

СОДЕРЖАНИЕ СЕКЦИЯ 1. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ……………………………………….. 10

1. Бадрак Я. А., Волчкова Н.П .

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ЧИСЕЛ………………………………………. 11

2. Бачинский Б.И., Лебедева И.А .

КОНСТРУКТИВНАЯ МАТЕМАТИКА……………………………………….. 17

3. Гудова П.С., Загурская Т. Н .

МАТЕМАТИКА В ЗАПАДНОЙ ЕВРОПЕ ПЕРИОДА

СРЕДНЕВЕКОВЬЯ……………………………………………………………….21

4. Гусарова А.С., Дегтярев В.С .

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СИМВОЛОВ………………………………28

5. Даниленко А.С., Азарова Н. В .

ЗОЛОТАЯ ПРОПОРЦИЯ В МАТЕМАТИКЕ………………………………..... 33

6. Жигалов А.Г., Азарова Н. В .

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ………………….40

7. Залож К., Середа А., Прач В. С .

РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В РОССИИ………………………………………42

8. Захаров В., Зиновьева Я.В .

ПРОБЛЕМЫ ЧИСЕЛ-БЛИЗНЕЦОВ…………………………………………….48

9. Коваленко Д.А., Азарова Н.В .

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ В ИГРАХ…………………………………………... 51

10. Кучеренко И.И., Лебедева И.А .

ОСНОВОПОЛОЖНИК ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЖОРДЖ

БЕРНАРД ДАНЦИГ………………………………………………... 56

11. Ладнова З.В., Перетолчина Г.Б .

ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА ОТ ПОЯВЛЕНИЯ ДО ПОЛНОГО

ДОКАЗАТЕЛЬСТВА…………………………………………………………….. 60

12. Марочко А., Калашникова О.А .

ДИОФАНТ И ФЕРМА……………………………………………………………64

13. Остапюк А. Ю., Рудакова О.А .





ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ…………………………………………..... 68

14. Сметанин А.В., Рудакова О.А .

ИСТОРИЯ СОЗДАНИЯ ИНТЕГРАЛА………………………………………….74

15. Снисаренко В.П., Савин А.И .

ПАРАДОКС БЕРТРАНА………………………………………………………... 76

16. Султанов А.Н., Прач В.С .

ТЕССЕРАКТ (ГИПЕРКУБ)……………………………………………………... 78

17. Уздемир А.Л., Дегтярев В.С .

МАТЕМАТИКА И ПРОГРАММИРОВАНИЕ………………………………… 82

18. Чепушканова В., Рудакова О.А .

О СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ…………………………………………………. 84

19. Чернига Д.В., Волчкова Н.П .

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ…… 89

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

20. Юров Д.С., Перетолчина Г.Б .

МАТЕМАТИКА В ДРЕВНЕМ ЕГИПТЕ……………………………………… 92

СЕКЦИЯ 2. МАТЕМАТИКА В ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ

ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ИЖЕНЕРА…………………………………………………….. 97

1. Аблязимов А. В., Гребенкина А.С .

ИССЛЕДОВАНИЕ ГАЗОВЫХ СМЕСЕЙ С ПОМОЩЬЮ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ…………………………………….... 98

2. Аль Ага Е.К., Жмыхова Т.В .

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА В ПРОГРАММНОМ БЛОКЕ

ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

ПРИМЕНИТЕЛЬНО К СОВРЕМЕННОМУ СТРОИТЕЛЬСТВУ…………..... 100

3. Войтенко А.С., Чудина Е.Ю .

РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ СКРУГЛЕНИЯ АВТОМОБИЛЬНОЙ ДОРОГИ…… 104

4. Гребенюков И.М., Гурьев С.В., Гусар Г. А .

ЗАДАЧА АКАДЕМИКА КАПИЦЫ……………………………………………. 109

5. Гущин И. С., Рудакова О.А .

МЕТОД ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ……………………………………………….. 114

6. Ковалёва Л.Р., Шитов А. А .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ МЕТОДОМ

ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ……………………………………………………….117

7. Нестеренко И. Р., Рудакова О.А .

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЗЕЙДЕЛЯ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ……………….119

8. Никитин. И. Е., Азарова Н. В .

ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ……………………………………….. 120

9. Носов А., Рудакова О.А .

МАТЕМАТИКА И МЕТОДИКА ИНЖЕНЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ НА

ПРИМЕРЕ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ……………………………………………..... 129

10. Остащенко С. С., Гребенкина А.С .

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ОДНОВРЕМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ,

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ РЕАКЦИИ ИНТЕГРИРОВАНИЕМ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ……………………………………… 138

11. Попов С., Калашникова О. А .

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИКИ В ГЕОДЕЗИИ……………………………… 142

12. Посев Д.С., Пустовая Ю.В .

МАТРИЧНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ………..... 147

13. Прач А.А., Прач В.С .

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ОНКОЛОГИЧЕСКИХ

ЗАБОЛЕВАНИЙ…………………………………………………………………. 154

14. Сватуха О.А., Шитов А. А .

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ………………………………………..... 159

15. Слабченко А. В., Гусар Г. А .

ПЕРСПЕКТИВА В ДРЕВНЕРУССКОЙ ЖИВОПИСИ……………………..... 162 Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

16. Степовой Я., Азарова Н.В .

ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ В ИНФОРМАТИКЕ И

ПРОГРАММИРОВАНИИ……………………………………………………..... 169

17. Суйков В. П., Гребенкина А.С .

ОДНО ИЗ ПРИЛОЖЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В

ЗАДАЧАХ ХИМИИ………………………………………………………………172

18. Теплова О. В., Рудакова О.А .

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ И

ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ………………………….. 174

19. Ткаченко Е.И., Рудакова О.А .

БУРЕНИЕ И АРХИМЕДОВ ВИНТ…………………………………………….. 179

20. Уросова Ю., Дегтярев В.С .

МАТЕМАТИКА И ПОЛЕТ НА ЛУНУ………………………………………… 184

21. Фролкин Е. К., Волчкова Н.П .

РЕШЕНИЕ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ…………………………………….. 189

22. Чепига А.А., Локтионов И.К .

РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА ПРИ ВКЛЮЧЕНИИ

ЭЛЕКТРОПРИВОДА В ОДНОФАЗНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

ПЕРЕМЕННОГО ТОКА………………………………………………………… 191 СЕКЦИЯ 3……………………………………………………………………………...198 ПОДСЕКЦИЯ 3.1. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ………………………………………………………….…….. 199

1. Билич В., Александрова О.В .

ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕНЕНИИ К ЭКОНОМИЧЕСКИМ

ЗАДАЧАМ………………………………………………………………………... 199

2. Безжон E.О., Евсеева Е.Г .

ПРЕДЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ЭКОНОМИКЕ. ПОНЯТИЕ

ЭЛАСТИЧНОСТИ……………………………………………………………….. 204

3. Бойчевская А.Ю., Прокопенко Н.А .

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ…..... 210

4. Вуткарёв Д. Н., Евсеева Е.Г .

ТРАСПОРТНАЯ ЗАДАЧА И ЕЕ ПРИМЕНИЕ В РЕШЕНИИ

ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ…………………………………………………. 215

5. Дубицкая А.В., Загурская Т. Н .

О ПРИМЕНЕНИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЭКОНОМИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ……………….. 223

6. Захарченко А.Д., Александрова О.В .

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В

ЭКОНОМИКЕ: ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ЦЕН НА ОСНОВАНИИ

СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫ………………………………………………… 228

7. Зинченко И. А., Евсеева Е.Г .

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА МНОЖИТЕЛЕЙ

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

ЛАГРАНЖА В КОЛИЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

ПОЛЕЗНОСТИ

Исаева А.С., Чех Е.С., Прач В.С .

8 .

МОДЕЛИ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ В

ЭКОНОМИКЕ…………………………………………………………………... 242 Ковнацкий Б.Д., Акушко Ю.C., Лебедева И.А .

9 .

РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ В ОБЛАСТИ СТРАХОВАНИЯ

МЕТОДАМИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ…………………………………... 251 Костенко Ю.В., Евсеева Е.Г .

10 .

USING THE TOOLS OF GAME THEORY TO MAKE MANAGEMENT

DECISIONS IN THE ECONOMY……………………………………………… 258 Леонтьева А. С. Прокопенко Н.А .

11 .

НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ МАТРИЦ В ЭКОНОМИКЕ………………... 262 Луценко Т. С., Александрова О.В .

12 .

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ФАКТОРОВ НА СТОИМОСТЬ

НЕДВИЖИМОСТИ……………………………………………………………. 268 Майстрова Т.А., Прач В. С .

13 .

ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ………………………………………………….. 273 Матвеев М.О., Пустовая Ю.В .

14 .

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО

ПОРЯДКА ПРИ РЕШЕНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ………………… 279 Москвина А. В., Евсеева Е.Г .

15 .

ОБ ИНТЕГРАЦИИ МАТЕМАТИКИ И ЭКОНОМИКИ..…………………… 283 Мухина А. А., Евсеева Е.Г .

16 .

ФУНКЦИИ В ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОМ

МОДЕЛИРОВАНИИ……………………………………………………………. 290 Нагорский М. А., Волчкова Н.П .

17 .

ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В ЭКОНОМИКЕ……………. 298 Новикова Р., Евсеева Е.Г .

18 .

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ЗАДАЧАХ……………………………………………………………………….. 303 Платонов И. А., Гребенкина А.С .

19 .

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МАРКЕТИНГА МЕТОДАМИ ТЕОРИИ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ………………………………………………………………. 308 Подустова К.С., Евсеева Е.Г .

20 .

USING OF BAYES'S THEOREM IN ECONOMY……………………………. 310 Русина В., Евсеева Е.Г .

21 .

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ДЛЯ

ОБОСНОВАНИЯ ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ………… 314 Сидоренко С.В., Евсеева Е.Г .

22 .

PRACTICAL APPLICATION OF THE GAME THEORY AT THE SOLUTION

OF PROBLEMS OF ECONOMIC CHARACTER……………………………… 319 Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

23. Синьков И. И., Гребенкина А.С .

ИССЛЕДОВАНИЕ КОРРЕЛЯЦИИ ЕВРО И ДОЛЛАРА К РУБЛЮ……….. 323

24. Токарецкая А.С., Прокопенко Н.А .

BERNOULLI'S FORMULA AND ITS GENERALIZATION………………….. 328

25. Хумран Ранда Валид, Гребенкина А.С .

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ ВЫБОРА ПРОИЗВОДСТВЕННОГО

РЕШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ: ТЕОРИЯ ИГР……………. 332

26. Черноиваненко А.В., Евсеева Е.Г .

ПОНЯТИЯ «ПРЕДЕЛ» И «НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОЙ

НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ» В ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ .

ФУНКЦИЯ ИЗДЕРЖЕК В ДОЛГОСРОЧНОМ ПЕРИОДЕ…………………. 334

27. Шевченко М.Н., Соловьева З. А .

ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ В

ЭКОНОМИКЕ…………………………………………………………………... 341

28. Шулишов Д., Евсеева Е.Г .

ИССЛЕДОВАНИЕ КОРРЕЛЯЦИЯ МЕЖУ КУРСОМ РУБЛЯ И ЦЕНОЙ НА

НЕФТЬ…………………………………………………………………………… 349 ПОДСЕКЦИЯ 3.2. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ…………….. 357

1. Герасимов Л. И., Евсеева Е.Г .

ФОРМИРОВАНИЕ УЧЕБНОЙ МОТИВАЦИИ В ОБУЧЕНИИ

МАТЕМАТИКЕ СТУДЕНТОВ ВЫСШЕЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ

ШКОЛЫ………………………………………………………………………… 357

2. Гриценко А., Коваленко Н. В .

ТЕХНОЛОГИЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО ОБУЧЕНИЯ КАК ФАКТОР

ПОВЫШЕНИЯ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ АКТИВНОСТИ СТУДЕНТОВ НА

ЗАНЯТИЯХ ПО МАТЕМАТИКЕ………………………

3. Иовно Е.П., Иовно А.П., Коваленко Н. В .

ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ КУРСА «СОВРЕМЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

СТУДЕНТАМИ НАПРАВЛЕНИЯ ПОДГОТОВКИ «ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ

ОБРАЗОВАНИЕ»………………………………………………………………. 369

4. Забельский Б. В., Евсеева Е.Г .

ФОРМИРОВАНИЕ НАГЛЯДНО-ОБРАЗНОГО МЫШЛЕНИЯ

СТУДЕНТОВ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ…………………………... 377

5. Лобунцова А.А. Коваленко Н. В .

ОБ ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ КУРСА

«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ…………………………………….. 383

6. Никитенко А.А., Цапов В.А .

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННО-КОММУНИКАЦМОННЫХ

ТЕХНОЛОГИЙ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ «РЯДЫ» В КУРСЕ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА…………………………………………… 387 Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Олькина Д.С., Цапов В.А .

7 .

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННО-КОММУНИКАЦИОННЫХ

ТЕХНОЛОГИЙ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ

ИСЧИСЛЕНИЕ»………………………………………………………………… 394

8. Попова С.С., Евсеева Е.Г .

РЕАЛИЗАЦИЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ

ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ СТУДЕНТОВ-ХИМИКОВ ПРИ

ИЗУЧЕНИИ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ

ГЕОМЕТРИИ……………………………………………………………………. 399

9. Предко Е.В., Скафа Е.И .

АКТУАЛИЗАЦИЯ ЭВРИСТИЧЕСКИХ СИТУАЦИЙ

НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ ПО ТЕМЕ: «МНОГОГРАННИКИ»………….. 408

10. Пригонец Э., Гончарова И.В .

ДИДАКТИЧЕСКИЕ ИГРЫ КАК СРЕДСТВО АКТИВИЗАЦИИ

ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ……………………………………… 414

11. Телятник В.С., Гончарова И.В .

РАЗРАБОТКА СОДЕРЖАНИЯ ОБУЧЕНИЯ ТЕМЕ «ФУНКЦИИ И

ПРЕДЕЛЫ» В КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА………………… 419 СЕКЦИЯ 4. МАТЕМАТИКА В ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ………. 424

1. Бочаров С.С., Лебедева И.А .

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ В РЕАЛЬНОЙ ЖИЗНИ………. 425

2. Бронников В. Р., Потреба Д. С., Руссиян С.А .

ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. БРОСАНИЕ МОНЕТЫ………………….. 428

3. Гнусин О.Н., Улитин Г. М .

ПРИВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ К

РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ…. 433

4. Громов П.П., Гребенкина А.С .

ПРИМЕР РАСЧЕТА РАБОТЫ, СОВЕРШАЕМОЙ СИЛАМИ

ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ……………………………………….. 438

5. Демчак В., Мироненко Л.П .

ЕЩЕ ОДНА ФОРМА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ВАНДЕРМОНДА………………… 441

6. Дятлов А. Ю., Лесина М.Е .

ПУАНКАРЕ И ЕГО МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ КРИВЫХ…………………. 447

7. Зайцева П. А., Боев Ю.А .

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧ ГИДРОСТАТИКИ……………………………………………………… 450

8. Иванов М., Мироненко Л.П .

ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ Т-Г ФУНКЦИЙ 456

9. Кобченко Д. И., Кривко Я.П .

ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ………………………………. 462 Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

10. Конёк А.Ю., Улитин Г. М .

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, РЕШЕНИЯ КОТОРЫХ

ПРИВОДЯТСЯ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ ЛИНЕЙНОГО

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА…………. .

11. Кривошеева А. О, Панишева О.В .

ОСОБОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЗАДАЧ НА КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ПРИ

ИЗУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ……………………………………………………… 470

12. Крушнин А.Р., Перетолчина Г.Б .

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В РЕШЕНИИ

ЗАДАЧ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ………………………………………………….. 478

13. Лукин В., Мироненко Л.П .

ПРОИЗВОДНАЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ…………………….. 482

14. Масолов Б.В., Руссиян С.А .

ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ………. 487

15. Наместникова А. М., Локтионов И.К .

МЕТОД ИЗОКЛИН……………………………………………………………… 494

16. Патана Ю.Р., Савин А.И .

ТРЕУГОЛЬНИК РЕЛО………………………………………………………….. 500

17. Полищук А.А., Савин А.И .

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОШИ……………………………….. 504

18. Пучкова Е. А., Кривко Я.П .

ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ…………………………………………. 507

19. Ульянченко К. Е., Панишева О.В .

НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ

ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА…………………………. 514

20. Уткин П.С., Азарова Н. В .

НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ………………… 523

21. Чирка В.О., Гребёнкина А.С .

РАСЧЕТ КОНЦЕНТРАЦИИ НЕКОТОРОГО ВЕЩЕСТВА В ЖИДКОСТИ.. 526

22. Щербакова И. О., Кривко Я.П .

ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ АЛГОРИТМА ФЛЁРИ ДЛЯ

ОПТИМИЗАЦИИ РАБОТ ЖИЛИЩНО-КОММУНАЛЬНОГО

ХОЗЯЙСТВА……………………………………………………………………. 529

23. Яковлева М.А., Азарова Н. В .

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ…………………………………………………………………… 537 Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Секция 1 .

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ

–  –  –

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ЧИСЕЛ

Введение. С самого раннего возраста человек сталкивается с необходимостью считать. Однако, научившись считать, люди мало знают о том, откуда появились числа. Первыми существенными успехами в арифметике стали концептуализация числа и изобретение четырех основных действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Первые достижения геометрии связаны с такими простыми понятиями, как прямая и окружность. Дальнейшее развитие математики началось примерно в 3000 до н.э. благодаря вавилонянам и египтянам .

Постановка задачи. Попытаемся определить, как появились цифры, проследить историю возникновения чисел, выяснить, как считали древние люди, которые не знали цифр, собрать информацию о цифрах других народов .

Результаты .

ГРЕЧЕСКАЯ МАТЕМАТИКА. Классическая Греция (6–4 вв .

до н.э.). Математика, существовавшая в более ранний период, была набором эмпирических заключений .

Греки настаивали на применении дедуктивных методов в математике. Ни одна другая цивилизация не дошла до идеи получения заключений исключительно на основе дедуктивного рассуждения, исходящего из явно сформулированных аксиом. Математики предпочитали абстрактные рассуждения о числах и пространственных отношениях решению практических задач .

Греческая система счисления была основана на использовании букв алфавита. Аттическая система, бывшая в ходу с 6–3 вв. до н.э., использовала для обозначения единицы вертикальную черту, а для обозначения чисел 5, 10, 100, 1000 и 10 000 начальные буквы их греческих названий. В более поздней ионической системе счисления для обозначения чисел использовались 24 буквы греческого алфавита и три архаические буквы. Дедуктивный характер греческой математики полностью сформировался ко времени Платона и Аристотеля .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Изобретение дедуктивной математики принято приписывать Фалесу Милетскому (от. 640–546 до н.э.), который, как и многие древнегреческие математики классического периода, был также философом .

Другим великим греком, с чьим именем связывают развитие математики, был Пифагор (от. 585–500 до н.э.). Полагают, что он мог познакомиться с вавилонской и египетской математикой во время своих долгих странствий. Пифагор основал движение, расцвет которого приходится на период от. 550–300 до н.э. Пифагорейцы создали чистую математику в форме теории чисел и геометрии. Целые числа они представляли в виде конфигураций из точек или камешков, классифицируя эти числа в соответствии с формой возникающих фигур («фигурные числа»). Слово «калькуляция» (расчет, вычисление) берет начало от греческого слова, означающего «камешек». Числа 3, 6, 10 и т.д. пифагорейцы называли треугольными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде треугольника, числа 4, 9, 16 и т.д. – квадратными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде квадрата, и т.д. Для пифагорейцев любое число представляло собой нечто большее, чем количественную величину. Например, число 2 согласно их воззрению означало различие и потому отождествлялось с мнением. Четверка представляла справедливость, так как это первое число, равное произведению двух одинаковых множителей .

Пифагорейцы также открыли, что сумма некоторых пар квадратных чисел есть снова квадратное число. Например, сумма 9 и 16 равна 25, а сумма 25 и 144 равна 169. Такие тройки чисел, как 3, 4 и 5 или 5, 12 и 13, называются пифагоровыми числами .

Древние греки решали уравнения с неизвестными посредством геометрических построений. Были разработаны специальные построения для выполнения сложения, вычитания, умножения и деления отрезков, извлечения квадратных корней из длин отрезков;

ныне этот метод называется геометрической алгеброй .

Приведение задач к геометрическому виду имело ряд важных последствий. В частности, числа стали рассматриваться отдельно от геометрии, поскольку работать с несоизмеримыми отношениями можно было только с помощью геометрических методов. Геометрия стала основой почти всей строгой математики по крайней мере до1600 г. н.э. И даже в 18 в., когда уже были достаточно развиты алгебра и математический анализ, строгая математика трактовалась Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

как геометрия, и слово «геометр» было равнозначно слову «математик» .

Есть основания полагать, что именно пифагорийцы открыли то, что ныне известно как теоремы о треугольниках, параллельных прямых, многоугольниках, окружностях, сферах и правильных многогранниках .

Одним из самых выдающихся пифагорейцев был Платон (ок .

427–347 до н.э.). Считается, что именно ему принадлежит заслуга изобретения аналитического метода доказательства. Принято считать, что последователи Платона изобрели метод доказательства, получивший название «доказательство от противного». Аристотель заложил основы наук

и логики и высказал ряд идей относительно определений, аксиом, бесконечности и возможности геометрических построений .

Евдокс (от. 408–355 до н.э ввел понятие величины для таких объектов, как отрезки прямых и углы. Располагая понятием величины, Евдокс логически строго обосновал пифагорейский метод обращения с иррациональными числами .

Около 300 до н.э. результаты многих греческих математиков вывел Евклид, охвативший все наиболее важные результаты классического периода .

Величайшим математиком древности был Архимед (от. 287– 212 до н.э.). Ему принадлежат формулировки многих теорем о площадях и объемах сложных фигур и тел. Он доказал, что точное значение числа находится между 31/7 и 310/71 .

В александрийский период арифметика и алгебра рассматривались независимо от геометрии. Греки классического периода имели логически обоснованную теорию целых чисел .

Первой достаточно объемистой книгой, в которой арифметика излагалась независимо от геометрии, было Введение в арифметику Никомаха (ок. 100 н.э.). На протяжении более 1000 лет она служила стандартным учебником, поскольку в ней ясно, четко и всеобъемлюще излагалось учение о целых числах (простых, составных, взаимно простых, а также о пропорциях). Знаменательной вехой в алгебре александрийских греков стали работы Диофанта (ок. 250). Одно из главных его достижений связано с введением в алгебру начал символики. В своих работах Диофант не предлагал общих методов, он имел дело с конкретными положительными рациональными числами, а не с их буквенными обозначениями .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

После завоевания Египта римлянами в 31 до н.э. великая греческая александрийская цивилизация пришла в упадок. В развитие самой математики вклад римлян был незначителен. Римская система счисления основывалась на громоздких обозначениях чисел. Главной ее особенностью был аддитивный принцип .

СРЕДНИЕ ВЕКА И ВОЗРОЖДЕНИЕ. Цивилизация, сложившаяся в Европе раннего Средневековья (ок. 400–1100), не была продуктивной по прямо противоположной причине: интеллектуальная жизнь сосредоточилась почти исключительно на теологии и загробной жизни. Уровень математического знания не поднимался выше арифметики и простых разделов из Начал Евклида. Медикам не оставалось ничего другого, как стать математиками .

Около 1100 в западноевропейской математике начался почти трехвековой период освоения сохраненного арабами и византийскими греками наследия Древнего мира и Востока .

Первым заслуживающим упоминания европейским математиком стал Леонардо Пизанский (Фибоначчи). В своем сочинении Книга абака (1202) он познакомил европейцев с индоарабскими цифрами и методами вычислений, а также с арабской алгеброй. В течение следующих нескольких веков математическая активность в Европе ослабла. Свод математических знаний той эпохи, составленный Лукой Пачоли в 1494, не содержал каких-либо алгебраических новшеств, которых не было у Леонардо .

Основателем проективной геометрии был Ж.Дезарг (1593–1662) с помощью доказательств, основанных на проекции и сечении, унифицировал подход к различным типам конических сечений, которые великий греческий геометр Аполлоний рассматривал отдельно .

НАЧАЛО СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ. Наступление 16 в. в Западной Европе ознаменовалось важными достижениями в алгебре и арифметике. Были введены в обращение десятичные дроби и правила арифметических действий с ними. Настоящим триумфом стало изобретение в 1614 логарифмов Дж.Непером. С начала 16 в .

более широко стали употребляться иррациональные числа. В 16 в .

продолжались споры по поводу законности введения отрицательных чисел. Еще менее приемлемыми считались возникавшие при решении квадратных уравнений комплексные числа, такие как 5 + - 5, названные Декартом «мнимыми». Комплексные числа окончательно признали только в начале 19 в., когда математики освоились с их геометрическим представлением. Чтобы сделать алгебраические Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

рассуждения и их запись более точными, было введено множество символов, в том числе +, –,,, =, и. Самым существенным новшеством стало систематическое использование Ф.Виетом (1540–

1603) букв для обозначения неизвестных и постоянных величин .

Ньютон открыл соотношение между корнями и дискриминантом D = b 2 - 4ac квадратного уравнения, а именно, что уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет равные действительные, разные действительные или комплексно сопряженные корни в зависимости от того, будет ли дискриминант равен нулю, больше или меньше нуля .

СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА. Создание интегрального и дифференциального исчислений ознаменовало начало «высшей математики». Методы математического анализа, в отличие от понятия предела, лежащего в его основе, выглядели ясными и понятными .

Дифференциальное и интегральное исчисления стали краеугольными камнями математического анализа, который со временем включил в себя и такие предметы, как теория дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными, бесконечные ряды, вариационное исчисление, дифференциальная геометрия и многое другое. Строгое определение предела удалось получить лишь в 19 в .

Создание новых алгебр, начавшееся с кватернионов, породило аналогичные сомнения и в отношении логической обоснованности арифметики и алгебры обычной числовой системы. Все ранее известные математикам числа обладали свойством коммутативности, т.е. ab = ba. Кватернионы, совершившие переворот в традиционных представлениях о числах, были открыты в 1843 У. Гамильтоном (1805– 1865). Они оказались полезными для решения целого ряда физических и геометрических проблем, хотя для кватернионов не выполнялось свойство коммутативности. Математики свободно обращались с отрицательными и комплексными числами и производили алгебраические операции .

Математический анализ ввел два новых сложных понятия – производная и определенный интеграл. Над этими понятиями бились Ньютон и Лейбниц, а также математики последующих поколений, превратившие дифференциальное и интегральное исчисления в математический анализ. Однако, несмотря на все усилия, в понятиях предела, непрерывности и дифференцируемости оставалось много неясного. В 1821 О. Коши (1789–1857), используя понятие числа, подвел строгую базу под весь математический анализ. Однако позднее Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

математики обнаружили у Коши логические пробелы. Желаемая строгость была наконец достигнута в 1859 К. Вейерштрассом (1815– 1897) .

Вейерштрасс вначале считал свойства действительных и комплексных чисел очевидными. Позднее он, как и Г. Кантор (1845–

1918) и Р. Дедекинд (1831–1916), осознал необходимость построения теории иррациональных чисел. Они дали корректное определение иррациональных чисел и установили их свойства, однако свойства рациональных чисел по-прежнему считали очевидными .

К.Гёделя(1906–1978) вывел теоремы неполноты - эта теорема утверждает, что любая непротиворечивая формальная система, достаточно богатая, чтобы содержать теорию чисел, обязательно содержит неразрешимое предложение, т.е. утверждение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть в ее рамках. Теперь общепризнано, что абсолютного доказательства в математике не существует. Относительно того, что такое доказательство, мнения расходятся. Однако большинство математиков склонно полагать, что проблемы оснований математики являются философскими. И действительно, ни одна теорема не изменилась вследствие вновь найденных логически строгих структур; это показывает, что в основе математики лежит не логика, а здравая интуиция .

Выводы. Интерес к изучению чисел возник у людей в глубокой древности, и вызван он был не только практической необходимостью .

Привлекала необычайная магическая сила числа, которым можно выразить количество любых предметов. Проследив основные этапы зарождения чисел, их различных систем записей у разных народов, можно сделать такой вывод: не зря многие ученые умы интересовались понятием числа, раскрывали его тайны. В наш век, когда с числами сталкиваешься повсеместно (на денежных знаках, ценниках, компьютерах, панелях стиральных машин и т.д.) это понятие не утратило своей актуальности. Трудно себе представить, как современный человек смог бы прожить, если бы когда-то, много тысячелетий назад, не была бы приоткрыта тайна великих и загадочных чисел .

Литература

1. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. – М.: КомКнига, 2006. – 460 с .

2. Юшкевич А.П. История математики в средние века. М.: ТОО «Янус», 2002. – 448 с .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

3. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. М.: МЦНМО, 2001. – 432 с .

4. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии .

Ижевск, 2003. – 239 с .

Бачинский Б., студ. группы КИ-15а, ФКНТ, ДонНТУ Руководитель: Лебедева И.А., ассистент кафедры высшей математики, ДонНТУ

КОНСТРУКТИВНАЯ МАТЕМАТИКА

Конструктивное действительное число понятие

– действительного числа, употребляемое в конструктивной математике .

В более широком смысле – действительное число, конструируемое в соответствии с тем или иным кругом конструктивных средств. Близкое значение имеет термин «вычислимое действительное число», обычно употребляемый в тех случаях, когда не ставится цель изначального, нетрадиционного, нетрадиционного построения континуума, а речь идёт просто о классических действительных числах, вычислимых в том или ином смысле посредством некоторых алгоритмов .

Конструктивный объект — название, установившееся за математическим объектами, возникающими в результате развертывания так называемых конструктивных процессов. При описании того или иного конкретного конструктивного процесса обычно «...предполагается, что отчетливо охарактеризованы объекты, которые в данном рассмотрении фигурируют в качестве нерасчленяемых на части исходных объектов; предполагается, что задан список тех правил образования новых объектов из ранее построенных, которые в данном рассмотрении фигурируют в качестве описаний допустимых шагов конструктивных процессов;

предполагается, что процессы построения осуществляются отдельными шагами, причем выбор каждого очередного шага произволен в тех границах, которые определяются списком ранее построенных объектов и совокупностью тех правил образования, которые фактически можно применить к ранее построенным объектам». Такое описание конструктивного процесса, а тем самым и Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Конструктивного объекта, разумеется, не может претендовать на то, чтобы быть точным математическим определением. Однако конкретные математические теории всегда имеют дело лишь с такими конкретными типами Конструктивного объекта, которые допускают точную характеризацию. Приведенное выше описание Конструктивного объекта служит в таких ситуациях ориентиром для выбора соответствующих точных определений. Примером точно определенного типа Конструктивного объекта могут служить слова в каком-либо фиксированном алфавите (буквы этого алфавита играют роль исходных объектов; новые слова получаются из уже имеющихся путем приписывания к последним справа букв рассматриваемого алфавита). Другими примерами типов Конструктивного объекта могут служить конечные графы, конечные абстрактные топологические комплексы, релейно-контактные схемы (выбор соответствующих исходных объектов и правил образования не представляет труда). Как Конструктивный объект могут быть также определены рациональные числа, алгебраические многочлены, алгоритмы и исчисления различных точно определенных типов, автоматы конечные, конечно определенные группы и другие им подобные математические объекты .

Конструктивные объекты играют важную роль в тех математических теориях, в которых возникает потребность в рассмотрении объектов, допускающих отчетливое индивидуальное задание средствами той или иной математической символики .

В рамках теоретико-множественной математики, неограниченно использующей абстракцию актуальной бесконечности, Конструктивный объект и произвольные множества Конструктивного объекта рассматриваются одновременно и наравне с прочими математическими Объектами, среди которых Конструктивные объекты выделяются лишь своей большей «осязаемостью». В рамках конструктивной математики Конструктивные объекты или объекты, задаваемые ими) представляют собой единственно допускаемый к рассмотрению тип математич. объектов, и рассмотрение их здесь ведется на базе отказа от применения абстракции актуальной бесконечности и на основе специальной конструктивной логики, учитывающей, в частности, специфику определения Конструктивного объекта .

Концепция метрического пространства используется в конструктивной математике. Близкий смысл имеет также понятие рекурсивного метрического пространства .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Список {,р}, где - некоторое множество конструктивных объектов (обычно слов в том или ином алфавите), р - алгоритм, переводящий любую пару элементов в конструктивное действительное число, названный Конструктивным математическим пространством, если при любых X, У, Z выполняется: 1) р(Х, Х)=0, 2) р(Х, У) р(Х, Z)+р(У, Z) (здесь и ниже термин "алгоритм" употребляется в смысле одного из точных понятий алгоритма). Множество и алгоритм р называются носителем и метрическим алгоритмом соответствующего Конструктивного метрического пространства, а элементы - точками этого Конструктивного метрического пространства. Из аксиом 1), 2) следует, что всегда р(Х, У)0 и р(Х, У)= р(У, X). Две точки, X, Y называются эквивалентными (различными) в Конструктивном метрическом пространстве {, р}, если р(Х, У)=0 (соответственно р(Х,У)0) .

Заключение. Роль «конструирования» в математике:

Математики действуют, применяя процесс «конструирования»;

они «конструируют» сочетания все более и более сложные .

Возвращаясь затем путем анализа этих сочетаний — этих, так сказать, совокупностей — к их первоначальным элементам, они раскрывают отношения этих элементов и выводят отсюда отношения самих совокупностей .

Это процесс чисто аналитический, однако он направлен не от общего к частному, ибо совокупности, очевидно, не могут быть рассматриваемы как нечто более частное, чем их составные элементы .

Этому процессу «конструирования» справедливо приписывали большое значение и желали в нем видеть необходимое и достаточное условие прогресса точных наук .

Несомненно, что оно необходимо; но оно не является достаточным .

Для того чтобы конструирование- могло быть полезным, чтобы оно не было бесплодным трудом для разума, чтобы оно могло служить опорой для дальнейшего поступательного движения, надо, чтобы оно прежде всего обладало некоторым родом единства, которое позволяло бы видеть в нем нечто иное, чем простое наращивание составных частей. Говоря точнее, надо, чтобы в анализе конструкции выявлялось некоторое преимущество сравнительно с анализом ее составных элементов .

В чем же может заключаться это преимущество? Зачем, например, надо рассуждать не об элементарных треугольниках, а о многоугольнике, который ведь всегда разложим на треугольники? Это Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

делается потому, что существуют свойства, принадлежащие многоугольникам с каким угодно числом сторон, которые можно непосредственно применить к любому частному многоугольнику .

Весьма часто, напротив, только ценой продолжительных усилий можно бывает найти эти свойства, изучая непосредственно соотношения элементарных треугольников. Знание общей теоремы освобождает нас от этих усилий. Если четырехугольник есть не что иное, чем соединенные рядом два треугольника, то это потому, что он принадлежит к роду многоугольников .

Конструирование становится интересным только тогда, когда его можно сравнить с другими аналогичными конструкциями, образующими виды того же родового понятия. Необходимо еще, чтобы было возможно доказывать родовые свойства, не будучи вынужденным обосновывать их последовательно для каждого вида .

Чтобы достигнуть этого, необходимо вновь подняться от частного к общему, пройдя одну или несколько ступеней .

Аналитический процесс «конструирования» не вынуждает нас опускаться ниже, а оставляет все на том же уровне .

Литература

1. Анри Пуанкарэ, О науке, -Москва; «Наука», 1983 г .

2. Математическая энциклопедия, - Москва; «Советская энциклопедия», 1979 г., том II .

3. Фор Р., Кофман А., М. Дени-Папен, -Москва; Современная математика, «Мир»,1966г .

4. Марков А.А., Теория алгоритмов, -Москва; 1954 г .

5. Марков А.А., О логике конструктивной математики, – Москва; 1972г .

–  –  –

МАТЕМАТИКА В ЗАПАДНОЙ ЕВРОПЕ

ПЕРИОДА СРЕДНЕВЕКОВЬЯ

Введение. В современном мире каждый элемент жизни человека связан, так или иначе, с математикой. Все мы знаем, что «царица наук» прошла долгий путь от обычного счета с помощью веревочек или палочек в доисторическом периоде и до дискретной, компьютерной математики .

В длинной истории человечества присутствуют различные «темные» эпохи, но во времена европейского Средневековья тьма была повсюду. Она покрывала не только города, но и души человека, живущего в них. Однако человеческий гений нельзя остановить и вместе с ним и математику. Развитию математики в «темные времена»

мешали многие факторы, но она не была забыта и продолжала подниматься по «лестнице» своего величия .

Постановка задачи. В данной работе будут описаны известные факты из истории математики времен европейского Средневековья и прослежена связь с зарождением математики как науки в древности и с современностью .

Результаты. Мир европейского Средневековья зародился на останках римского мира. Рим поддерживал и питал, но вместе с тем и сковывал его развитие. Созданная римлянами колоссальная цивилизация распалась по нескольким небольшим причинам, которые в последствии разрушили ее до основания. Однако в свою очередь вечный город передал средневековому миру Европы в наследство трагическую борьбу, которая состояла в противостоянии единения и обособления, в стремлении к христианскому единству и тягой к национальной самостоятельности [1] .

В то время как арабы создавали и расширяли свою цивилизацию, в Западной Европе зарождалась новая цивилизация. В начале средневековья (примерно 500 г.н.э.) на территории Западной Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Европы появилось поле надолго не утихающих столкновений с различными разбойниками и завоевателями (гунны, готы, венгры, арабы, норманны и т. п.), в связи с этим развитие науки, в том числе и математики, прекратилось. Также существовал еще один фактор, который не содействовал развитию науки и в целом свободной мысли;

это – христианство. В доктринах данной религии, при ее некоторых достоинствах, совершенно не способствовали познанию физического мира. Отчетливый интерес к математике в монастырях был связан с тем обстоятельством, что они являлись как религиозноидеологическими, так и крупнейшими хозяйственными организациями, а в хозяйстве и в быту ограничивались самыми минимальными арифметическими и геометрическими знаниями, которые не выходили за пределы начальных действий с целыми числами и дробями и правил измерения простейших фигур, а также с вычислениями календаря и церковных праздничных дней [2] .

При всем этом следует сказать, что мыслители средневековой Западной Европы были усердными искателями истин, но исследовали их лишь в прилежном изучении Священного писания, а не в постижении природы. Впрочем, в позднем средневековье некоторые научные учения все же были приняты, но с отдельными поправками .

Так, например, сохранившиеся от древних времен остатки науки, а затем последовательное проникновение в Европу сохраненных арабами знаний древних великих цивилизаций, начали с течением времени все более и более волновать католическую церковь, и она пыталась предотвратить зловредное распространение языческих учений, внося все опасные и вредные сочинения древних писателей в определенный список запрещенных церковью книг. Попали в него и трактаты одного из величайших умов древности – Аристотеля. Но, когда все же оказалось, что невозможно удержать развитие научной мысли, то церковь разрешила данную дилемму, объявив сочинения ученого, которого она постановила внести в список запрещенных католической церковью книг и сжечь во имя веры, непогрешимым авторитетом во всех аспектах, задеваемых мысли и знания, признала, что все его мысли вполне соответствуют со священным писанием (Библия) и рарешила «думать», но только согласно с сочинениями Аристотеля [4] .

В равной степени можно отметить, что Индия наложила отпечаток на средневековую математику в Европе. Достойно упомянуть лишь 3-х известных индусских математиков: Ариабгатту, Брахмагупту и Бхаскара Акариа. Первый был преимущественно Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

астрономом, предшественником Коперника, хотя родившимся на тысячу с лишним лет ранее (476 н.э.). Бхаскара известен в открытии принципов дифференциального исчисления и его применении к астрономическим задачам и вычислениям. Третий, Брахмагупта, установил определенные правила для арифметических операций над положительными и отрицательными числами и нулём, рассматривая их с экономической точки зрения .

Один из великих «подарков» для всей науки, а в частности европейской математики, так и для всего мира преподнесли арабы .

Арабские цифры, которые используются и по сей день, стали известны европейцам в X веке. Папа римский Сильвестр II одним из первых среди жителей Европы познакомился с арабскими цифрами и, поняв их преимущества и легкость в использовании, стал внедрять данные знаки в европейскую науку. Примерно в XII веке книга Аль-Хорезми «Об индийском счете» была переведена на латинский язык и сыграла огромную большую роль для развития европейской арифметики и внедрении арабских цифр в повседневный обиход .

Можно точно сказать, что влияние различных восточных стран сильно повиляло на развитие науки как таковой, но и в Западной Европе было множество великих личностей, которые помогли становлению математики как самостоятельной науки .

Так в VII и VIII столетиях начался расцвет науки в Англии, а, особенно, в Ирландии и Шотландии. Карл Великий приглашает в Англию различных видных ученых современности, которые помогают основывать различные школы, где даются довольно глубокие знания .

Но в образовании населения играет роль не только эта, придворная школа, но и монастырские школы, возникшие в IX веке. Особенно были знамениты монастырские школы в Фульда, Рейхенау, Тегернзее, Гирсау, Оксерре, Клюни, Шартре, Орильяке (во Франции и Германии) [4] .

Одну из великих ролей в математике сыграл Леонардо Лизан, более известный как Фибоначчи. Фибоначчи популяризировал индоарабскую систему счисления в западноевропейском мире. В своей работе «Книга абака» смог разрешить проблему, которая связана с ростом популяции кроликов на основе своих идеализированных предположений (биологически нереальных). В последствии решение этой задачи было усовершенствованно, что и привело к открытию знаменитой последовательности, которая позже была названа в честь Лизана, последовательность Фибоначчи .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Монах Беда Достопочтенный также вписал свое имя в историю математики. Ему принадлежит единственное полное описание счета на пальцах, которое он включил в свою книгу «О счетах времени» .

Различные загибы пальцев на ладонях изображали единицы, десятки, сотни и тысячи, а жесты рук помогали продлить счет до миллиона .

Ученик друга монаха Беды Достопочтенного, монах Алкуин (Алькуин) стремился распространить математические знания для безграмотной феодальной знати. Для популяризации математики Алкуин составлял задачи в форме загадок и шуток, например, знаменитая задача про волка, козу и капусту. Также ему приписывают последовательность разложения коэффициентов в степенной ряд, названую в честь него, последовательность Алкуина .

Вследствие повального уничтожения, в частности сжигания, исторических документов в период иконоборчества византийской церкви в VII - IX веках сохранилось крайне мало информации о развитии математических знаний в Византии. Но все же великий Константинополь подарил «царице» ученых. Так архитектор собора святой Софии в Константинополе Антемий Траллесский (Тралльский) был талантливым ученым, что заметно по сохранившимся отрывкам в его сочинениях о зажигательных зеркалах. Так же Антемий знал фокус и директрису параболы и нитяное построение эллипса, позднее встречающееся у братьев бану Муса. Около 940 r. в Константинополе неизвестным автором, так называемым Героном младшим, была написана «Геодезия». Данная книга была об измерении земельных участков, по методу Герона Александрийского [3] .

Во второй половине XI века жил Михаил Псел, которому приписывается одно сочинение о «квадриуме» (арифметика, музыка, геометрия, астрономия). По его вычислениям для нахождения площади круга требуется среднее геометрическое между площадями вписанного и описанного квадратов, что дает значение для = 2,828 .

Это демонстрирует, с какого низкого уровня приходилось вновь подниматься математическим учениям .

Монах Максим Плануд вошел в историю, написав трактат о системе счисления индусов (десятичная система счисления), а также посодействовал ее внедрению и открыл для всего мира новые математические операции, например, извлечение квадратного корня .

В начале XIII столетия появляются университеты в Болонье, Падуе, Павии, Солерно, Саломанке, Коимбре, Париже, Анжере, Орлеане, Монпелье, Оксфорде, Кембридже, а затем в Праге, Вене, Гейдельберге, Кельне, Лейпциге. Обучение в университетах первое Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

время ограничивалось только существующей уже наукой, при этом, не думая двигать ее вперед, и в связи с этим развитие независимой научной мысли протекало сравнительно медленно. Из многочисленных ученых данного периода отметим наиболее самостоятельных [4] .

Иордан Неморарий оставил нам сочинения о геометрии, сходное уже с современными учебниками по планиметрии. В трактате «Объяснение алгоритма» автор описывал различные действия с пропорциями, счет в разных системах: словесное счисление по десятичной системе с разделением чисел на пальцевые от 1 до 9 и на составные различных порядков. В сочинении «О данных числах»

описывает различные задачи со многими неизвестными, которые решаются с помощью пропорций и извлечения квадратного корня. В труде «О треугольниках» рассматриваются различные действия не только с треугольниками, но с кругом, многоугольником, прямой, вписанным и описанным многоугольником, углом .

Из французских ученых следует упомянуть Николая Орезма. Во многих своих вычислениях он опередил научный уровень своей эпохи .

Так в «Вычислениях пропорций» он впервые использовал степени с дробными показателями и практически вплотную подошел к идее логарифмов. В сочинении «Трактат о конфигурации качеств» смог продемонстрировать первые примеры геометрических фигур, которые имеют бесконечную протяженность, но, тем не менее, конечную площадь. Впоследствии теорию таких фигур начали строить, такие ученые как Ферма и Торричелли. Орем исследует в своей работе «Вопросы по геометрии Евклида» бесконечные ряды и прогрессии, приводит довольно интересное доказательство расходимости гармонического ряда .

Французский математик Николай Шюке, сопоставляя геометрическую и арифметическую прогрессии, подает, так же, как и Николай Орезм, идею логарифмов. В трактате «Наука о числах»

впервые использовал названия биллион, триллион до нониллиона. Эти названия, с некоторыми версиями, укрепились во всех языках Европы .

В этом же трактате француз использовал в промежуточных вычислениях отрицательные числа, свойствами и техникой операций с которыми он вполне освоился .

Иоанн Сакробоско в своем сочинении «Алгоритм»

демонстрируются операции сложения, вычитания, нахождения среднего, удвоения, умножения, деления, суммирования арифметических прогрессий, извлечения квадратного и кубического Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

корня. В «Трактате о сфере» изъясняет основы сферической геометрии и геоцентрической системы мира, которые впоследствии четырех столетий изучались в различных университетах астрономии по всей Европе .

Также особенно следует выделить Роджера Бэкона, который смог опередить свое время на несколько столетий, обладал сведениями в оптике и, кроме того, обладал глубокими познаниями во многих науках: математике, астрономии, географии, химии, музыке, медицине, грамматике и т. д. Он призывал к созданию экспериментальной науки, которая на математическом языке смогла бы описывать различные природные явления .

Австрийский математик и астроном Пеурбах (1423 - 1461) написал учебник по арифметике, предложил свою теорию планет, рассматривал тригонометрию и создал таблицы синусов. Заслуживает внимания предложенный им угломерный инструмент, где деления отсчитываются не на круге, а на сторонах квадрата .

В особенности известен ученик Пеурбаха, Иоанн Мюллер, по прозванию Региомонтан. Он оставил после себя таблицы синусов и тангенсов, вычисленные с большою точностью. Региомонтан особенно много занимался тригонометрией. Ученый оставил после себя обширное сочинение о плоской и сферической тригонометрии, соединяя разнообразные арабские находки со своим собственными открытиями и довел тригонометрию до того состояния, в каком она изучается и по настоящее время .

В свою очередь, Италия смогла «породить» великого алгебраиста XV века – Лука Пачоли. В своем сочинении «Сумма арифметики, геометрии, отношений и пропорций» приводит правила и приемы арифметических действий над целыми и дробными числами, пропорции. Рассматривал различные задачи на сложные проценты, описал решения линейных, квадратных и отдельных видов биквадратных уравнений. Вероятно, одно из самых существенных нововведений алгебраиста состоит в систематическом использовании синкопированной алгебраической записи своеобразной

– предшественницы последующего символического исчисления. Труд содержит таблицу монет, весов и мер, принятых в разных частях Италии. Лука Пачоли предложил руководство по венецианской двойной бухгалтерии .

Выводы. В конце Средневековья просвещение идет уже более быстрыми шагами, появляются городские школы, множатся университеты, монастырские школы и в мире Западной Европы Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

математическое образование завоевывает для себя заслуженное высокое место. Подытожив выше описанные факты из истории математики в Средневековой Западной Европе, можно сделать логичный вывод о том, что появление определенно талантливых людей, как, например, Леонардо Пизано, Орезм, Шюке и т. п., оказало все же не столь весомое влияние на развитие математики. В тот период основа для создания «великой» науки была еще недостаточно подготовлена для заложения прочного фундамента, который должны был бы выдержать масштабное построение такой науки как, математика .

Постепенный ход развития математических знаний средневековый период можно представить в виде медленно текущего потока; источник, которого лежит в греко-арабских трудах, а спустя время он пересекает монастырские школы и университеты. А расширение потока исследований, формально логических понятий и механических аспектов проходят непрерывной цепью от Беды Достопочтимого до Луки Пичоли. Однако и скудное начало в преподавании арифметики и геометрии со временем расширяется и, в связи с этим, неудержимый поток впитывает в себя новые наплывы различных алгебраических знаний. Слияние разнообразных течений помогло стать новой отправной точкой для восхождения математики на «престол» .

Данную статью можно подытожить высказыванием французского математика Анри Пуанкаре: «Лучший метод для предвидения будущего развития математических наук заключается в изучении истории и нынешнего состояния этих наук» .

Литература

1. Ле Гофф Ж. Цивилизация средневекового Запада / Ж. Ле Гофф; пер. с фран. В. А. Бабинцева. – 3- изд. – Екатеринбург: УФактория, 2005. – 560 с .

2. Клайн М. Математика. Утрата определенности / М. Клайн;

пер. с англ. И. М. Яглом. – М.: Мир, 1984. – 434 с .

3. Кольман Э., Юшкевич А. П. История математики в Средние века: В 3-х т. Т 3. / Э. Кольман, А. П. Юшкевич. – М.: Наука, 1972. – 496 с .

4. Сидоров А. И. Очерки из истории техники [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://84.237.19.2:8081/hoe/books/oldmath.pdf

- Загл. с экрана .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

–  –  –

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ

СИМВОЛОВ Помимо индо-арабских цифр и букв различных алфавитов математический язык использует множество специальных символов, изобретённых за последние несколько столетий. Хорошо продуманные обозначения, отражающие свойства изучаемых объектов, помогают избежать ошибок или неправильной трактовки, переносят часть исследования на технический уровень, нередко «подсказывают»

правильный путь к решению задачи. Первоначально (например, в «Началах» Евклида) математические утверждения формулировались словесно [1]. Такая запись была громоздкой, часто неоднозначной, а алгебраические преобразования требовали незаурядной квалификации .

Большой вклад в развитие обозначений внёс Франсуа Виет (XVI век);

в частности, он начал использовать буквенные обозначения вместо конкретных чисел [2]. Постепенно практически все слова в математических формулах (обозначения операций, отношений сравнения и т. д.) были заменены специальными символами — математика обрела собственный язык, не требующий перевода, язык с чётко определённым смыслом «слов» и строгой грамматикой, позволяющий выводить из истинных утверждений другие, столь же истинные .

В любой цивилизации древнейшим из математических обозначений является нумерация (запись чисел).

По способу образования чисел из базовых знаков (цифр) древние системы нумерации делятся на три типа:

Аддитивная (от лат. additio — сложение). Пример: римское число XXX, которое состоит из трёх римских символов «десять» и изображает 30 .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Субтрактивная (от лат. subtractio — вычитание). Пример:

римское число IX, где символ единицы стоит слева от десятки и поэтому вычитается из неё .

Мультипликативная (от лат. multiplicatio — умножение) .

Пример — китайская система записи чисел .

Позднее появилась позиционная система счисления, в которой числовое значение цифры зависит не только от самой цифры, но и от её позиции в записи числа. Знаки операций, отношения и другие символические обозначения также появились позже, первоначально алгоритмы и формулы излагались словесно .

Для обозначения цифр от 1 до 9 в Индии с VI века до н. э .

использовалось написание «брахми», с отдельными знаками для каждой цифры. Несколько видоизменившись, эти значки стали современными цифрами, которые мы называем арабскими, а сами арабы — индийскими .

Десятичная запятая, отделяющая дробную часть числа от целой, введена итальянским астрономом Маджини (1592) и Непером (1617) .

Ранее вместо запятой ставили иные символы — вертикальную черту: 3|62, или нуль в скобках: 3 (0) 62 .

«Двухэтажная» запись обыкновенной дроби (например) использовалась ещё древнегреческими математиками, хотя знаменатель у них записывался над числителем, а черты дроби не было. Индийские математики переместили числитель наверх; через арабов этот формат переняли в Европе. Дробную черту впервые в Европе ввел Леонардо Пизанский (1202), но в обиход она вошла только при поддержке Иоганна Видмана (1489) .

Первые Знаки математические для произвольных величин появились много позднее (начиная с 5—4 вв. до н. э.) в Греции .

Величины (площади, объёмы, углы) изображались в виде отрезков, а произведение двух произвольных однородных величин — в виде прямоугольника, построенного на соответствующих отрезках. В «Началах» Евклида (3 в. до н. э.) величины обозначаются двумя буквами — начальной и конечной буквами соответствующего отрезка, а иногда и одной. У Архимеда (3 в. до нашей эры) последний способ становится обычным. Подобное обозначение содержало в себе возможности развития буквенного исчисления. Однако в классической античной математике буквенного исчисления создано не было .

Оно возникает в позднеэллинистическую эпоху в результате освобождения алгебры от геометрической формы.

Диофант (вероятно, 3 в.) записывал неизвестную (х) и её степени следующими знаками:

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

[ — от греческого термина dunamiV (dynamis — сила), обозначавшего квадрат неизвестной, — от греческого cuboV (k_ybos) — куб]. Справа от неизвестной или её степеней Диофант писал коэффициенты, например, 3х5 изображалось .

При сложении Диофант приписывал слагаемые друг к другу, для вычитания употреблял специальный знак; равенство Диофант обозначал буквой i [от греческого isoV (isos) — равный]. Например, уравнение у Диофанта записалось бы так: (здесь а означает, что единица не имеет множителя в виде степени неизвестного) .

Несколько веков спустя индийцы ввели различные Знаки математические для нескольких неизвестных, квадрата, квадратного корня, вычитаемого числа .

Создание современной алгебраической символики относится к 14—17 вв.; оно определялось успехами практической арифметики и учения об уравнениях. В различных странах стихийно появляются Знаки математические для некоторых действий и для степеней неизвестной величины. Проходят многие десятилетия и даже века, прежде чем вырабатывается тот или иной удобный символ. Так, в конце 15 и. Н. Шюке и Л. Пачоли употребляли знаки сложения и вычитания (от лат. plus и minus), немецкие математики ввели современные + (вероятно, сокращение лат. et) и —. В 16 и начале 17 вв. входят в употребление знаки равенства и скобки: квадратные (Р .

Бомбелли, 1550), круглые (Н. Тарталья, 1556), фигурные (Ф. Виет, 1593). В 16 в. современный вид принимает запись дробей .

В конце XVI века были опубликованы труды французского математика Франсуа Виета, произведшие революцию в алгебре. Виет поставил целью разработку нового языка, своего рода обобщённой арифметики, которая дала бы возможность проводить математические исследования с недостижимыми ранее глубиной, общностью и доказательной силой. В своих исследованиях Виет сразу решает задачи в общем виде и только потом приводит числовые примеры. Он обозначал буквами не только неизвестные, что уже встречалось ранее, но и все прочие параметры, для которых он придумал термин «коэффициенты» (буквально: содействующие) .

Значительным шагом вперёд в развитии математической символики явилось введение Виетом (1591) знаков для произвольных постоянных величин в виде строчных согласных букв латинского алфавита, что дало ему возможность впервые записывать алгебраические уравнения с произвольными коэффициентами и оперировать ими [2]. Неизвестные Виет изображал гласными Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

прописными буквами А,B. Например, запись Виета [cubus — куб, planus — плоский, т. е. В — двумерная величина; solidus — телесный (трёхмерный), размерность отмечалась для того, чтобы все члены были однородны] в наших символах выглядит так .

Виет явился творцом алгебраических формул. Р. Декарт (1637) придал знакам алгебры современный вид, обозначая неизвестные последними буквами латинского алфавита х, у, z, а произвольные данные величины — начальными буквами а, b, с. Ему же принадлежит нынешняя запись степени. Обозначения Декарта обладали большим преимуществом по сравнению со всеми предыдущими. Поэтому они скоро получили всеобщее признание. Дальнейшее развитие Знаков математических было тесно связано с созданием анализа бесконечно малых, для разработки символики которого основа была уже в большой мере подготовлена в алгебре .

Помимо цифр и букв различных алфавитов (латинского, в том числе в готическом начертании, греческого и еврейского), математический язык использует множество специальных символов, изобретённых за последние несколько столетий. Знаки плюса и минуса придумали, по-видимому, в немецкой математической школе «коссистов» (то есть алгебраистов). Они используются в учебнике Иоганна Видмана «Быстрый и приятный счёт для всех торговцев», изданном в 1489 году [2]. До этого сложение обозначалось буквой p (plus) или латинским словом et (союз «и»), а вычитание — буквой m (minus). Знак равенства предложил Роберт Рекорд в 1557 году;

начертание символа было намного длиннее нынешнего. Автор пояснил, что нет в мире ничего более равного, чем два параллельных отрезка одинаковой длины. Некоторое время распространению символа Рекорда мешало то обстоятельство, что с античных времён такой же символ использовался для обозначения параллельности прямых; в конце концов, было решено символ параллельности сделать вертикальным. Знаки сравнения ввёл Томас Хэрриот в своём сочинении, изданном посмертно в 1631 году. До него писали словами:

больше, меньше. Точка (.) в русском языке — знак препинания при письме. В геометрии, топологии и близких разделах математики точкой называют абстрактный объект в пространстве, не имеющий ни объёма, ни площади, ни длины, ни каких-либо других измеримых характеристик. Точка является одним из фундаментальных понятий в математике; любая геометрическая фигура считается состоящей из точек [3] .

Интересно появление синуса и косинуса .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Sinus с латинского - пазуха, впадина. Но история у такого названия долгая. Далеко в тригонометрии продвинулись индийские математики в районе 5 века. Самого слова "тригонометрия" не было, оно было введено Георгом Клюгелем в 1770 году [3]. То, что мы сейчас называем синусом, примерно соответствует тому, что индусы называли ардха-джия, в переводе - полутетива (т.е. полухорда). Для краткости называли просто - джия (тетива). Когда арабы переводили работы индусов с санскрита, они не стали переводить "тетиву" на арабский, а просто транскрибировали слово арабскими буквами .

Получилась джиба. Но так как в слоговой арабской письменности краткие гласные не обозначаются, то реально остается дж-б, что похоже на другое арабское слово - джайб (впадина, пазуха). Когда Герард Кремонский в 12 веке переводил арабов на латынь, он перевел это слово как sinus, что по-латыни также означает пазуху, углубление .

Косинус появился автоматически, т.к. индусы называли его коти-джия, или сокращено коджия. Коти-изогнутый конец лука на санскрите. Современные краткие обозначения введены Уильямом Отредом и закреплены в трудах Эйлера .

Обозначения тангенса/котангенса имеют намного более позднее происхождение (английское слово tangent происходит от латинского tangere - касаться). И даже до сих пор нет унифицированного обозначения - в одних странах чаще используется обозначение tan, в других – tg .

Огромная заслуга в создании символики современной математики принадлежат Л. Эйлеру. Он ввёл (1734) в общее употребление первый знак переменной операции, именно знак функции f (x) (от лат. functio). После работ Эйлера знаки для многих индивидуальных функций, например тригонометрических, приобрели стандартный характер. Эйлеру же принадлежат обозначения постоянных (основание натуральных логарифмов, 1736), числа, мнимой единицы (от французского imaginaire — мнимый, 1777, опубликовано в 1794) [2]-[3]. У него появились также символ двойного интеграла по произвольной плоской области (1769), знак суммы (1755), знак («не равно») .

Симон Люилье в 1787 году предложил один из важнейших символов анализа — обозначение предела, «шлифовка» которого разными математиками продолжалась до конца XIX века [4] .

Развитие математики продолжается и поэтому появляются новые символы.

Но цели остаются прежними:

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

1. Необходимо обеспечить однозначное понимание материала высокой степени абстрактности .

2. Хорошо продуманный формализм помогает человеческой интуиции понять тематические идейные мотивы и связи .

3. Краткость символической записи облегчает её зрительное восприятие .

4. С помощью символики логическое рассуждение может быть расширено на области, которые обычно предполагались недоступными для математического рассмотрения .

Литература

1. История математики. Том 1. С древнейших времен до начала Нового времени /под редакцией А.Н. Юшкевича/ М. Наука, 1970, с .

2. Александрова Н.В. История математических терминов, обозначений, понятий. СПб: ЛКИ, 2008, 248с .

3. История математики. Том 2. Математика XVII столетия /под редакцией А.Н. Юшкевича/ М. Наука, 1970,301с .

4. История математики. Том 3. Математика XVII I столетия /под редакцией А.Н. Юшкевича/ М. Наука, 1970,496с .

Даниленко А., студ. группы КС-15а, ФКНТ, ДонНТУ Руководитель: Азарова Н.В., к.т.н., доцент кафедры высшей математики, ДонНТУ

ЗОЛОТАЯ ПРОПОРЦИЯ В МАТЕМАТИКЕ

Введение. Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам. Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного - золотое сечение .

Человек в своей деятельности постоянно сталкивается с предметами, использующими в своей основе золотое сечение. Есть Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете - посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная.. .

Садясь на скамейку, вы произвели "золотое сечение". О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае .

Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами - теоремой Пифагора и золотым сечением. И если первое из этих сокровищ можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем .

Постановка задачи. Узнать, что же такое золотое сечение и установить где человечество нашло применение золотого сечения .

Результаты. Что такое золотое сечение?

Говорят, что точка С производит золотое сечение отрезка АВ, если АС:АВ=СВ:АС (1) Итак, золотое сечение это такое деление целого на две неравные части, при котором большая часть так относится к целому, как меньшая к большей. В геометрии золотое сечение называется также делением отрезка в крайнем и среднем отношении.

Если длину отрезка АВ обозначить через a, а длину отрезка АС – через х, то длина отрезка СВ будет a-x, и пропорция (1) примет следующий вид:

x:a=( a-x):x (2) Из этой пропорции видно, что при золотом сечении длина большего отрезка есть среднее геометрическое, или, как часто говорят, среднее пропорциональное длин всего отрезка и его меньшей части:

x= a ( a - x) Легко сообразить, что верно и обратное: если отрезок разбит на два неравных отрезка так, что длина большего отрезка есть среднее геометрическое длин всего отрезка и его меньшей части, то мы имеем золотое сечение данного отрезка .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Геометрически золотое сечение отрезка AB можно построить следующим образом: в точке В восставляем перпендикуляр к AB и на нём откладываем BD=0,5AB; далее, соединив точки A и D, откладываем DE=BD и, наконец, AC=AE. Точка C является искомой, она производит золотое сечение отрезка AB. В самом деле, заметим, что по теореме Пифагора, и по построению .

Из этих равенств следует, что, а отсюда уже легко получается равенство (1). Решая уравнение (2) относительно х, мы находим, что

–  –  –

через ) содержит n радикалов .

Непосредственно видно, что возрастающая последовательность. Кроме того, она ограничена. В самом деле, так как следует, что,и по индукции заключаем, что для любого (натурального) n .

Итак, возрастающая, ограниченная последовательность .

А, как известно, такая последовательность является сходящейся .

Обозначив предел последовательности через, можно написать:

.

–  –  –

Из теории цепных дробей известно, что подходящие дроби с нечётными номерами убывают и приближаются к порождающему эти дроби числу справа, а дроби с чётными номерами возрастают и приближаются к тому же числу слева.

Применяя это свойство в нашем случае, можно написать:

Связь с числами Фибоначчи. Последовательностью Фибоначчи называется последовательность, первые два члена которой равны 1, а каждый последующий сумме двух предыдущих.

Таким образом, эта последовательность (обозначим ее через {u n } ) определяется следующим образом:

,, ( ) .

Вот первые члены этой последовательности: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,.. .

Вспомнив о приближениях числа подходящими дробями, мы заметим, что отношение любого члена последовательности Фибоначчи к последующему члену является подходящей дробью числа, то есть приближенным значением отношения золотого сечения. Это приближение тем лучше, чем больше номер взятого члена .

Если же взять три последовательных члена: u n, u n +1, u n + 2, то un un + 2 числа и являются соседними подходящими дробями un + 1 un + 1 числа, причём одна из этих дробей больше, а другая меньше .

Наконец, поставим следующий вопрос: как разделить целое число на две целые части так, чтобы их отношение равнялось ?

Так как иррациональное число, то такое деление, конечно, невозможно, интересующее нас отношение может лишь приближённо равняться. Каково же это приближение? Ответ на этот вопрос даёт теория цепных дробей .

Пусть знаменатель подходящей дроби n есть. Рассмотрим множество всех дробей со знаменателями, не большими. .

Оказывается, из множества этих дробей ближе всех к числу находится именно n .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Но знаменатели подходящих дробей являются членами последовательности Фибоначчи, поэтому если член последовательности Фибоначчи, то деление с помощью n будет хорошим приближением золотого сечения .

Таким образом, разделить золотым сечением на две целые части с хорошим приближением можно числа, являющиеся членами последовательности Фибоначчи. Например, золотое сечение числа 8 дает (3,5), числа 13 (5,8) и т. д .

Выводы. Мир живой природы предстает перед нами совсем иным подвижным, изменчивым и удивительно разнообразным .

Жизнь демонстрирует нам фантастический карнавал неповторимости творческих комбинаций!

Мир неживой природы – это, прежде всего, мир симметрии, придающий его творениям устойчивость и красоту .

Мир природы это мир гармонии, в которой действует «закон золотого сечения» .

Литература .

1. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи / Н.Н. Воробьев. 5-е изд. – М.: Наука, 1984. – 144 с .

2. Стахов А.П. Коды золотой пропорции / А.П. Стахов. – М.:

Радио и связь, 1984. – 152 с .

3. Аракелян Г.Б. Математика и история золотого сечения / Г.Б. Аракелян. – М.: Логос, 2014. 404 с .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

–  –  –

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ

ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Теория вероятностей возникла в середине XVII века. Первые работы по теории вероятностей, принадлежащие французским учёным Б. Паскалю и П. Ферма и голландскому учёному X. Гюйгенсу, появились в связи с подсчётом различных вероятностей в азартных играх. Крупный успех теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли, установившего закон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами .

Следующий (второй) период истории теории вероятностей (XVIII в. и начало ХIХ в.) связан с именами А. Муавра (Англия), П .

Лапласа (Франция), К. Гаусса (Германия) и С. Пуассона (Франция) .

Это - период, когда теория вероятностей уже находит ряд весьма актуальных применений в естествознании и технике (главным образом в теории ошибок наблюдений, резвившейся в связи с потребностями геодезии и астрономии, и в теории стрельбы) .

Третий период истории теории вероятностей, (вторая половина XIX в.) связан в основном с именами русских математиков П. Л .

Чебышева, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова (старшего). Теория вероятностей развивалась в России и раньше (в XVIII в. ряд трудов по теории вероятности был написан работавшими в России Л. Эйлером, Н. Бернулли и Д. Бернулли; во второй период развития теории вероятностей следует отметить работы М. В. Остроградского по вопросам теории вероятностей, связанным с математической статистикой, и В. Я. Буняковского по применениям теории вероятностей к страховому делу, статистике и демографии) .

Теория вероятностей - математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми .

Утверждение о том, что какое-либо событие наступает с вероятностью, равной, например,, ещё не представляет само по себе окончательной Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

ценности, так как мы стремимся к достоверному знанию .

Окончательную познавательную ценность имеют те результаты теории вероятностей, которые позволяют утверждать, что вероятность наступления какого-либо события А весьма близка к единице или (чтото же самое) вероятность не наступления события А весьма мала. В соответствии с принципом "пренебрежения достаточно малыми вероятностями" такое событие справедливо считают практически достоверным. Поэтому можно также сказать, что теория вероятностей есть математическая наука, выясняющая закономерности, которые возникают при взаимодействии большого числа случайных факторов .

Возможность применения методов теории вероятностей к изучению статистических закономерностей, относящихся к весьма далёким друг от друга областям науки, основана на том, что вероятности событий всегда удовлетворяют некоторым простым соотношениям, о которых будет сказано ниже. Изучение свойств вероятностей событий на основе этих простых соотношений и составляет предмет теории вероятностей. Наиболее просто определяются основные понятия теории вероятностей как математической дисциплины в рамках так называемой элементарной теории вероятностей .

Наиболее распространённая в настоящее время логическая схема построения основ теории вероятностей разработана в 1933 советским математиком А. Н. Колмогоровым .

В 20-х гг. ХХ в. было обнаружено, что даже в схеме последовательности одинаково распределённых и независимых случайных величин могут вполне естественным образом возникать предельные распределения, отличные от нормального .

В Западной Европе во 2-й половине ХIX в. получили большое развитие работы по математической статистике (в Бельгии - А. Кетле, в Англии - Ф. Гальтон) и статистической физике (в Австрии - Л .

Больцман), которые наряду с основными теоретическими работами Чебышева, Ляпунова и Маркова создали основу для существенного расширения проблематики теории вероятностей в четвёртом (современном) периоде её развития. Этот период истории теории вероятностей характеризуется чрезвычайным расширением круга её применений, созданием нескольких систем безукоризненно строгого математического обоснования теории вероятностей, новых мощных методов, требующих иногда применения (помимо классического анализа) средств теории множеств, теории функций действительного переменного и функционального анализа. В этот период при очень Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

большом усилении работы по теории вероятностей за рубежом (во Франции - Э. Борель, П. Леви, М. Фреше, в Германии - Р. Мизес, в США - Н. Винер, В. Феллер, Дж. Дуб, в Швеции - Г. Крамер) современная наука продолжает занимать значительное, а в ряде направлений и ведущее положение. В нашей стране новый период развития теории вероятностей открывается деятельностью С.Н. Бернштейна, значительно обобщившего классические предельные теоремы Чебышева, Ляпунова и Маркова и впервые в России широко поставившего работу по применениям теории вероятностей к естествознанию им математической статистике .

Литература

1. Гнеденко Б.В. Элементарное введение в теорию вероятностей / Б.В. Гнеденко, А.Я Хинчин А.Я. 3 изд. К. - Л., 2008 .

2. Луговая И.Н. Курс теории вероятностей /И.Н. Луговая. – 4-е изд. – М., 2001 .

3. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложение (Дискретные распределения). В 2-х томах. Пер. с англ. / В. Феллер. – 2-е изд. К.,2003 .

4. Бернштейн С.Н. Теория вероятностей / С.Н. Бернштейн. – 4-е изд. К. - Л., 2003 .

Залож К., Середа А., студ. группы УПЭТ-16, ИЭФ, ДонНТУ Руководитель: Прач В.С., к.п.н., доцент кафедры высшей математики, ДонНТУ

РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В РОССИИ

Становление и развитие математики с XVII по XXI ст. как науки, возникновение ее новых разделов тесно связано с развитием потребностей общества в измерениях, контроле и т.п. Общество стало предъявлять новые требования к образованию, поэтому на первый план выдвигается личность, готовность к самостоятельности, обработке, анализу и организации информации, умение принимать Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

решения и доводить их до исполнения, в этом и заключается актуальность данной темы работы .

Роль и значение математики на протяжении 18-21 ст. менялись в связи с изменениями, которые происходили в социальной, экономической и культурной жизни страны .

В XVIII ст. произошли большие социально-экономические и культурные изменения в развитии России. Экономическая и политическая ситуация требовала наличие грамотных и квалифицированных рабочих, специалистов [1] .

Поэтому первой реформой Петра I, cтала реформа образования, в 1700 году. В этот период времени была создана сеть общеобразовательных школ и училищ, причем преподавание носило ярко выраженную математическую специализацию. В учебном плане отводилось арифметике, геометрии и тригонометрии. Для обучения математики был характерен догматический характер, т.е. необходимо было только запоминать правила и уметь применять их к задачам .

Первым математическим учебником нач. XVIII в. стала «Арифметика» Л.Ф. Магницкого, которая вышла в свет в 1703 г .

Данный учебник сыграл значимую роль в распространении математических знаний, в подготовке специалистов для государственных учреждений страны .

В 1765 г. выходит математический труд Д.С. Аничкова «Теоретическая и практическая арифметика», здесь теория сочеталась с практикой .

В эту же эпоху появились книги Н.Г. Курганова, С.Я. Румовского, Н.И. Фусса и др .

Так, «Письмовник» и «Числовник» Н.Г. Курганова сыграли роль, аналогичную «Арифметике» Л.Ф. Магницкого, т.е. автор не признавал длинных и туманных доказательств и заменял их объяснениями на конкретных примерах и задачах .

В «Кратком руководстве по геометрии» М.Е. Головина находилось минимальное количество теоретических сведений, при этом доказывались только простейшие теоремы .

Геометрический материал автора страдал догматизмом и сильно был насыщен практическим материалом в ущерб теории, предполагалось учить наизусть не только теорию, но примеры из задач .

Таким образом, в XVIII в. происходило зарождение русской печатной учебной математической литературы. Однако данные труды в практическом отношении отличались многими недочетами .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Обучение математики носило догматический характер, поэтому требовалось упростить изложение математических фактов, ввести новые примеры и задачи изменить доказательства, сделать изучение математики более живым и доступным .

В XIX в. в школьном образовании наблюдалась противоречивая ситуация: с одной стороны, педагогические и методические науки накопили значимый материал в сфере теории обучения и воспитания, с иной стороны – действовала устаревшая общеобразовательная система .

Итогом движения за преобразования стали съезды преподавателей математики, которые состоялись в ХХ в .

I съезд проходил с 27 декабря 1911 г по январь 1912 г в Петербурге, II съезд в 1913 г. В Москве, но наибольший интерес представляет второй съезд в Москве. Здесь выступали известные ученые-математики Н.А. Извольский, А.Р. Кулишер,

– К.Ф. Лебединцев и др .

Ученые-математики пришли к единому выводу, что необходимо заменить догматизм и формализм при изучении математики .

Необходимо применить иные методы обучения, и это было отражено в резолюции съезда .

Другими словами, прежде чем что-то доказывать, нужно, чтобы ученик выполнил определенное упражнение. В результате, таким образом организационной работы «конкретно-индуктивный метод обучения уберет лишний догматизм» .

Таким образом, необходимо отметить, что методика преподавания математики в XVIII-XIX в,. не была еще сформирована в самостоятельную научную область .

В основном все сводилось к методическим рекомендациям по решению задач и изучению теории предмета .

Содержание образования составляли предметные знания, знания представлялись заученной информацией и ее воспроизведением за счет решения «типичных» задач .

Овладение способами решения этих задач являлось главной целью при обучении математики, а теория выступала в качестве достижения этой цели. Задачи и примеры заучивались, как и теория [2] .

ХХ в. для России был началом потрясений – революционные движения, Первая мировая война, все это привело к коренным социальным преобразованиям, которые коснулись и образования .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

В этот период времени сложились основы систематического школьного курса математики, который состоял из 4-х учебных дисциплин: арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии .

На пути к прогрессу стояла довольная формализованная и застывшая система обучения .

В 1918 г. были напечатаны первые советские программы по математике, которые насквозь были пронизаны идеями реформистского движения .

В программе большое внимание уделялось связи теории и практики, роли наглядно-иллюстративного метода. В программах 1920-1921 гг. все же были и свои недочеты, но они более полно отражали передовые идеи прогрессивных методистов начала ХХ в .

В объяснительной записке к программе по математике вносилось много нового в методы преподавания. В ней отражалось требование о том, чтобы отходить от схоластических, формальных методов обучения математики, которые использовались в дореволюционный период времени .

В учебных материалах нач. ХХ в. теория давалась вместе с практикой, устанавливая своего рода связь. В учебники входили задачи на применение теории, которая состояла из определенных понятий, суждений, формул, правил .

Теория усваивалась за счет запоминания и воспроизводилась при решении задач .

С середины ХХ в. задачам на этом этапе отводилась незначительная роль: их использовали только в качестве тренажёра в применении теории .

С середины 50-х гг. ХХ в. большой размах получило движение за реформирование математического образования. Среди главных направлений были такие, как приведение содержания обучения математики в соответствие с требованиями современного времени .

В 1966 г состоялся в Москве состоялся международный съезд математиков, где активно уделялось внимание преподаванию математики, математической деятельности, факторам, которые должны стимулировать развитие этой деятельности [3] .

Был сделан вывод, что решение задач считается более эффективной формой, поэтому вопросы, как методика решения задач, роль и место задач в обучении, должны быть в центре преподавания математики .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Революционные изменения программы и учебного материала по математике ожидало школу в 1970/71 гг., когда происходил переход на новую систему обучения математики .

В этот период времени стал распространяться теоретикомножественный подход в построении курса математики, широкое использование логико-математической символики и в целом идея повышения теоретического уровня обучения стало интересовать советское образование В декабре 1978 г. на Общем собрании отделения математики Академии наук СССР было рекомендовано создать новую программу и новые учебники по математике. Для этого потребовалось целое десятилетие .

Так, в 1987-1988 гг. состоялся всесоюзный конкурс. Его победители –новые учебники математики – Н.А. Кузнецов «Сборник задач по вышей математике», В.В. Березина «Математическая подготовка детей в дошкольных учреждениях»

Анализ определенной роли задач в обучении математики различных исследований с середины ХХ в. до начала ХХI выявил различия в их взглядах .

Так, Ю.М. Колягин в своей работе «Бунт российского министерства и отделения математики АН СССР: Материалы по реформе школьного математического образования 1960-1970-х гг.»

подходит к этой проблеме с точки зрения «задача-обучающийся» .

А.А. Столяр в работе «Логические проблемы преподавания математики» рассматривает трехблочную схему «задача – теория – задача» .

Первый блок «задача» – это отправной пункт, источник рождения, развития теории – математических фактов, понятий, теорем .

Третий блок «задача» связан с применением теории. Такая схема проводит реализацию принципа обучения через задачи только в самом начале и в самом конце, средний этап лишен должного внимания .

По мнению Г.И. Саранцева, в труде «Общая методика преподавания математики» указывал, что А.А. Столяр очень узко смотрит на роль задач в изучении теории в процессе обучения математики, а именно при изучении математических понятий, теорем, способов их доказательства; роль задач в обучении математике должно оцениваться в совокупности «обучающийся – система задач» [4] .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Г.И. Саранцев, проанализировав процесс формирования математических понятий и усвоения теорем и выделил требования к задачам.

При формировании понятий математические задачи должны:

- способствовать мотивации введения понятий, усвоению существенных свойств, их синтезированию, усвоению терминологии, символики, пониманию значения каждого слова в определении, запоминанию определений, овладению объемов понятия;

- выявить существенные свойства понятий;

- раскрывать взаимосвязь понятий с иными понятиями;

- обучать применению понятия .

В организации усвоения теоремы задачи должны:

- способствовать мотивации введения теоремы;

- способствовать пониманию значения каждого слова в формулировке теоремы;

- выявлять закономерность, отраженную в теореме;

- обеспечивать восприятие идеи доказательства;

- раскрывать приемы доказательства; обучать применению теоремы;

- устанавливать взаимосвязь изучаемой теоремы с иными теоремами.[3] Каждое требование реализуется за счет определенных задач .

С середины ХХ в. задача выступает в качестве средства возникновения, развития и применения теории .

В конце ХХ в. роль задач в обучении математики меняется:

здесь уже задача применяется и в процессе изучения и усвоения теории .

Таким образом, с начала XXI в. математика переживает глубокое преобразование, связанное с изменением всех сфер общественной экономической, политической жизни страны .

Общество стало предъявлять новые требования к образованию и на первый план выходит личность, готовность к самостоятельности, обработке, анализу и организации информации, умение принимать решение и доводить их до исполнения .

Таким образом, можно сделать вывод, что русская математика прошло долгий путь в своем развитии. На сегодняшний день, чтобы человечество развивалось, причем развивалось плодотворно, нужны не только «лучшие умы», но и свежие идеи .

А для этого необходимы креативные люди с необычным мышлением, широким кругозором, гибким умом. Чтобы все это было в Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

человеке, нужно чтобы он совершенствовал себя. Математика заставляет нас думать, анализировать .

Решение задач – это самая эффективной форма в обучении, поэтому вопросы, как методика решения задач, роль и место задач в обучении, должны быть в центре преподавания математики Литература

1. Бойко Е.А. История развития математики в России//Сборник:

Материалы XIX научной студенческой конференции. -2014,С.15-18

2. Долгарев И.А. История математики: учебное пособие.- Пенза:

Изд-во ПГУ, 2011,-66 с .

3.Зверкина Г.А. История математики: учебное пособие.М.:МГУ, 2005-288 с .

4. Саранцев Г.И. Общая методика преподавания математики.Саранск, 1999,-232 с .

Захаров В., студ. группы АУП-16, КИТА, ДонНТУ Руководитель: Зиновьева Я.В., к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики, ДонНТУ

ПРОБЛЕМЫ ЧИСЕЛ-БЛИЗНЕЦОВ

Введение. Нерешенных задач в математике еще очень много .

Интересно, что первая из них уходит, своими корнями в древнегреческую математику и носит название «проблемы чиселблизнецов». Как известно, натуральное число называется простым, если оно не имеет натуральных делителей, отличных от себя и единицы. Например, числа 2, 3, 5 – числа простые, а 4, 8, 9, 12 – не простые, а составные. Два простых числа, разность между которыми равна двум, называются числами-близнецами. Например, пары (3,5);

(5,7); (11,13); (17,19) и т.д. – пары чисел-близнецов. Если смотреть на первые элементы последовательности простых чисел, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, кажется, что вот-вот поймешь ее секрет, увидишь зависимость, общую формулу, дающую следующие члены Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

то оказывающиеся по-соседству, то прыгающие сразу через несколько позиций натурального ряда. На самом деле, такой формулы не существует .

Постановка задачи. Вопрос, связанный с числами-близнецами и до сих пор остающийся открытым, формулируется так: конечно или бесконечно число пар простых чисел-близнецов? Довольно часто гипотезу о числах-близнецах приписывают Евклиду. Разумеется, такого рода утверждения были грекам по силам, однако убедительных подтверждений этого факта нет. Впервые в печатной литературе эта гипотеза была высказана в 1849 году Альфонсом де Полиньяком в более общем виде: для любого четного числа 2k множество таких соседних простых чисел (то есть между которыми нет других простых), чтобы расстояние между ними в точности равнялось 2k, бесконечно. При k = 1 получаем оригинальную формулировку. Что касается термина «числа-близнецы», то он был введен в обиход математиком Вигго Бруном. Интерес Бруна к числам-близнецам был инспирирован, среди прочего, выступлением Эдмунда Ландау на Пятом Международном конгрессе математиков в 1912 году. Тогда Ландау сформулировал четыре задачи из теории чисел, решение которых, по его мнению, было недостижимо для математиков того времени. Гипотеза о числах-близнецах была одной из этих проблем .

Результаты. Допустим, по рассуждению Евклида, простых чисел лишь конечное число, а именно – N. Тогда пусть p1, p2, p3 …, pN – эти простые числа. Образуем число m = p1 * p2 * …, * pN + 1. Если m – простое, то мы сразу получаем противоречие с тем, что ряд p1, p2, p3 …, pN содержит все простые числа (т.к. m больше любого из чисел этого ряда) .

Допустим, m – число составное. Тогда m не может делиться ни на одно из чисел ряда p1, p2, p3 …, pN нацело, т.к. при делении на эти простые числа даст в остатке 1 .

Следовательно, должно существовать простое число p, отличное от чисел p1, p2, p3 …, pN. Таким образом, мы опять получили противоречие с предположением о том, что в ряду p1, p2, p3 …, pN перечислены все простые числа. Следовательно, простых чисел бесконечно много .

К сожалению, вопрос о том, конечно или бесконечно число пар простых чисел-близнецов, не решается так просто, и на сегодняшний день не известно ни одного содержательного, конструктивного подхода к доказательству этого утверждения. Существуют веские основания считать, что множество пар простых чисел-близнецов Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

бесконечно, но никому пока не удалось доказать, что это действительно так .

Насколько нам известно, в настоящее время самые большие числа-близнецы – это следующая пара (100 000 000 061,100 000 000 063). Здесь, по хорошей традиции, автор должен ответить на вопрос «А зачем все это нужно?» Приведем такой пример. В 1994 году математик Томас Найсли вычислял константу Бруна. Делал он это грубой силой, то есть считая сумму дробей для пар чисел-близнецов .

Когда дело дошло до пары (824633702441,824633702443), в машинной выдачи обнаружились странности. В частности, суммы, посчитанные до добавления в сеть новых машин на базе Pentium, отличались от цифр, полученных после. Проведя несколько испытаний, Найсл пришел к выводу, что в процессорах Intel имеется какой-то дефект в системе деленя чисел с плавающей точкой. Несмотря на то, что неправильный результат в среднем выдавался в одном случае из 9 миллиардов, это привело к тому, что в 1995 году корпорация Intel потратила 475 миллионов долларов на замену содержащих дефект процессоров .

Выводы. Таким образом, проблема чисел-близнецов остается открытой.. В наш век компьютеров оказалось, что она верна для любого натурального числа до 100 000 000. Однако доказать, что она верна для любого из бесконечного множества натуральных чисел, пока никому не удалось .

Литература

1. Хрестоматия по истории математики. И.Г. Башмаков, Ю. А .

Белый. М. Просвещение, 1976.- 319с .

2. Болгарский Б. В. Очерки по истории математики. Минск, 1979.-368с .

3. Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире .

М.Наука, 1967.-367с .

–  –  –

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ В ИГРАХ

Введение. Вы когда-нибудь замечали, насколько удивителен наш мир? Вокруг нас происходит череда событий, развитее которых невозможно предсказать. В качестве примера можно взять обычную монетку, ведь нельзя узнать, какой стороной она упадет после подбрасывания. Производя точные измерения, можно получить лишь приблизительно равные, но отличающиеся друг от друга, результаты .

Нельзя совершенно верно предсказать объем продаж товаров за установленное время и сумму доходов от их реализации .

Эксперименты такого типа могут совершаться в одинаковых условиях, но их результат непредсказуем. Исходя из этого они называются случайными. Случайные события имеют множества различных примеров, таких как доходность акций, стоимость выполнения больших проектов, продолжительность жизни человека и многих других подобных ситуаций. Случайность и потребность в консолидации усилий по борьбе со стихией (природы, рынка и т.д.), точнее создание структур для возмещения неожиданного ущерба за счет взносов всех участников, породила теорию и институты страхования .

Это дает понять, что разнообразные явления, которые происходят случайно даже с однотипными предметами, могут иметь достаточные различия между друг другом .

Цель работы: Рассмотреть современные и исторические игры, провести их вероятностный анализ. Доказать на их примере, что используя формулу для нахождения математического ожидания, можно предугадать результат большинства игр .

Постановка задачи. Изучить древние и современные игры и рассмотреть методы их исследования. Проанализировать наиболее привлекательные игры. Показать роль теории вероятности в реальной жизни .

Бросание монетки. Проведем испытание. Возможны только два исхода. Выпадение герба или цифры. Следовательно, это два несовместных события, поскольку наступления одного из них Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

исключает наступление другого. Очевидно, что данные события являются равновозможными. Подобный опыт неоднократно проводился, результаты занесены в таблицу:

–  –  –

Наблюдаем, что при увеличении количества бросков результат максимально приближается к теоретической вероятности .

Лотереи. Еще в советские времена люди играли в лотерею .

Давайте попробуем посчитать шанс выигрыша в лотереи. Для начала поговорим о правилах .

В зависимости от варианта игры в купленной карточке, необходимо зачеркнуть 5 из 36 чисел, или же 6 из 49. После чего следует одну половину билета отправить по почте, а другую оставит себе. Выигрышная комбинация определяется при помощи лототрона и шаров .

Перейдем к математике. Чтобы узнать шанс выигрыша, нужно использовать данную формулу (где m – количество шаров, которые необходимо угадать, играя в лотерею, а n – количество шаров в лототроне) .

Рассмотрим в цифрах. Для лотереи 6 из 49:

–  –  –

Благодаря этому понятна незначительность шанса на выигрыш в лотерею. Вам кажется, что проще угадать 6 из 49 чисел или угадать одно число из 13983816? Нужно запомнить, что это одно и тоже .

Примерно из 14 миллионов игроков, только одному может выпасть шанс угадать все числа в лотереи .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Рулетка. Колесо рулетки Монте - Карло имеет 37 секторов, секторы 1, 3, 5, 7, 9,13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35 красные;

секторы 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36 чёрные и сектор 0, он же ZERO – зелёного цвета .

Секторы на колесе рулетки меняются между красным и черным, если не брать в счет 0. Такой порядок объясняется тем, что четные и нечетные, также как маленькие и большие числа могли чередоваться .

Ставки казино:

При ставке на число, также называющаяся прямой ставкой, ставится на одно единственное число, в случае выигрыша оплачивается 35:1, это значит, что при выпадении числа, которое вы выбрали, выигрыш будет равен 35 единицам, в остальных случаях вы проигрываете одну единицу(ставку) .

В случае ставки на 2 числа, вы ставите на два смежных числа в таблице на столе рулетки. На черту, разделяющую два номера ставится фишка. Если выпадает одно из двух чисел, то выигрыш оплачивается как 17:1 .

Ставка на строку С, т.е. ставка на 3 числа, как вы уже наверно догадались, это ставка на три числа в вертикальной строке таблицы .

На вертикальную черту, которая ограничивает черту справа, нужно поставить фишку. Если при одном вращении рулетки выпадает одно из выбранных трех чисел, то в этом случае выигрыш оплачивается 11:1 .

Ставка на строку D, т.е. ставка на 4 числа, которые образовывают квадрат на столе рулетки. Фишку нужно поставить между 4-мя номерами. Если при вращении колеса выпадает одно из этих чисел, то выигрыш составляет 8:1 .

Ставка на строку F, т.е. ставка на 6 чисел в двух строках, которые являются смежными. При выпадении одного из 6-ти выбранных чисел, выигрыш оплачивается как 5:1 .

Ставка на 12 чисел. Такие ставки можно совершить несколькими способами. Например, ставка на столбец (G) происходит на любой из трех столбцов, которые расположены горизонтально на столе. Фишку необходимо ставить на поле возле выбранной колонки .

Также существуют другие ставки на 12 чисел. (H) – первая дюжина (1 – 12), средняя дюжина (13 – 24) и последняя дюжина (25 – 36). Данные ставки оплачиваются как 2:1, если выпадет одно из выбранных чисел. Если же выпадет 0, то ставка проигрывает .

Ставки на 18 чисел. Ставка на красное или черное, т.е. ставка на цвет (I) .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Ставки на четные или не четные числа от 1 до 36, называется ставкой на чет-нечет (K). Ставка на числа от 1 до 18 имеет название малая ставка (J), а в случае с числами от 19 до 36 – большая ставка .

Если при одном вращение колеса рулетки выпадает число из выбранных, то выигрыш составляет 1:1. Такая ставка проигрывает, если выпадает 0 .

Определим величину ожидаемого выигрыша при различных ставках:

X – величина выигрыша (проигрыша) P(X) – вероятность выигрыша (проигрыша) .

Ставка на число .

–  –  –

Благодаря этому мы видим, что правила игры созданы так, что с повышением вероятности того, что произойдёт определённое событие, уменьшается ставка на это событие, при этом математическое ожидание остаётся неизменным Вывод. Теория вероятности, как и игры, появились в древних веках. Людям всегда было интересно какой шанс на удачу они имеют .

Но как показало исследование, шанс выигрыша в данных играх не большой, поэтому не стоит надеяться на возможность заработать на них. Несмотря на это, огромное количество людей по всему миру все же пытаются сделать это .

Данное исследование должно помочь людям не совершать ошибки, играя в азартные игры.

Работа доказывает, что несмотря на распространённое мнение, результат таких игры можно предугадать .

Благодаря рассмотрению азартных игр, которые пользуются популярностью, можно подобрать выгодные комбинации для игрока, применяя при этом формулу для нахождения математического ожидания .

Литература

1. Макарычев Ю.Н. Элементы статистики и вероятности / Ю.Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк. М.: «Просвещение», 2004 .

2. Мордкович А.Г. События. Вероятности. Статистическая обработка данных / А.Г. Мордкович, П.В. Семёнов. М.:

«Мнемозина», 2003 .

3. Колмогоров А.Н. Введение в теорию вероятностей / А.Н. Колмогоров, И.Г. Журбенко, А.В. Прохоров. –М.: Наука, 1982 .

4. Тарасов Л.В. Закономерности окружающего мира / Л.В. Тарасов. –М.: Физматлит, 2004 .

5. Сайт ru.wikipedia.org Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

–  –  –

ОСНОВОПОЛОЖНИК ЛИНЕЙНОГО

ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЖОРЖ БЕРНАРД

ДАНЦИГ Американский математик, чьи исследования внесли важный вклад в развитие таких дисциплин, как исследование операций, информатика, статистика и экономика. Данциг работал над проблемами линейного программирования, открытого за несколько лет до этого советским математиком и экономистом Леонидом Канторовичем (Leonid Kantorovich), а также разработал симплексный алгоритм, который применяется в решениях задач симплекс-методом .

Кроме того, его имя широко известно в связи с любопытным научным анекдотом – однажды Данциг решил две статистические задачи, которые не смог решить даже Эйнштейн, ошибочно приняв их за домашнее задание. Любопытно то, что эти задачи, как тогда считалось, решения не имели .

Данциг был почетным профессором транспортных наук и профессором исследования операций и информатики в Стэнфордском Университете (Stanford University) .

Он родился 8 ноября 1914 года в Портленде, штат Орегон (Portland, Oregon), и родители назвали его в честь писателя Джорджа Бернарда Шоу (George Bernard Shaw). Его отец, Тобиас Данциг (Tobias Dantzig), был математиком и лингвистом из прибалтийских немцев, а мать, Аня Данциг (Anja Dantzig) – французским лингвистом .

Родители Джорджа познакомились во время учебы в Сорбонне (Sorbonne University), где Тобиас изучал математику у Анри Пуанкаре (Henri Poincar), одного из величайших математиков всех времен - в его честь назвали брата Джорджа .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

История о нерешаемой математической задаче .

В 1939 году Данциг опоздал на одну из лекций Неймана и увидел на доске две задачи. Решив, что это домашнее задание, он переписал их. Задачи оказались 'немного сложнее, чем обычно', но через несколько дней Данциг справился с ними и сдал решение профессору. Через полтора месяца к Данцигу пришел взволнованный профессор Нейман и рассказал, что 'домашним заданием' опоздавшего аспиранта были две самые известные нерешенные задачи в статистической науке. Через год, когда Данциг задумался о теме диссертации, Нейман пожал плечами и посоветовал аспиранту переплести решение этих задач, которое и было принято в качестве докторской диссертации .

На самом деле, эта легенда объединяет одну из популярных студенческих фантазий, студент не только оказывается самым умным, но также превосходит преподавателя и всех учёных в определённой области, и причиной тому — "позитивное мышление", которое встречается довольно часто: когда люди свободны преследовать свою цель, освобождённые от ограничений того, что они могут достигнуть, в результате чего совершают экстраординарные подвиги, объединив врождённый талант и упорную работу .

Симплекс-метод. Это алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном пространстве. Сущность метода: построение базисных решений, на которых монотонно Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

убывает линейный функционал, до ситуации, когда выполняются необходимые условия локальной оптимальности .

Исторически общая задача линейного программирования была впервые поставлена в 1947 году Джорджом Бернардом Данцигом, Маршаллом Вудом и их сотрудниками в департаменте военновоздушных сил США .

Задача линейного программирования состоит в том, что необходимо максимизировать или минимизировать некоторый линейный функционал на многомерном пространстве при заданных линейных ограничениях .

Заметим, что каждое из линейных не равенств на переменные ограничивает полупространство в соответствующем линейном пространстве. В результате все неравенства ограничивают некоторый многогранник бесконеч.), называемый также (возможно, полиэдральным комплексом .

Общей задачей линейного (стандартной) программирования называется задача нахождения минимума линейной целевой функции (линейной формы) вида:

Задача, в которой фигурируют ограничения в форме неравенств, называется основной задачей линейного программирования (ОЗЛП) Задача линейного программирования будет иметь канонический вид, если в основной задаче вместо первой системы неравенств имеет место система уравнений с ограничениями в форме равенства:

Задачи линейного программирования наиболее общего вида (задачи со смешанными ограничениями: равенствами и неравенствами, Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

наличием переменных, свободных от ограничений) могут быть приведены к эквивалентным (имеющим то же множество решений) заменами переменных и заменой равенств на пару неравенств .

Признание и награды. Джордж Данциг стал первым лауреатом Теоретической премии фон Неймана (1974). Он получил национальную научную медаль США (1975) и стал почётным доктором Мэрилендского университета в Колледж-Парке (1976). В 1985 году в Израиле удостоен премии Харви .

В 1970-е годы он был избран в Национальную академию наук США, Национальную инженерную академию[en], Американскую академию искусств и наук, присоединился к Phi Beta Kappa Мэрилендского университета и получил почётное звание «крайлеевского профессора транспортных наук» в Станфорде .

В 1979 году Общество математического программирования (англ. Mathematical Programming Society, MPS) и Общество промышленной и прикладной математики[en] (англ. Society for Industrial and Applied Mathematics, SIAM) учредили премию Данцига (англ. The Dantzig Prize), которую вручают каждые три года, начиная с 1982, за оригинальные исследования, внёсшие выдающийся вклад в математическое программирование .

–  –  –

ВЕЛИКАЯ ТЕОРИЯ ФЕРМА ОТ

ПОЯВЛЕНИЯ ДО ПОЛНОГО

ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

Введение. Великая теорема Ферма или же Последняя теорема Ферма — одна из самых знаменитых теорем математики. Она формулируется на простом арифметическом уровне, однако доказательство теоремы искалось многими математики на протяжении более трёхсот лет. А ее доказательство представил в 1995 году великобританский математик Эндрю Уайльс .

Постановка задачи .

Цель работы: изучить историю теоремы Ферма и путь к ее доказательству .

Результаты. В XVII веке французский юрист и по совместительству математик-любитель Пьер Ферма был интересован в поиске каких-либо возможных четвёрок, состоящих исключительно из положительных целых чисел, для которых выполняется данное an+bn=cn .

равенство: (1) Бесконечное количество троек чисел можно без особого труда найти при n= 2, для которых выполнено равенство (1). Все эти числа образуют пифагоровы тройки: (3,4,5), (6,8,10) и так далее. И они легко находятся по формулам xa, xb, xc при x=1,2,3…,n .

Пьер Ферма пришёл к убеждению, что равенство (1) истинно верное только лишь при n=2 и сформулировал свою известнейшую теорему .

Итак, Великая теорема Ферма гласит, что для всякого целого n n n положительного n 2 равенство a +b =c не будет иметь положительных целых решений для a,b,c .

Эта теорема была сформулирована математиком на полях трудов Диофанта – «Арифметики». Пьер Ферма, оставляя свои пометки, записал данную теорему с маленькой припиской, о том, что отысканное им доказательство для этой теоремы «слишком длинное, чтобы его можно было поместить на полях данной книги» .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Само равенство упоминалось еще задолго до самого Пьера Ферма. Первое задокументированное свидетельство о попытке доказать данную проблему было зафиксировано еще в Х веке, арабским математиком ал-Ходжанжи. Он доказал её для случая с n=3, но сам текст его логических выводов, увы, не сохранился .

Пьер Ферма же приводит доводы о своей теореме в виде решения только для показателя n=4. И это добавляет огромные сомнения в том, что, у него были вообще какие-либо доказательства для общего случая данной проблемы .

После смерти Ферма, в 1680-х годах, его сын опубликовал примечания отца к работе Диофанта. В них и находилась сама формулировка данной проблемы. Этот труд француза привлёк немалый интерес различных его современников – математиковпрофессионалов и простых любителей. Многие из них пытались доказать проблему Ферма, не только при каких-то определенных значениях n, но и в обобщенном виде. И не смотря на простоту вопроса, все их многочисленные попытки в итоге были тщетными .

Спустя 200 лет, Леонард Эйлер смог привести первое доказательство при n=3. Через 50 лет французский математик Адриен Мари Ленжар вместе с немецким математиком Петером Дирихле предоставили его для показателя n=5. А затем Габриель Ламе - для показателя n=7 .

Но все ещё, на этом временном участке, теорема оставалась не доказанной для абсолютно любых значений a,b,c,n .

В 1837 немецкий математик Эрнст Куммер стал углубленно изучать проблему Ферма, и спустя семь лет смог доказать, что данная теорема верна для всех простых чисел n до 100 за вполне вероятным исключением для n = 37, 67,59 .

В этот период времени, Последняя теорема Ферма неожиданно для всех стала весьма знаменитой среди дилетантов и самоучек .

Ферманистами начали называть всех, кто когда-либо выдавал именно своё доказательство верным и, в итоге, оказывался не прав .

Они нередко не владели даже базовыми знаниями в математической культуре и допускали элементарные ошибки в арифметике и логических заключениях. Некоторые из ферманистов специально закручивали и представляли весьма изощрённые «доказательства», в которых без глубокого и детального анализа было трудно найти хоть какую-то ошибку .

В начале 1908 года в Германии учредили премию для любого математика в размере 100 000 марок, который сможет доказать эту Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

теорему. Фонд для выплаты призовых денег был профинансирован Паулем Вольфскелем – известным немецким промышленником .

Спустя несколько месяцев Геттигенское Королевское научное общество обнародовало условия этого конкурса, которое состояло всего из девяти пунктов .

В начале ХХ особых успехов в доказательстве Последней теоремы Ферма не было зафиксировано. Все из когда-либо приставленных текстов были просто напросто не правильными или содержали ошибки в логических выводах .

Однако в 1955 году молодой японский математик Ютака Танияма предоставил утверждение из совершенно иной области в математике, которая никаким образом не контактировала с проблемой Ферма. Гипотеза математика гласила, что всякая эллиптическая кривая соответствует определенной модулярной форме .

С самого начала данную гипотезу в научных кругах посчитали полным абсурдом. Она противоречила многим уже известным в математике фактам. Ее не восприняли в серьез, назвав полным вздором. Вследствие этого, Ютака Танияма покончил жизнь самоубийством – он не смог вынести позора, который принёс ему труд всей его жизни .

Десятилетие о данной гипотезе никто не разговаривал, однако семидесятые годы она стала известной среди круга математиков – её считали полностью верной все, кто смог правильно понять написанное. Однако, как и теорема Ферма, гипотеза оставалась полностью недоказанной .

Еще через пятнадцать лет в математике совершилось открытие, которое смогло связать гипотезу японца и теорему Ферма. Герхард Грей официально утвердил, что если будет доказана или опровергнута гипотеза Таниямы, то и произойдет доказательство проблемы Ферма .

То есть данная проблема являлась прямым следствием гипотезы Таниямы .

После появления более мощной вычислительной техники, в частности компьютера, значение n стало стремительно поднимать верхний предел. Данный придел стал доходить до 600 в начале Второй мировой войны, в пятидесятых годах порог составлял 4000, а к началу восьмидесятых – целых 125 000!

Уже к концу XX века учёные из США смогли запрограммировать военные суперкомпьютеры на решение задачи Ферма. Вследствие работы программного кода, удалось доказать, что данное равенство является абсолютно верным для колоссальных Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

значений a,b,c и n, но строгим доказательством это, увы, не являлось, поскольку всякая следующая четвёрка значений могла всё просто опровергнуть .

В 1980-х годах прошла очередная волна доказательств теоремы .

Одним из шагов, который приблизил мир к доказательству проблемы Ферма, стал новый подход, который предложил немецкий математик Фалтингс. Из его гипотезы, доказанной в 1983 году, следует, что уравнение (1) при n 3 может иметь только конечное число взаимно простых решений .

Окончательный шаг в решении данной проблемы сделал великобританский математик Эндрю Джон Уайлс. Уже 1994 году он, опубликовал свое доказательство гипотезы Таниямы, следствием которой и является Последняя теорема Ферма. Его публикация после ряда доработок и поправок, вызвала фурор и была признана верной .

Само доказательство занимало чуть более ста страниц, и было напечатано в американском научном журнале «Анналы математики» .

Оно полностью было основано на использовании современного аппарата высшей математики, которого в эпоху Ферма естественно не существовало .

Вывод. Во время написания данной статьи была изучена хронология доказательства Великой теоремы Ферма и прослежено, какую немаловажную роль она сыграла в истории математики. На протяжении продолжительного участка времени, проблема Ферма отличилась не только в математике, но и в культурной жизни человечества, породив целое новое течение в научной сфере – течение ферманистов .

И не смотря на свою простейшую формулировку, эта проблема стала одной из самых известных и сложнейших в истории .

Литература

1. Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей. — М.: Мир, 2003 .

2. Виолант-и-Хольц, Альберт. Загадка Ферма. Трёхвековой вызов математике. — М.: Де Агостини, 2014. — 151 с .

3. Сингх С. Великая теорема Ферма. — М.: МЦНМО, 2000 .

–  –  –

ДИОФАНТ И ФЕРМА

(к истории касательных и экстремумов) Введение. Вопрос о решении неопределенных или диофантовых уравнений в рациональных числах занимает одно из центральных мест в современной математике. С ним связаны как проблемы теории чисел, так и проблемы алгебраической геометрии. В последнее время диофантовы уравнения послужили областью приложения математической логики: с ее помощью была доказана алгоритмическая неразрешимость некоторых классов неопределенных уравнений .

Напомним, что и знаменитая Великая теорема Ферма представляет одну из задач этой же теории .

Но, несмотря на то, что усилия многих ученых и среди них таких, как Гильберт и Пуанкаре, были направлены на исследование проблем диофантовых уравнений, теория их, по существу, только строится .

Поясним постановку вопроса. Пусть задано уравнение F(x,y)=0 (1), где F(x,y)- многочлен с целыми или рациональными коэффициентами.

Тогда относительно (1) ставятся следующие проблемы:

1.Исследование разрешимости (1), т.е. исследование того, существует ли пара рациональных чисел a,b такая, что F(a,b)=0 .

Ищутся общие критерии разрешимости того или иного класса неопределенных уравнений .

2.Определение того, имеет ли (1) конечное или бесконечное множество решений. В первом случае требуется определить границы для числа решений .

3.В случае конечного числа решений требуется найти способ для их действительного нахождения. В случае бесконечного числа решений- способ для определения всех решений, например, явные формулы, выражающие x и y как рациональные функции параметра (или нескольких параметров ) .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

4. Наконец, ставится задача об исследовании алгебраической структуры множества всех решений. Аналогические вопросы ставятся и относительно системы неопределенных уравнений .

Мы ничего не знаем о Диофанте. Знаем, что его арифметика состояла из 13 книг, но до нас дошли только 6. Язык книг – это язык новой алгебры, построенной на основе арифметики, а не геометрии .

Существенно новый шаг по сравнению с числовой алгеброй Древнего Востока заключается во введении буквенной символики и явной формулировке правил алгебраических операций. Все построение проводится на основе более широкого понятия чисел .

Книга Диофанта свидетельствует о наличии достаточно развитой буквенной символики. Значение этого шага огромно. Только после этого могло быть создано буквенное исчисление, развит формульный аппарат, позволяющий часть наших мыслительных операций заменить механическими преобразованиями. Завершение создания буквенного исчисления произошло только в конце XVIначале XVII вв. в трудах Виета и Декарта, т.е. история вопроса растянулась на 14 столетий .

Одновременно с введением символики Диофант явно формирует основные правила алгебраических операций. После этого он формулирует правило умножения относительных чисел, т.е .

расширяет ту числовую область, над которой строится алгебра. Хотя в начале книги Диофант и повторяет, что число есть собрание единиц, но оперирует он и с отрицательными и с рациональными числами .

Основная проблема это решение «Арифметики»неопределенных уравнений в положительных рациональных числах .

Неизвестное – напомним, что Диофант называет его числом, - может быть как целым, так и дробным. Эти случаи не различаются, решение ищется во всей области рациональных чисел, больших нуля. Диофанту не чуждо и представление об иррациональном числе: так, в задаче 9 кн. IV он пишет, что число получается иррациональным .

Итак, в алгебру вводится символика, обращается существенное внимание на правила алгебраических операций и по существу расширяется понятие числа. Перед нами новая арифметика и новая алгебра. Но больше поражает круг проблем, которые ставит и решает Диофант и которые до сих пор носят его имя. Начиная с книги II он занимается уравнениями 2-го порядка от двух переменных F2(x,y)=0 (2), и системами уравнений 2-го порядка от трех и более переменных .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

В декартовых координатах (2) является уравнением конического сечения. Рациональным решением отвечают рациональные точки кривой. Для кривых вида (1) Диофант устанавливает, по существу, следующую теорему: кривая 2-го порядка либо содержит бесконечно много рациональных точек, либо не содержит их вовсе .

Это следует из метода, которым Диофант находит рациональные точки кривой, если одна точка известна. Если a,b – рациональная точка кривой(2), т.е .

F2(a,b)=0 (3), то Диофант делает подстановку y = b+k(x-a) или y=b+k, x y=a+ и получает F2(a +, b + ) = F2 (a,b) + A(a,b)k B(a,b) + 2C(a,b,k) = 0 Свободный член этого уравнения обращается в ноль в силу (3) .

Поэтому, т.е. рационально выражается через параметр k. Каждому рациональному k будет отвечать рациональная точка кривой. Геометрически это означает, что Диофант проводит через рациональную точку (a,b) прямую y – b = k(x-a) и ищет ее вторую точку пересечения с кривой (2). Если k – рационально, то и вторая точка пересечения необходимо будет рациональной .

Если заданное уравнение имеет вид y2=A2x2 + B x +C, то Диофант несколько видоизменяет прием, полагая y =A x + m ;

тогда Легко видеть, что этот прием соответствует случаю, когда бесконечно удаленная точка кривой является рациональной. Через нее и проводит линию Диофант. Для иллюстрации:

a2 =x2 + y2 .

Одно из решений будет x0 = 0, y0 = - a, поэтому Диофант делает подстановку x =, y = k - a. В силу того, что Диофант имеет символ для обозначения только одной неизвестной, он берет k = 2, a = 4 и проделывает все для этих конкретных значений .

Тогда a2 + 2 +(k – a)2 Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

или Тогда a2 + 2 +(k – a)2 или,y=k-a x==, a(у Диофанта y = ) .

Именно к этой задаче 14 веков спустя сделал свое знаменитое примечание П.Ферма:

«Наоборот, совершенно невозможно разложить куб на сумму кубов, биквадрат на сумму биквадратов и вообще степень, большую квадрата, на сумму двух степеней того же показателя. Я дал этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.»Это предложение получило вскоре широкую известность под именем Большой или Великой теоремы Ферма .

Выводы. Эпоха Диофанта, как мы говорили, еще мало изучена .

Но уже теперь ясно, что истории науки она не была временем застоя или упадка.

Те отдельные факты, которые нам известны :

«Арифметика» Диофанта, арифметические исследования Лаодикийского, преподавание по Диофанту, книги которого весьма нетривиальны, решительные изменения во взглядах на число, на соотношение между алгеброй, арифметикой и геометрией, обширные показания фактов алгебраической геометрии - все это позволяет говорить о новом расцвете античной мысли. Возникает грандиозная картина, которую наше воображение может дорисовать по тем фрагментам, которые от нее сохранились. Но увы, пока это только наша реконструкция. И делая ее, мы разрешаем себе предполагать только голодный минимум, необходимый для самого существования тех прекрасных произведений, которые до нас дошли. А ведь действительность могла быть гораздо богаче! Поэтому, как мне кажется, одна из первостепенных задач истории науки состоит в изучении сочинений ученых начала нашей эры. При этом не надо пренебрегать и трудами философов – если понять по настоящему их терминологию, которую до сих пор представляли одним только филологам, то и они могут открыть много нового и неожиданного в истории математике .

Литература

1. Старова Е.Г. Диофантов анализ / Математическая культура инженера -2013.-С 18-25

2. Мироненко Л.П. Заметки по некоторым разделам линейной алгебры и аналитической геометрии. Донецк, 2016 .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

3. Гулько С.Е. Теорема Ферма-1981 .

4. Постников М.М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел.-1978 .

5. Башмакова М.Г. Диофант и диофантовы уравнения.-1972 .

6. Шмидт В. Диофантовы приближения.-1983

7. Диофант А. Арифметика и книга о многоугольных числах.Остапюк А., студ. группы БСс-16, ГГФ, ДонНТУ Руководитель: Рудакова О.А., к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики, ДонНТУ

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ

Введение. Начало исследования этой спирали связано с навигацией. На протяжении XVI и XVII веков тысячи судов бороздили океаны, мореплаватели знали, что на поверхности Земли кратчайшее расстояние между двумя точками дает дуга окружности, но чтобы двигаться по такой дуге следует непрерывно менять направление движения. Поэтому этот оптимальный курс заменяли другим, таким, чтобы угол, под которым корабль пересекал все меридианы, был постоянным. Этот курс оставался постоянным. Траектории такого вида образуют на земной поверхности кривые, которые называются локсодромами. Однако моряки не работали на сфере, их карты были плоскими, они представляли собой проекции сферы. Ну а проекция сферы на плоскость преобразует локсодрому на ней в логарифмическую (или равноугольную) спираль .

Логарифмическая спираль или изогональная спираль – это особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Впервые была описана Рене Декартом, который искал кривую, обладающую свойством, подобным свойству окружности, так чтобы касательная в каждой точке образовывала с радиус-вектором в каждой точке один и тот же угол, поэтому логарифмическую спираль называют равноугольной спиралью (см. Рис.1) .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Рис.1 Отцом этой спирали является Якоб Бернулли, который ее полностью изучил, и которого она настолько заворожила, что он просил изобразить ее на его могиле, на кладбище в Базеле с надписью “Eadem mutata resurgo’’ (“Измененная, я вновь воскресаю’’). Однако, каменотес не был хорошим математиком, и вырезал на камне практически идеальную архимедову спираль. При определенных значениях параметра логарифмическая спираль графически мало отличима от спирали Архимеда. Возникающие споры относительно предпочтения той или иной спирали отражают методический подход исследователей к изучаемому явлению или объекту. Если исследователь предпочитает простоту вычислительных операций, то при описании конфигураций, близких к окружности, он выберет уравнение спирали Архимеда; если же он желает познать процесс формообразования, рассмотреть изменение формы объекта в его динамике, развитии, то в аналогичной ситуации следует предпочесть логарифмическую спираль .

Я. Бернулли обнаружил некоторые свойства этой кривой, которые остались не замеченными Декартом, в том числе тот факт, что логарифмическая спираль – единственная кривая, эволюта, эвольвента, каустика и подера которой также являются, в свою очередь, логарифмическими спиралями. Эволюта плоской кривой – множество центров кривизны кривой. По отношению к своей эволюте любая кривая является эвольвентой, т.е. кривой, нормаль в каждой точке которой является касательной к исходной кривой. Каустика огибающая семейства лучей, не сходящихся в одной точке. Каустики в оптике – это особые линии (в двухмерном случае) и особые поверхности, вблизи которых резко возрастает интенсивность светового поля. Подера кривой относительно некоторой точки – это множество оснований перпендикуляров, опущенных из этой точки на касательные данной кривой. Я. Бернулли обнаружил еще одну необычную особенность, самоподобие, которая прямо связывает эту спираль с фракталами .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Постановка задачи. Рассмотрим построение, некоторые свойства логарифмической спирали, а также ее примеры в природе и технике .

Результаты. Логарифмическая спираль задается уравнением j, где r - расстояние от точки, вокруг которой закручивается r= a спираль (ее называют полюсом), j - угол поворота относительно полюса, a - постоянная величина. Спираль называется логарифмической, так как логарифм расстояния log a r возрастает пропорционально углу поворота j .

Рассмотрим способы построения логарифмической спирали .

Первый способ .

Рассмотрим произвольный “золотой прямоугольник” 1 .

(это прямоугольник, длины сторон которого находятся в “золотой пропорции”), то есть такой, у которого стороны находятся в a b = = 1, 618 .

отношении b ( a + b) Отсечем от прямоугольника квадрат. Нетрудно 2 .

показать, что оставшийся меньший прямоугольник также будет “золотым” .

Впишем в квадрат четверть окружности .

3 .

Будем повторять шаги 2-3 до тех пор, пока сторона 4 .

квадрата не станет совсем маленькой, например, меньше 2 (см. Рис.2) .

Рис.2 Второй способ .

Еще один из способов вычерчивания логарифмической спирали основан на использовании равнобедренного треугольника, стороны которого находятся в золотом отношении к основанию (Рис. 3) .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Рис.3 Углы при основании такого треугольника равны 72°, что вдвое больше угла при вершине, равного 36°. Именно из таких золотых треугольников построена пентаграмма. Точка пересечения биссектрисы угла при основании с противолежащей стороной делит эту сторону в среднем и крайнем отношении, при этом весь треугольник разбивается на два меньших треугольника, один из которых подобен исходному. В свою очередь этот треугольник также можно разбить на два еще меньших треугольника, проведя в нем биссектрису угла при основании, и т.д. Продолжая неограниченно этот процесс, получим бесконечную последовательность вращающихся треугольников, чьи вершины, так же как и вершины вращающихся квадратов, описывают логарифмическую спираль. Полюс этой спирали лежит на пересечении двух медиан .

Отметим лишь некоторые свойства логарифмической спирали:

так, например, произвольный луч, выходящий из полюса спирали, пересекает любой виток спирали под одним и тем же углом;

логарифмическая спираль не изменяет своей природы при многих преобразованиях, к которым чувствительны другие кривые, т.е. сжать или растянуть эту спираль – то же самое, что повернуть ее на определенный угол; если вращать спираль вокруг полюса по часовой стрелке, то можно наблюдать кажущееся растяжение спирали .

Логарифмическая спираль - единственный тип спирали, не меняющей своей формы при увеличении размеров. Это свойство объясняет, почему она так часто встречается в природе. Еще И. Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Царство животных предлагает примеры спиралей раковин улиток и моллюсков. Все эти Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

формы указывают на природное явление: процесс накручивания связан с процессом роста. В самом деле, раковина улитки – это не больше, не меньше, чем конус, накрученный на себя. Рога жвачных животных тоже, но они к тому же витые. И хотя физические законы роста у разных видов различны, математические законы, которые управляют ими, одинаковы: все они имеют в основе геометрическую спираль, самоподобную кривую. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. В XIX веке уже не художники, а ученые-экспериментаторы, изучавшие закономерности филлотаксиса (расположение цветков), вновь обратились к золотой пропорции. Оказалось, что цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках и т. д. "упакованы" по логарифмическим спиралям, завивающимся навстречу друг другу. При этом числа "правых" и "левых" спиралей всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи (13:8, 21:13, 34:21, 55:34), предел последовательности которых является “золотая пропорция” .

Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост тканей в стволах деревьев. Паук плетет паутину спиралеобразно, спиралью закручивается ураган, испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали, молекула ДНК закручена двойной спиралью, волосы у многих людей также завиваются в виде спирали. Величайшие из всех спиралевидных образований в природе – спиралевидные галактики и их движение, диаметры которых измеряются тысячами световых лет .

Применения логарифмической спирали в технике основаны на свойстве этой кривой пересекать все свои радиус-векторы под одним и тем же углом. Так, например, вращающиеся ножи в различных режущих машинах имеют профиль, очерченный по дуге спирали, благодаря чему угол резания, т.е. угол q между лезвием ножа и p

- m и, направлением скорости его вращения, остается равным следовательно, неизменным в силу постоянства угла m. В зависимости от обрабатываемого материала требуется тот или иной угол резания, что обеспечивается выбором параметра соответствующей спирали. На рис.4 представлен нож соломорезки .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Рис.4 В гидротехнике по логарифмической спирали завертывают трубу, подводящую ток воды к лопастям турбинного колеса .

Постоянство угла m обеспечивает здесь то, что потери энергии на изменение, и, следовательно, напор воды используется с максимальной производительностью .

В теории механизмов логарифмическая спираль применяется при проектировании зубчатых колес с переменным передаточным числом (Рис.5) Рис.5 Вывод. Логарифмическую спираль называют самой красивой из математических кривых. Это единственная математическая кривая, следующая форме роста, выраженной в “чудесной спирали”, которую обычно называют раковиной наутилуса. Две части этой спирали могут отличаться размерами, но никак не формой .

Литература

1. Логарифмическая спираль [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Логарифмическая_спираль Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

2. Якоб Бернулли. Логарифмическая спираль [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://hijos.ru/2011/04/13/yakob-bernullilogarifmicheskaya-spiral/

3. Логарифмическая спираль [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://zabika.ru/adpopad/1.+Открытие+Архимедаd/main.html Сметанин А., студ. группы АСУ-16, ФКНТ, ДонНТУ Руководитель: Рудакова О.А., к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики, ДонНТУ

ИСТОРИЯ СОЗДАНИЯ ИНТЕГРАЛА

Введение. При изучении такого важного раздела в высшей математике как интеграл, уделяется крайне мало времени изучению истории его создания и развития .

Постановка задачи. Целью данной работы является описание истории создания интеграла .

Результаты. В переводе с латинского языка интеграл означает «целый». Это одно из наиболее важных и распространенных понятий в высшей математике, которое появилось из-за необходимости находить функции по их производным или измерять объёмы, площади, работу нескольких сил за конкретный промежуток времени, длины дуг и т.д .

В соответствии с этими задачами принято выделять определённые и неопределенные интегралы. История возникновения интеграла тянется еще с 408-355 гг. до н.э. Евдокс Книдский (ок. 408-355 гг. до н.э.) – древнегреческий учёный. Дал полное доказательство теоремы об объёме пирамиды; теоремы о том, что площади двух кругов относятся как квадраты их радиусов. При доказательстве он применил так называемый метод «исчерпывания», который нашёл своё использование (с некоторыми изменениями) в трудах его последователей. Через две тысячи лет метод «исчерпывания» был преобразован в метод интегрирования, с помощью которого удалось объединить самые разные задачи – вычисление площади, объёма, массы, работы, давления, электрического заряда, светового потока и многие, многие другие .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Вслед за Евдоксом метод «исчерпывания» и его варианты для вычисления объёмов и площадей применял древний учёный Архимед .

Успешно развивая идеи своих предшественников, он определил длину окружности, площадь круга, объём и поверхность шара. Он показал, что определение объёмов шара, эллипсоида, гиперболоида и параболоида вращения сводится к определению объёма цилиндра .

Выражаясь современным языком, Архимед определил интегралы .

Подобные методы независимо разрабатывались в Китае в III столетии нашей эры Лю Хуэйем. Он использовал их с целью определения площади круга .

Следующий внушительный прогресс в исчислении интегралов произошел только в XVI веке. В работах с методом неделимых Кавальери, а также в научных трудах Ферма, были заложены основы сегодняшнего интегрального исчисления .

Последующие шаги были сделаны в середине XVII столетия Торричелли и Барроу, которые предоставили первые намеки на взаимосвязь между дифференцированием и интегрированием .

Основные понятия интегрального исчисления введены в работах Ньютона и Лейбница в конце XVII века. Лейбницу принадлежит обозначение интеграла, напоминающее об интегральной сумме, как и сам символ, от буквы («длинная s») — первой буквы в латинском слове summa (тогда umma, сумма). Сам термин «интеграл» предложен Иоганном Бернулли, учеником Лейбница. Обозначение пределов интегрирования в виде введено Фурье в 1820 году .

Строгое определение интеграла для случая непрерывных функций сформулировано Коши в 1823 году, а для произвольных функций — Риманом в 1853 году. Определение интеграла в смысле Лебега впервые дано Лебегом в 1902 году (для случая функции одной переменной и меры Лебега) .

Выводы. На данный момент ученые стремятся любые физические явления выражать в виде математических формул. Когда существует формула, в дальнейшем возможно с ее помощью посчитать все необходимые данные. А интеграл является одним из главных инструментов работы с любыми функциями. Посредством интегрирования можно найти работу, энергию, массу, давление, электрический заряд, площадь, объем, длину дуги и прочие важные величины. Можно сказать, что интеграл стал использоваться давно и в ходе развития точных наук интеграл становился использоваться все более часто .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Литература

1. Виноградов И.М. (гл. ред.). Интеграл // Математическая энциклопедия. — М., 1977. — Т. 2 .

2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1969 .

3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976 .

Снисаренко В., студ. группы КИ-15б, ФКНТ, ДонНТУ Руководитель: Савин А.И., ассистент кафедры высшей математики, ДонНТУ

ПАРАДОКС БЕРТРАНА

Введение. Как и любая другая область науки, математика отражает противоречия окружающего нас мира. Поэтому история математики полна интересных парадоксов, и некоторые из них служили отправной точкой больших изменений. Особенно богата парадоксами математика случайного .

Постановка задачи. В данной работе рассмотрим парадокс Бертрана. Этот парадокс Жозеф Луи Бертран описал в 1889 году в своей работе «Исчисление вероятностей» («Calcul des probabilites») в качестве примера того, что вероятность не может быть чётко определена, пока не определён механизм или метод выбора случайной величины .

Парадокс Бертрана заключается в следующем: рассмотрим равносторонний треугольник, вписанный в окружность. Наудачу выбирается хорда окружности. Какова вероятность того, что выбранная хорда длиннее стороны треугольника? Парадокс утверждает, что эта вероятность определяется неоднозначно, то есть различные методы приводят к разным результатам. Бертран предложил три решения .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Результаты .

1. Случайным образом (равномерно) в данном круге выберем точку. Эта случайная точка определяет единственную хорду, серединой которой она является. Эта хорда длиннее стороны правильного треугольника Рис .

тогда и только тогда, когда её середина лежит внутри круга, вписанного в Рис. 1 треугольник (рис. 1). Радиус этого круга равен половине радиуса исходного круга, следовательно, площадь вписанного круга составляет 1/4 площади исходного. Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка лежит внутри вписанного круга, равна 1/4. Так что этот метод даёт ответ 1/4 .

2. Исходя из соображений симметрии, можем считать, что одним концом хорды является произвольная фиксированная точка на окружности. Пусть этой точкой является вершина вписанного треугольника. Выберем другой конец случайно с равномерным распределением .

Вершины треугольника делят окружность на три равные дуги, и случайная хорда длиннее стороны правильного треугольника, если она пересекает этот треугольник (рис. 2). Так что Рис. 2 искомая вероятность теперь равна 1/3 .

3. Выберем точку случайным образом равномерно на радиусе окружности и возьмем хорду, которая перпендикулярна этому радиусу и проходит через выбранную точку .

Тогда случайная хорда длиннее стороны вписанного правильного треугольника, если случайная точка лежит на той половине радиуса, которая ближе к центру (рис. 3) .

Исходя из соображений симметрии, неважно какой радиус был выбран для построения, поэтому искомая вероятность равна 1/2 .

Выводы. Получение разных результатов кажется парадоксальным, так как было убеждение, что равномерный Рис. 3 случайный выбор однозначно определяют искомую вероятность. Парадокс показывает, что возможны различные способы выбора равномерным образом, Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

причем каждый способ выглядит по-своему «естественным». Метод отбора не уникален, поэтому не может быть единственного решения .

Каждый их трех указанных выше методов использует равномерное распределение (в круге, на окружности и радиусе круга). Классическое решение проблемы, таким образом, зависит от метода, которым случайно выбрана хорда. Тогда и только тогда, когда метод случайного выбора задан, проблема имеет чётко определённое решение. Три решения, представленные Бертраном, соответствуют различным методам отбора, и в отсутствие дополнительной информации нет оснований предпочесть какой-либо один .

Литература

1. Секей Г. Парадоксы в теории вероятности и математической статистике. – М.: Мир, 1990. – 240 с .

–  –  –

ТЕССЕРАКТ (ГИПЕРКУБ) Введение. В геометрии гиперкуб – это n-мерная аналогия квадрата (n = 2) и куба (n = 3). Это замкнутая выпуклая фигура, состоящая из групп параллельных линий, расположенных на противоположных краях фигуры, и соединенных друг с другом под прямым углом .

Эта фигура также известна под названием тессеракт. Тессеракт относится к кубу, как куб относится к квадрату. Более формально, тессеракт может быть описан как правильный выпуклый четырехмерный политоп (многогранник), чья граница состоит из восьми кубических ячеек[1] .

Согласно Оксфордскому словарю английского языка, слово "tesseract" было придумано в 1888 Чарльзом Говардом Хинтоном и Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

использовано в его книге "Новая эра мысли". Слово было образовано от греческого " " ("четыре луча"), имеется в виде четыре оси координат. Кроме этого, в некоторых источниках, эту же фигуру называли тетракубом .

Постановка задачи. Цель данного доклада – исследовать такой простейший четырехмерных объект как гиперкуб или (тессеракт) .

Результаты. Популярное описание тессеракта. Попытаемся представить себе, как будет выглядеть гиперкуб, не выходя из трёхмерного пространства. В одномерном «пространстве» — на линии — выделим отрезок АВ длиной L. На двумерной плоскости на расстоянии L от АВ нарисуем параллельный ему отрезок DC и соединим их концы. Получится квадрат CDBA. Повторив эту операцию с плоскостью, получим куб CDBAGHFE. А сдвинув куб в четвёртом измерении (перпендикулярно первым трём) на расстояние L, мы получим гиперкуб CDBAGHFEKLJIOPNM. (рис.1) Рис.1 Последнюю структуру нелегко представить, но возможно изобразить ее проекцию на двумерное или трехмерное пространство .

Более того, проекции на двухмерную плоскость могут быть более полезны возможностью перестановки позиций спроецированных вершин. В этом случае можно получить изображения, которые больше не отражают пространственные отношения элементов внутри тессеракта, но иллюстрируют структуру соединений вершин, как на примерах ниже. ( См.рис.2) .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Рис.2 На первой иллюстрации показано, как в принципе образуется тессеракт путем соединения двух кубов. Эта схема похожа на схему создания куба из двух квадратов. На второй схеме показано, что все ребра тессеракта имеют одинаковую длину. На третьей схеме вершины тессеракта расположены в соответствии с расстояниями вдоль граней относительно нижней точки. Эта схема интересна тем, что она используется как базовая схема для сетевой топологии соединения процессоров при организации параллельных вычислений: расстояние между любыми двумя узлами не превышает 4 длин ребер, и существует много различных путей для уравновешивания нагрузки [2] .

Одна из проекций тессеракта на трёхмерное пространство представляет собой два вложенных трёхмерных куба, соответствующие вершины которых соединены между собой отрезками. Внутренний и внешний кубы имеют разные размеры в трёхмерном пространстве, но в четырёхмерном пространстве это равные кубы. Для понимания равности всех кубов тессеракта была создана его вращающаяся модель .

Развёртки тессеракта может быть развернут в восемь кубов, подобно тому как куб может быть развернут в шесть квадратов .

Многогранник-равертка гиперкуба называется сетью. Существует 261 различных вариантов сетей. Вот один из примеров (рис.3)

Рис.3

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Так же гиперкуб часто используют в искусстве. Гиперкуб появился в научно-фантастической литературе с 1940 года, когда Роберт Хайнлайн в рассказе "Дом, который построил Тил" ("And He Built a Crooked House") описал дом, построенный по форме развертки тессеракта. В рассказе этот дом сворачивается, превращаясь в четырехмерный тессеракт. После этого гиперкуб появляется во многих книгах и новеллах. В фильме "Куб 2: Гиперкуб" рассказывается о восьми людях, запертых в сети гиперкубов. На картине Сальвадора Дали "Распятие", 1954) изображен Иисус распятый на развертке тессеракта. Эту картину можно увидеть в Музее Искусств в НьюЙорке [3] .

Рис.4 Вывод. Гиперкуб – одна из простейших четырехмерных объектов, на примере которого можно увидеть всю сложность и необычность четвертого измерения. И то, что выглядит невозможным в трех измерениях, возможно в четырех, например, невозможные треугольники Матье Хемакерза, Вячеслава Колейчука, невозможные трезубцы [3] .

Литература

1. Чарльз Г. Х., Четвёртое измерение / Г.Х. Чарльз – М.: Наука, с .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

2. Тессеракт – Электронный ресурс. Режим доступа:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Тессеракт

3. Невозможные фигуры в реальном мире– Электронный ресурс .

Режим доступ: http://im-possible.info/russian/articles/real/index.html Уздемир А., студ. группы ИС-16, ФКНТ, ДонНТУ Руководитель: Дегтярев В.С., к.т.н., доцент кафедры высшей математики, ДонНТУ

МАТЕМАТИКА В ПРОГРАММИРОВАНИИ

Представителю каждой специальности следует иметь определенный набор знаний. Основу профессиональных знаний инженера составляют знания математики как базиса, на основе которого формируются умения и навыки .

Существует мнение, что знание высшей математики необязательно для представителей специальностей, связанных с компьютерными науками. Но в вузах преподаются базовые предметы и основные курсы, как правило, взаимозависимы и нельзя просто взять и изъять некоторые из них. И их главная цель – предоставить нам примерную карту современных научных и инженерных знаний, чтобы при столкновении с неизвестным, мы смогли принять верное решение, в каком направлении идти .

Представляется, что здесь будет вполне уместна цитата выдающегоcz голланского программиста Эдсгера Дейкстра: «Программирование — не набор пассов и заклинаний, не шаманство, не танцы с бубном, а математическая дисциплина. А всякая дисциплина…должна строиться на прочном фундаменте». Таким фундаментом для Дейкстра является математическая логика, которая необходима для того, чтобы понимать принципы работы и логически мыслить [1]. Также справедливо утверждение, что программист с математической подготовкой пишет код лучше, понятнее, структурнее .

Какие разделы из огромной математики нужны программистам?

Опытные разработчики рассказывают, что здесь каждому свое. Для разных типов задач нужны (или не нужны вовсе) свои разделы царицы Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

наук. Если предстоит заниматься графикой, то, скорее всего, пригодятся дифференциальные уравнения и геометрия. Если моделированием естественных процессов (например, в области энергетики), то нужны: математический анализ, дифференциальные уравнения, математическая физика и вычислительная математика .

Если финансовой сферой, то необходимо разбираться в теории вероятности и математической статистике, а также математической логике, алгебре, теории чисел и вычислительной математике. Для создания игр пригодятся все разделы математики, так как там есть и отрисовка графики, и моделирование физических процессов, ну и, конечно же, создание искусственного интеллекта .

Рассмотрим случаи применения знаний математики в программировании. Никлаус Вирт, швейцарский теоретик в области разработки языков программирования считает, что «практически все книги по алгоритмам требуют от читателя некоторой математической культуры. А алгоритмы и структуры данных – являются программами, и, не умея работать с ними, нельзя называться программистом.»

Причём это не обязательно умение разрабатывать свои алгоритмы, намного чаще нужно изменять чужие, приспосабливая их к частным случаям, но также и умение доказывать их корректность и применимость в различных условиях, и умение анализировать их поведение в некоторых ситуациях. Математика активно применяется в таких областях, как криптография, графика, распознавание образов, работа с видео, звуком и изображениями, математическое моделирование реальных процессов. В системном программировании без серьёзных математических знаний невозможно написание компиляторов, планировщиков и файловых систем .

С ним соглашается Николай Добровольский, вице-президент Parallels [2], отмечая, что математика и алгоритмика нужны в вещах связанных с низкоуровневыми оптимизациями и алгоритмами обработ-ки данных. Но это далеко не вся и даже не самая большая часть работы. Для написания пользовательского интерфейса, самой трудоёмкой части работы, требуется не математика, а понимание подходов к построению удобных в использовании сервисов .

Олег Горшков, руководитель отдела системной интеграции ecommerce-студии Simtech Development [2], считает знание математики для программиста профессионально необходимым .

Математика закла-дывает основы анализа и построения алгоритмических моделей. Про-граммирование — это автоматизация Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

математических действий. Причем важно знать не просто математику, а высшую математику .

Особое внимание начинающим программистам рекомендуется обратить на дискретную математику и математическую статистику .

Например, без знаний дискретной математики не обойтись при написании баз данных или построении поисковых систем. Она же пригодится в логистике и построении маршрутов. Владения математической статистикой в свою очередь требует большинство экономических задач также как и биржевой сектор, где большинство игроков — боты .

При их написании требуются знания по математической статистике, как и при любом прогнозировании .

Таким образом, можно сделать вывод, что для большинства программистов математика является скорее инструментом, чем наукой. Математика и логика помогают в создании короткой и бытродействующей программы, поэтому программисту, хорошо знающему математику, будут понятны объяснения специалистов по различным проблемам, что, в свою очередь, является залогом создания полезных программных продуктов .

Литература

1. Дейкстра Э. Дисциплина программирования. М.,Мир, 1978, 275с

2. Какая математика нужна программистам. Электронный ресурс. Режим доступа: geekbrains.ru/posts/how_to_math

–  –  –

О СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ

Введение. Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: номера автобусов и телефонов, стоимость покупок, семейный бюджет и т.д. А что знал человек о числах несколько тысяч лет назад? Установлено, что и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить над ними Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

арифметические действия. Принципы записи были совсем не такими, как сейчас, но в любом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов. Эти символы, участвующие в записи числа, в математике и информатике принять называть цифрами .

Постановка задачи. Но что понимать тогда под словом "число"? Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало, число было "привязано" к тем конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Дробные же числа изобрели тогда, когда возникла необходимость производить измерения. На данный момент в большинстве стран мира, несмотря на то, что говорят на разных языках, считают одинаково, "по-арабски". Но так было не всегда. Однако числа люди все равно как-то записывали. У каждого народа была своя собственная или позаимствованная у соседа система записи чисел .

Результаты. Самая простая система счисления была еще у древних людей. Какое число нужно записать, столько сделают засечек на палке, или в кучку камешков положат. Но это удобно, пока числа небольшие. Как записывать очень большие числа? Было решено, что каждые 10 палочек следует заменять загогулинкой, а каждое круглое число обозначать по-особому, и счет пошел легче. Так появилась аддитивная система счисления. Требовалось большое количество цифр-символов, и, чтобы не изобретать велосипед, решили использовать алфавит. Так и появилась на свет алфавитная аддитивная система счисления. В алфавитных аддитивных системах счисления для записи чисел используется уже не несколько цифр, а большая часть алфавита. Все цифры здесь изображаются в точности так же, как и буквы алфавита того народа, который использовал эту систему. Однако не все народы делали свои записи с помощью алфавита или слоговых знаков. В Китае иероглифы не позволили появиться такой системе счисления, и тогда была введена другая система, называемая мультипликативной системой счисления. Эта система имела одно очень важное свойство: в ней одна и та же цифра, в зависимости от расположения в записи числа могла иметь разные значения. Именно такой системой счисления сейчас и пользуются. Для мультипликативной системы нужно знать изображение цифр и их значение, а так же основание системы счисления.

Чтобы определить основание, необходимо пересчитать количество значащих цифр в системе – это то число, с которого начинается второй разряд у числа:

цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, их ровно 10, поэтому основание Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

системы счисления тоже 10, и система счисления называется "десятичной". Почему основание самой употребительной человеческой системы счисления 10? Да, именно потому, что на руках 10 пальцев. В разных цивилизациях считали по-разному, но и сейчас можно даже в языке, в названиях и изображениях цифр найти остатки совсем других систем счисления, когда-то использовавшихся этим народом. Так у французов когда-то была двадцатеричная система счисления, поскольку 80 по-французски звучит как "четырежды двадцать". Римляне, или их предшественники использовали когда-то пятеричную систему, так как V ни что иное, как изображение ладони с отставленным большим пальцем, а X - это две таких же руки .

Новая или арабская нумерация – самая распространенная на сегодняшний день нумерация. Название "арабская" для нее не совсем верно, поскольку хоть и завезли ее в Европу из арабских стран, но все же родиной этой нумерации считается Индия. В различных районах Индии существовали разнообразные системы нумерации, но в какойто момент среди них выделилась одна. В ней цифры имели вид начальных букв соответствующих числительных на древнеиндийском языке – санскрите, использующем алфавит "Деванагари" .

Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3, … 9, 10, 20, 30, …, 90, 100, 1000; с их помощью записывались другие числа. Но впоследствии был введен особый знак – жирная точка, или кружок, для указания пустующего разряда; и нумерация "Деванагари" превратилась в поместную десятичную систему. К середине VIII века позиционная система нумерации получает широкое применение. В это же время она проникает в соседние страны: Индокитай, Китай, Тибет, Среднюю Азию. Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграло руководство, составленное в начале IX века Мухаммедом Аль Хорезми. Оно было переведено в Западной Европе на латинский язык в XII веке. Из арабского языка заимствовано и слово "цифра" (по-арабски "сыфр"), означающее буквально "пустое место". Это слово применялось для названия знака пустого разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский термин "нуль" (nullum - ничто). Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, которая используется сейчас, установилась в XVI веке .

Древнее изображение десятичных цифр не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 — углов нет, 1 – один угол, 2 – два угла и т.д. Написание десятичных Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

цифр претерпело существенные изменения. Настоящая форма записи установилась в XVI веке .

Латинская (римская) нумерация является самой известной нумерацией, после арабской. Возникла эта нумерация в древнем Риме .

Использовалась она для аддитивной алфавитной системы счисления .

Записывались цифры числа, начиная с больших значений и заканчивая меньшими значениями, слева направо. Если цифра с меньшим значением записывалась перед цифрой с большим значением, то происходило ее вычитание .

Славянская глаголическая нумерация была создана для переписки чисел в священных книгах западных славян .

Использовалась она нечасто, но достаточно долго. По организации она в точности повторяет греческую нумерацию. Использовалась она с VIII по XIII в. Записывались цифры числа, начиная с больших значений и заканчивая меньшими значениями, слева направо. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали. Для того, чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла – горизонтальные черточки над числами, или точки. Славянская кириллическая нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для переписки священных книг для славян греческими монахами братьями Кириллом (Константином) и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию .

В древнем Вавилоне примерно за 40 веков до нашего времени создалась позиционная нумерация, то есть такой способ записи чисел, при котором одна и та же цифра может обозначать разные числа, смотря по месту, занимаемому этой цифрой. В вавилонской поместной нумерации ту роль, которую играет у нас число 10, играет число 60, и потому эту нумерацию называют шестидесятеричной. Числа менее 60 имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных табличках палочками треугольной формы. Шестидесятеричная система счисления появилась у вавилонян позже десятеричной, ибо числа до 60 записываются в ней по десятичному принципу .

Шестидесятеричная запись целых чисел не получила широкого распространения за пределами Ассиро-вавилонского царства, но шестидесятеричные дроби проникли далеко за эти пределы. Они Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

широко применялись, особенно в астрономии, вплоть до изобретения десятичных дробей, т.е. до начала XVII века. Следы шестидесятеричных дробей сохраняются и поныне в делении углового и дугового градуса (а также часа) на 60 минут и минуты на 60 секунд .

В Древней Греции была распространена так называемая аттическая нумерация. В этой нумерации числа 1, 2, 3, 4 изображались соответствующим количеством вертикальных полосок .

Число 5 записывалось знаком (древнее начертание буквы "Пи", с которой начиналось слово "пять" – "пенте"). Числа 6, 7, 8, 9 обозначались сочетаниями этих знаков. Число 10 обозначалось заглавной "Дельта" от слова "дека" – "десять". Числа 100, 1 000 и 10 000 обозначались H, X, M. Числа 50, 500, 5 000 обозначались комбинациями чисел 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1 000 .

Примерно в третьем веке до нашей эры аттическая нумерация в Греции была вытеснена другой, так называемой ионийской системой .

В ней числа 1-9 обозначаются первыми буквами греческого алфавита .

Числа 10, 20, … 90 изображались следующими девятью буквами .

Числа 100, 200, … 900 последними девятью буквами. Для обозначения тысяч и десятков тысяч пользовались теми же цифрами, но только с добавлением особого значка '. Любая буква с этим значком сразу же становилась в тысячу раз больше. Для отличия цифр и букв писали черточки над цифрами .

Выводы. Система счисления – символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков, который дает каждому числу уникальное представление (или по крайней мере, стандартное представление), отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел .

Литература

1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Наука, главная редакция физ.-мат. литературы. – 1979. – 336 с .

2. Фомин С.В. Системы счисления. – М.: Наука, 1987. – 48 с .

(Популярные лекции по математике) .

3. Яглом И. Системы счисления // Квант. – 1970. - № 6. – С.2-10 .

–  –  –

В результате осталось 10 яиц x = 10 x = 160 Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Уравнения широко используются в различных разделах математики, а также в повседневной жизни: экономике, сельском хозяйстве и т.д .

Выводы. В процессе выполнения работы мы взглянули на историю возникновения уравнений, узнав при этом много интересных фактов. Оказывается, решать уравнения могли еще в глубокой древности, чтобы решить уравнение учёным приходилось делать большие вычисления. Например, древние греки решали квадратные уравнения графическим методом. Рене Декарт мог решать графическим методом уравнения 2-й, 3-й, 4-й степеней. Уравнениями занимались такие известные математики как Эйлер, Виет, Ньютон, Гаусс. Зарождение математики произошло от потребностей человека решать проблемы быта и существования. Постепенно математика стала развиваться как самостоятельная наука .

Литература

1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференци-альным уравнениям – 4-е изд. – М.: Наука, 1971. – 576 с .

2. Медынский М.М. Полный курс элементарной математики в задачах и упражнениях. Книга 1.М.: Эдитус, 2015. –552 с .

–  –  –

МАТЕМАТИКА В ДРЕВНЕМ ЕГИПТЕ

Введение. Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика уже использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве зданий, плотин, каналов и военных укреплений .

Постановка задачи. Нам досконально неизвестно о развитии математических знаний в Египте как в более древние, так и в более поздние времена. Египтяне писали на папирусе, который сохраняется Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

плохо, и поэтому наши знания о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции. Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов — известно, что греческие математики учились у египтян .

Мы узнаем о том, как и для чего она зарождалась в древнем Египте .

Что представляла собой для древности и для человечества в целом .

Каким образом они использовали её в быту и архитектурных творениях .

Результаты. Дошедшие до нас экземпляры — это в основном копии, переписанные в период гиксосов. Носители научных знаний тогда именовались писцами и фактически были государственными или храмовыми чиновниками .

Все задачи из папируса Ахмеса (записан ок. 1650 года до н. э.) имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы не по методам, а по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, определение среднего арифметического, арифметические прогрессии, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным .

Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления .

Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём индуктивных обобщений и гениальных догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или, по крайней мере, начинала приобретать теоретический характер .

Так, египетские математики умели извлекать корни (целочисленные) и возводить в степень, решать уравнения, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией и даже владели зачатками алгебры: при решении уравнений специальный иероглиф «куча» обозначал неизвестное .

Древнеегипетская нумерация, то есть запись чисел, была похожа на римскую: поначалу были отдельные значки для 1, 10, 100, … 10 000 000, сочетавшиеся аддитивно (складываясь). Египтяне писали справа налево, и младшие разряды числа записывались Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

первыми, так что в конечном счёте порядок цифр соответствовал нашему. В иератическом письме уже есть отдельные обозначения для цифр 1-9 и сокращённые значки для разных десятков, сотен и тысяч .

Любое число в Древнем Египте можно было записать двумя способами: словами и цифрами.

Например, чтобы написать число 30, можно было использовать обычные иероглифы:

или то же самое написать цифрами (три символа десятки):

Умножение египтяне производили с помощью сочетания удвоений и сложений. Деление заключалось в подборе делителя, то есть как действие, обратное умножению .

Особые значки обозначали дроби вида и. Однако общего понятия дроби у них не было, и все неканонические дроби представлялись как сумма аликвотных дробей. Типовые разложения были сведены в громоздкие таблицы .

Вычисление площадей В области геометрии египтяне знали точные формулы для площади прямоугольника, треугольника и трапеции. Площадь произвольного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d вычислялась приближённо как (1.1) Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Эта грубая формула даёт приемлемую точность, если фигура близка к прямоугольнику .

Египтяне предполагали, что площадь круга S диаметром d равна площади квадрата, сторона которого составляет 8/9 диаметра:

–  –  –

Вычисление объёмов Египтяне могли высчитывать объёмы параллелепипеда, цилиндра, конуса и пирамид. Для вычисления объёма усечённой пирамиды египтяне пользовались следующим правилом: пусть мы имеем правильную усечённую пирамиду со стороной нижнего основания a, верхнего b и высотой h;

Тогда объём вычислялся по следующей (правильной) формуле:

(1.3) Древний свиток папируса, найденный в Оксиринхе, свидетельствует, что египтяне могли вычислять также объём усечённого конуса. Эти знания ими использовались для сооружения водяных часов. Так, например, известно, что при Аменхотепе III были построены водяные часы в Карнаке .

Египетский треугольник Египетским треугольником называется прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5.

Плутарх в первом веке об этом треугольнике в сочинении «Об Исиде и Осирисе» писал:

«видимо, египтяне сравнивают природу Всеобщности с красивейшим из треугольников». Возможно, именно из-за этого этот треугольник получил название египетского. Действительно, греческие учёные сообщали, что в Египте для построения прямого угла использовалась верёвка, разделённая на 12 частей .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Египетский треугольник активно применялся для построения прямых углов египетскими землемерами и архитекторами, например, при построении пирамид. Историк Ван дер Варден попытался поставить этот факт под сомнение, однако более поздние исследования его подтвердили. В любом случае, нет никаких свидетельств, что в Древнем Египте была известна теорема Пифагора в общем случае (в отличие от Древнего Вавилона) .

Выводы. Исследуя историю развития математики в древнем Египте, мы пришли к выводу, что эта наука развивалась учеными весьма точно, а многими знаниями, полученными в далеком прошлом, мы пользуемся до сих пор .

Литература

1. Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Наука, 1959. — 456 с .

2. Веселовский И. Н. Египетская наука и Греция. Труды ИИЕ, 2, 1948, с. 426—498 .

3. Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. — М.: Наука, 1967 .

4. Депман И. Я. История арифметики. Пособие для учителей. — Изд. второе. — М.: Просвещение, 1965. — 416 с .

5. История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Секция 2 .

МАТЕМАТИКА В

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ

ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

ИНЖЕНЕРА

–  –  –

ИССЛЕДОВАНИЕ ГАЗОВЫХ СМЕСЕЙ С

ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ .

Введение. Многие задачи химии можно решить с использованием математических методов. Например, дифференциальное исчисление используют для нахождения наибольших (наименьших) скоростей химических реакций, в задачах об экстракциях. При нахождении средней теплоемкости применяют элементы интегрального исчисления. Ряд задач можно решить численными методами, графическими .

Постановка задания. Цель доклада – показать принцип составления дифференциального уравнения, описывающего процесс образования и изменения газовой смеси .

Результаты. Рассмотрим следующую задачу [1, с.120]. Сосуд емкостью в 1 л снабжен двумя трубками и заполнен воздухом, содержащим 21% кислорода по объему. Через одну трубку в сосуд медленно поступает чистый кислород, через другую вытекает смесь воздуха с кислородом. Сколько процентов кислорода будет содержать сосуд после пропуска 10 л газа?

Р е ш е н и е. В момент, когда через сосуд прошло x л газа, в нем содержится a% или a/100 л кислорода .

Пусть через сосуд пройдет ещё dx л газа: в сосуд входит dx л кислорода и выходит a/100*dx л кислорода. Тогда в сосуде будет л кислорода. Этот объем кислорода составит a+(100-a)dx % всего объема газа. Таким образом, процент кислорода увеличился на величину da=(100-a)dx. (1) Уравнение (1) полностью описывает процесс изменения газовой смеси. По сути, это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными [2, с. 13].

Решим его:

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

–  –  –

Подставляя найденное значение C в общее решение, получим (2) Выражение (2) полностью описывает процесс образования газовой смеси. Из этого выражение можно определить, что после пропуска 10 л газа (x=10) в сосуде будет кислорода То есть можно считать, что сосуд наполнен чистым кислородом .

Выводы. Исследуя закон протекания процесса изменения газовой смеси, можно заметить, что при a=100% уравнение (2) принимает вид

–  –  –

что возможно лишь, когда То есть полностью наполнить сосуд чистым кислородом практически невозможно .

Литература

1. Кудряшов И.В., Каретников Г.С.. Сборник примеров и задач по физической химии. - М.:Высшая школа, 1991. - 527с .

2. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике .

Часть 2 – М: Айрис-пресс, 2008-256с .

–  –  –

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

В ПРОГРАММНОМ БЛОКЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

ОБРАТНОЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

ПРИМЕНИТЕЛЬНО К СОВРЕМЕННОМУ

СТРОИТЕЛЬСТВУ

Введение. Теорема Пифагора является одной из главных теорем геометрии, её значение состоит в том, что из неё и с её помощью можно вывести большинство теорем, а также то, что она широко применима в различных областях науки, технике и практической жизни [1] .

Постановка задачи. Основная цель данной работы состояла в рассмотрении различных доказательств теоремы Пифагора и нахождении ее практического применения при решении задач строительства .

Задачи:

· рассмотреть несколько способов доказательства теоремы Пифагора;

· показать применение теоремы Пифагора при решении различных задач в строительстве · найти собственные подтверждения актуальности теоремы Пифагора в современной жизни .

Методика исследования:

· Изучение теоретического материала .

· Практическое выполнение исследования .

· Коммуникативный метод Основные результаты .

В ходе работы были рассмотрены различные доказательства теоремы Пифагора, такие как доказательство Евклида, доказательство Леонардо да Винчи и векторное доказательство [2,3]. Приведем некоторые примеры использования данной теоремы в строительстве .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

1. В зданиях романского и готического стиля верхние части окон расчленяются каменными рёбрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. Радиусы внутренних окружностей таких окон находят при помощи теоремы Пифагора .

2. При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например, в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки определенной длины. Ответ на этот вопрос также дает теорема Пифагора .

3. Необходимо закрепить трубу на школьной котельной угольниками. Один конец угольника должен крепиться на определённой высоте, другой на земле на некотором расстоянии от трубы. Необходимо определить сколько метров угольника понадобится для того, чтобы закрепить трубу [4]. Это примеры лишь некоторых задач, которые могут быть решены при помощи данной теоремы .

Поскольку при проектировании и строительстве зданий и сооружений огромное значение имеют инженерногеодезические исследования, то в процессе работы был изучен теоретический материал, виды геодезических задач и их пути решения .

Для решения одной из главных геодезических задач, а именно обратной геодезической задачи, которая применяется для вычисления горизонтального проложения (длины) линии между известными координатами двух точек и нахождения дирекционного угла этой линии [5], на основании теоремы Пифагора разработана программа для ее решения. Определение дирекционного угла, определяемого в данной задаче является важным этапом, поскольку при проведении проектировочных работ необходимо знать расположение объектов по отношению к сторонам света. Карты и планы составляют таким образом, что верхние края являлись северными. Все расчёты производятся на неровной поверхности земли, поэтому большие кривые линии можно разбить на маленькие прямые, таким образом, получается большое количество координат для расчетов. Работа разработанной программы заключается в следующем: все координаты вводятся в программу и одним нажатием на кнопку РАСЧЕТЫ получается решение по всем прямым составляющим кривую .

Вычисление по данному алгоритму производится многократно, что позволяет значительно ускорить численные расчеты [6].

Реализация программы в Microsoft Access 2003:

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Рис.1. Заглавная страница базы Рис.2. Форма coordinat для данных igp внесения первичных данных(координат) .

Рис.3. Отчеты базы данных igp. Рис.4. Отчет «Результаты» и его печать Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Рис.5. Программирование кнопки «Рассчитать» (часть 1 и 2) .

Выводы. Теорема Пифагора - одна из главных теорем геометрии, поскольку с ее помощью можно прямую вывести на плоскость, а плоскость в пространство. Эта теорема и сегодня повсеместно применяется в таком разделе строительства, как геодезия .

В данной работе было реализовано решение обратной геодезической задачи средствами Microsoft Access 2003 с использованием теоремы Пифагора [7]. Составленная программа относится к интуитивным и не требует дополнительных навыков, и может быть применима при изучении как самой обратной задачи, так и для других расчетов, производимых в геодезии, которые опираются на решение этой задачи .

Литература

1. Асмус, В.Ф. Античная философия / В.Ф., Асмус. 2-е изд. – М.:

Высшая школа, 1976. – 730 с .

2. Рыбников К.А. История математики./ К.А Рыбников.- Т.1.М.,1963.- 191с .

3. Теорема Пифагора - [Электроный ресурс]. - Режим доступа:

http://th-pif.narod.ru/

4. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике:

решение задач. / И. Ф. Шарыгин - М.: Просвещение, 1989. — 352 с .

5. Дегтярев А.В. Геодезия. Учебно-методический комплекс .

Часть 1,2./ А.В. Дегтярев - Новополоцк. ПГУ. 2010.-364c .

6. Решение геодезических задач - [Электроный ресурс]. - Режим доступа: http://sitegeodesy.com/index.html

7. Microsoft Office Access 2007. Библия пользователя, Майкл Грох, Джозеф Стокман, Гэвин Пауэлл; 1200 стр., с ил.; 2008, 4 кв.;

Диалектика .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

–  –  –

РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ СКРУГЛЕНИЯ

АВТОМОБИЛЬНОЙ ДОРОГИ

Введение. Трассирование автомобильных дорог выполняют с учетом требований удобства и безопасности движения. Чтобы дорога наилучшим образом удовлетворяла этим требованиям, необходимо выдерживать правила плавного сочетания элементов плана и продольного профиля. Длина прямых участков не должна превышать 4-6 км, радиусы сопрягающихся или расположенных недалеко друг от друга кривых в плане не должны различаться более чем в 1,3 раза [1] .

Трассу по возможности следует располагать ближе к воздушной линии, огибая крупные формы рельефа и пересекая мелкие, следует обходить населенные пункты, ценные земли, неблагоприятные по инженерно-геологическим условиям участки. Устанавливают контрольные точки, через которые должна пройти трасса при обходе или пересечении контурных, высотных препятствий, больших рек, автомобильных и железных дорог [2] .

Имеются два метода нанесения хода: традиционный (полигональное, или тангенциальное трассирование) и метод гибкой линейки (клотоидное трассирование) [1]. Традиционный принцип трассирования дорог, который принято называть принципом полигонального (тангенциального) трассирования, до сих пор является доминирующим в практике проектирования. Суть этого метода заключается в том, что назначается тангенциальный ход и в каждый излом этого хода последовательно вписываются закругления. Если расчет закруглений содержит определенный математический алгоритм, то способ назначения самого тангенциального хода основывается лишь на интуиции и профессиональном опыте инженера-проектировщика .

Метод гибкой линейки состоит в том, что на топографической карте с помощью гибкой линейки моделируют план трассы, а затем Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

определяют элементы трассы, устанавливая радиусы закруглений и параметры переходных кривых .

При трассировании необходимо соблюдать правила плавного сочетания элементов плана и продольного профиля. Длину прямых в плане следует ограничивать согласно [2], табл. 1 .

Таблица 1 – Максимальная длина прямых в плане Предельная длина прямой в плане (м) Категория Равнинная Пересеченная дороги местность местность I 3500-500 2000-3000 II, III 2000-3500 1500-2000 IV, V 1500-2000 1500 В благоприятных условиях при проектировании трассы на дорогах всех категорий назначают наибольшие радиусы, не менее 3000 м, условия движения при этом практически не отличаются от прямых. На кривых малых радиусов трудно обеспечить движение с расчетной скоростью в ночное время [1] .

Предельно допустимые нормы принимают согласно табл. 2, исходя из расчетных скоростей движения [2] .

–  –  –

При малых углах поворота дороги в плане рекомендуется применять радиусы круговых кривых не менее приведенных в табл. 3 .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Таблица 3 – Минимальные радиусы горизонтальных кривых в зависимости от угла поворота Угол поворота, градусы 1 2 3 4 5 6 7-8 Наименьший радиус круговой кривой, м Таким образом, расчет элементов трассы зависит от выбора контрольных точек трассы и радиуса закругления (рис. 1) .

В геодезической практике на углах поворота трассы производят разбивку главных точек кривой: начала кривой (К1), конца кривой (К2) .

Предварительно рассчитывают пикетажное положение главных точек кривой. Пикетажным положением называется положение пикетов на местности. Пикетами (в геодезии) называют точки на местности (обозначенные колышком), служащие ориентиром для установки реек при нивелировании и для закрепления трассы на местности [3] .

–  –  –

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Литература

1. Малофеев, А.Г. Изыскания и проектирование трассы и земляного полотна : учебное пособие [Текст] / А.Г. Малофеев, И.А. Шевцова. – Омск : СибАДИ, 2014. – 224 с .

2. СП 34.13330.2012. Автомобильные дороги [Текст]. – М. :

ООО «Аналитик», 2013. – 112 с .

3. Улашина С.А. Методические указания к выполнению расчетно-графических работ по нивелированию для студентов всех специальностей [Текст] / С.А. Улашина, А.Ф. Щетинина. – Макеевка :

МакИСИ, 1990 – 39 с .

Гребенюков И., Гурьев С., студ. группы СУА-16, ФКИТА, ДонНТУ Руководитель: Гусар Г. А., к.т.н., доцент кафедры высшей математики, ДонНТУ

ЗАДАЧА АКАДЕМИКА КАПИЦЫ

Введение. Пётр Леонидович Капица ( 8 июля 1894, Кронштадт — 8 апреля 1984, Москва) — советский физик, знаменитый учёный .

Основатель Института физических проблем (ИФП). Один из основателей Московского физико-технического института. Первый заведующий кафедрой физики низких температур физического факультета МГУ. Лауреат Нобелевской премии по физике (1978) за открытие явления сверхтекучести жидкого гелия, ввел в научный обиход термин «сверхтекучесть». Известен также работами в области физики низких температур, изучении сверхсильных магнитных полей и удержания высокотемпературной плазмы. Дважды лауреат Сталинской премии (1941, 1943). Награждён большой золотой медалью имени М. В. Ломоносова АН СССР (1959). Дважды Герой Социалистического Труда (1945, 1974). Член АН СССР, Лондонского Королевского общества (Fellow of the Royal Society)[1] .

Первая подборка задач, составленных П.Л. Капицей, была роздана в марте 1948 г. студентам первого курса физико-технического факультета МГУ. Капица обратился к студентам с речью: Прежде чем начать лекцию, я хочу сказать несколько слов о тех задачах, которые Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

вы получили и которые я для вас составил. Как их можно решать?

Задача - есть первое приближение к небольшой научной работе .

Решение этих задач - уже какое-то определенное [исследование]. Не то, что в средней школе, где достаточно подставить в формулу известные данные и т.д. Здесь решение задачи определяется вами самими. Вы можете показать [при решении задачи] свои знания и [свое] понимание физики в самых разных степенях... Это зависит от вас самих, где остановиться при решении задачи. Это зависит и от глубины анализа, который вы сами даете. Все задачи составлены так, что вы их можете и в двух-трех словах приблизительно решить и, углубляясь дальше, до неограниченного предела. Одну и ту же задачу можно, продолжая ее разбор, разложить в ряды Фурье, интегрировать и т.д., и довести до [уровня] кандидатской диссертации..." Примеры решения ряда физических задач П.Л. Капицы были опубликованы молодыми сотрудниками Института физических проблем, выпускниками МФТИ Ю.М. Ципенюком. А.В. Митрофановым и др. ) [2] .

Хотя П.Л Капица-физик, но его задачи также очень интересны и с точки зрения математики. В данном докладе будет показано и подробно изложено решение одной из задач академика Капицы .

Постановка задачи. На магнитофонную ленту записан звук летящего прямо на вас и затем удаляющегося самолёта. Как определить его скорость?[3]. Для решения этой задачи сначала составим физическую модель данного процесса, затем проведём упрощение задачи, то есть введём некоторые условия и ограничения, которые существенно не исказят рассматриваемый процесс, но упростят решение задачи .

Для упрощения будем считать, что в полёте самолёт излучает звук одной частоты, хотя в реальном случае самолёт будет излучать широкий звуковой спектр. Будем также считать, что скорость самолёта во время записи звука не менялась и частота (измеренная на борту самолёта) во время проведения опыта была постоянной .

Результаты. Если источник звука с частотой приближается к неподвижному наблюдателю со скоростью V, то наблюдатель зарегистрирует вовсе не частоту, а частоту. Это происходит из-за эффекта Доплера. Эффектом Доплера называется изменение частоты волн, регистрируемых приёмником, которое происходит вследствие движения источника этих волн и приёмника[4]. Эффект Доплера легко наблюдать на практике, при приближении к неподвижному Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

наблюдателю быстро движущегося поезда. Когда поезд неподвижен относительно наблюдателя, наблюдатель слышит именно тот тон, который издаёт поезд. При приближении поезда к наблюдателю частота звука, издаваемого поездом увеличится и будет слышно более высокий тон, чем на самом деле. При удалении поезда наблюдатель услышит более низкий тон из-за меньшей частоты звука [4] .

Для решения задачи необходимо учитывать, что самолёт пролетает на некоторой высоте и под некоторым углом относительно наблюдателя с магнитофоном .

Если направление скорости не совпадает с проходящей через источник и приёмник прямой, то надо вычислять проекцию скорости на направление указанной прямой.

Когда самолёт приближается к нам, частота звука, записываемого на магнитофон, будет равна:

= (1) Эта же формула верна и в случае, когда самолёт удаляется от нас, если считать cos при этом отрицательным. Угол при движении самолёта непрерывно меняется, поэтому частота звука, записываемого на ленту, также непрерывно меняется. Когда самолёт далеко от нас, то =0, cos=1 и =. Когда самолёт пролетает непосредственно над нами, =, cos=0 и =. Когда же самолёт далеко удалился от нас, то =, cos=-1 и =. За начало отсчёта времени принят момент, когда самолёт пролетает непосредственно над магнитофоном .

Крутизна кривой при =0 определяется высотой h, на которой летит самолёт .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Рис.2 График зависимости частоты от времени Если самолёт летит на бреющем полёте, то есть h0, то график имеет вид прямоугольной ступеньки .

Рис.3 График зависимости частоты от времени при небольшой высоте полёта .

Если с помощью соответствующих приборов, измеряющих частоту звука таких, как частотомеры измерить частоты и, то из уравнений 2 и 3:

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

(2) = (3) = можно найти скорость самолёта:

(4) = .

Для случая, когда самолёт летит на значительной высоте, при определении и, а, следовательно и при определении V неизбежна погрешность [3] .

Выводы. В заключение можно сказать, что даже такую на первый взгляд сложную задачу можно решить, если уметь аналитически мыслить. Решение данной задачи демонстрирует, что хорошее знание математики необходимо при решении практических задач, которые постоянно возникают в ходе профессиональной деятельности инженера. Задачи П.Л Капицы интересны тем, что их можно решать самыми разными способами. Один из способов решения задачи академика Капицы представлен в данном докладе .

Литература Капица Пётр Леонидович

1. https://ru.wikipedia.org .

[Электронный ресурс]-Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/ %D0%9A%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%86%D0%B0,_%D0 %9F%D1%91%D1%82%D1%80_%D0%9B%D0%B5%D0%BE%D0%BD %D0%B8%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87

2. П.Л Капица “Научные труды. Наука и современное общество”, ред.-сост. П.Е. Рубинин, книга, изд. "Наука", М., 1998 г., стр. 475-495 3.”Наука и жизнь”. ”Задачи академика Капицы”. Журнал. N 4.АНО Редакция журнала «Наука и жизнь» 1967.,стр.140

4.Волков О.Ф., Лумпиева Т.П «Курс физики:В 2-х т. Т.2 Учебное пособие для студентов инженерно-технических специальностей высших учебных заведений.-Донецк:ДонНТУ,2009.с .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Гущин И., студ. группы ЭПГ-15, ЭТФ, ДонНТУ Руководитель: Рудакова О.А., к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики, ДонНТУ

МЕТОД ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

Введение. Метод золотого сечения имеет достаточно большое применение во многих сферах. Так как всё в мире имеет какую-либо форму. Что представляют собой эти формы? Любое целое обязательно разделено на части разных размеров. Эти части имеют отношения между собой и ко всему миру, имеют формы. А строение любой формы образуется при помощи симметрии и золотого сечения .

Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a: b = b: c или с: b = b: а .

В основе данного метода лежит принцип деления отрезка в пропорциях золотого сечения. Впервые представлен Джеком Кифером в 1953 году .

Постановка задачи. Рассмотреть метод золотого сечения и раскрыть его суть .

Результаты .

1. Целевая функция экстремум которой ищется и ограничения в диапазоне которых ищется решение .

F = f ( x, y) min (ЦФ) (1) x0 x x n ; y0 y yn ;

(ОГР) (2) Метод применяется для определения max и min значения функции на заданном интервале. Задача поиска экстремума встречается в задачах оптимизации, которые обязательно возникают в инженерной практике. Например:

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Найти оптимальное сечение кабеля ЛЭП .

С – стоимость;

П – потери;

d пр - сечение провода;

d опт - оптимальное сечение провода;

- суммарный график .

На сегодняшний день не существует теории оптимизации, однако, существуют методы оптимизации. И необходимо аргументировать почему применяется тот или иной метод .

Метод «Золотого сечения». В нем ищется экстремум функции на интервале [a,b]. Для определения экстремума данный отрезок не должен содержать более одного max и min .

«Золотым сечением» отрезка называется деление его на 2 части таким образом, что отношение длины всего отрезка к длине большей части равно отношению большей части к меньшей .

–  –  –

Литература

1.Калиткин Н.Н. Численные методы. - Москва: Наука, 1978. с .

2. Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике. – Москва, МВТУ им Н.Э.Баумана, 2001. – 496 с .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

3.Колдаев В.Д. Численные методы и программирование. – М.:

Форум, 2008. – 336 с .

4.http://bibliofond.ru/view.aspx?id=878848

5.http://mirznanii.com/a/315556/metod-zolotogo-secheniya

–  –  –

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ

МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ МЕТОДОМ ТЕОРИИ

РАЗМЕРНОСТИ

Введение. Возможность предварительного качественнотеоретического анализа и выбора системы определяющих безразмерных параметров дает теория размерности. Она может быть приложена к рассмотрению весьма сложных явлений и значительно облегчает обработку экспериментов. С помощью теории размерности можно получить особенно ценные выводы при рассмотрении таких явлений, которые зависят от большого количества параметров. В теории размерности обычно ставят следующую цель: найти без детального решения задачи некоторые соотношения между различными измеряемыми величинами, представляющими для нас интерес. Обычный метод состоит в следующем. Прежде всего, выписываются величины (они называются определяющими параметрами), от которых, предположительно, зависит ответ, далее составляются формулы размерности этих величин и накладывается условие, чтобы эти величины входили в функциональные связи, не зависящие от единиц, в которых величины измерены. При выборе определяющих параметров в методах применения теории размерностей большую роль играет интуиция исследователя, его знание изучаемого предмета .

Постановка задачи. Целью данной работы является определение скорости материальной точки при помощи метода Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

размерности. Допустим, что тело с массой m перемещается прямолинейно под действием постоянной силы F. Найдем скорость тела v в конце пройденного отрезка длиной S, если начальная скорость тела равна нулю .

Результаты. Нужно найти зависимость вида : v= (F,S,m) Предположим, что формула определяющая скорость v как функцию F, m и S, имеет степенной вид,т.е. искомая зависимость имеет вид v · F · S · m = const,

Выпишем размерность входящих в задачу физических величин :

[v]=м· с-1 [S]=м [m]=кг [F]=кг· м · с-2 .

Отсюда получим

–  –  –

Запишем систему уравнений Получившуюся зависимость запишем в виде Возведя в квадрат левую и правую части этого соотношения, мы получим В последнем выражении несложно увидеть закон сохранения энергии. Таким образом, const=1/2, получим Выводы. Анализ размерностей применяется в физике еще со времен Ньютона. Именно Ньютон сформулировал тесно связанный с методом размерностей принцип подобия. Принцип подобия, сформулированный Ньютоном, заключается в том,что отношение v2/S в рассмотренной задаче прямо пропорционально отношению F/ m .

Если начальные скорости тел равны нулю, то скорости, приобретаемые телами на отрезке пути длины S, будут равны. Таким Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

образом, мы пришли к закону подобия с помощью идеи о равенстве размерностей левой и правой частей формулы,описывающей степенную связь значения конечной скорости со значениями силы, массы и длины пути .

Литература

1.Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.:

Наука, 1977. - 440 с .

2.Черняк В. Г., Суетин П.Е. Механика сплошных сред: Учеб .

пособ.: Для вузов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 352 с .

3. Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Папорков В.А.,

Ширяева С.О. Метод размерностей.Задачник. Ярославль:

ЯрГУ,2007. - 80 с Нестеренко И., студ. группы ЭПГ-15, ЭТФ, ДонНТУ Руководитель: Рудакова О.А., к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики, ДонНТУ

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЗЕЙДЕЛЯ В

ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

Введение. Электротехника как наука изучает свойства получения, передачи и преобразования электрической энергии .

Электротехника – это наука о процессах, связанных с практическим применением электрических и магнитных явлений Электротехника как наука является областью знаний, в которой рассматриваются электрические и магнитные явления и их практическое использование Электротехника как наука является базовой дисциплиной для изучения специальных дисциплин, таких как радиотехника, радио цепи и сигналы, источники вторичного электропитания и другие .

Для решения задач в электротехнике практически всегда используют математическое моделирование .

Математическое моделирование процессов и явлений в различных областях науки и техники является одним из основных способов получения новых знаний и технологических решений .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Цель моделирования – получение и обработка, представление и использование информации об объектах, которые взаимодействуют между собой и внешней средой, а модель (упрощенное представление о реальности) выступает как средство показания свойств и закономерностей поведения объекта .

Модель представляет собой проекцию объективной реальности под определенным углом зрения. Иногда в зависимости от целей можно получить ряд проекций объективной реальности, вступающих в противоречие. Это характерно, как правило, для сложных систем, у которых каждая проекция выделяет существенное для определенной цели из множества несущественного .

Особенность математического моделирования состоит в том, что абстрактным отражением существующего или создаваемого объекта является его математическая модель, количественный анализ которой позволяет получить новые знания об этом объекте .

Постановка задания. В данной работе рассмотрим метода Зейделя, и в частности его применения для расчета задач по электротехнике .

Результаты. Итак, рассмотри метод Зейделя более подробно .

Первым шагом в решении этим методом является приведение системы к виду, удобному для итераций .

Для того чтобы применить метод Зейделя к решению системы линейных алгебраических уравнений Ax = b (1) с квадратной невырожденной матрицей A, необходимо предварительно преобразовать эту систему к виду x = Bx + c. (2) Здесь B – квадратная матрица с элементами bij (i, j = 1, 2, …, n), c

– вектор-столбец с элементами cij (i = 1, 2, …, n) .

Вообще говоря, операция приведения системы к виду, удобному для итераций, не является простой и требует специальных знаний, а также Самый простой способ приведения системы к виду, удобному для итераций, состоит в следующем. Из первого уравнения выразим неизвестное

–  –  –

0 1,2000 0 0 — 1 1,2000 1,0600 0,9480 1,0600 2 0,9992 1,0054 0,9991 0,1008 3 0,9996 1,0002 1,0000 0,0052 4 1,0000 1,0000 1,0000 0,0004 Очевидно, найденное решение является точным

4. Расчет завершен, поскольку выполнено условие окончания. .

Выводы. Скорость сходимости итерационного процесса метода Зейделя является достаточно высокой, что делает этот метод удобным для проведения технических расчетов .

Литература

1. Корниенко, В.С. К 67 Численные методы [Текст] /В.С .

Корниенко; Волгоград гос. с.-х. акад. Волгоград, 2010. 84 с .

2. Лекции по основам математического моделирования:

Учебное пособие. — М.:Изд-воМГТУ имени Н. Э. Баумана, 2013. — 197 с .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

3. Математические методы в технических расчётах: учебное пособие / Е.Н. Малыгин. – Тамбов: Изд-во ГОУ ВПО ТГТУ, 2010. – 80 с .

Никитин. И., студ. группы КС-15 н, НТФ, ДонНТУ Руководитель: Азарова Н. В., к.т.н., доцент кафедры высшей математики, ДонНТУ

ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

Полярная система координат — двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений .

Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается r) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом или азимутом и обозначается, равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку .

Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке .

История. Понятие угла и радиуса были известны ещё в первом тысячелетии до н. э. Греческий астроном Гиппарх (190—120 гг до н. э.) создал таблицу, в которой для разных углов приводились Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

длины хорд. Существуют свидетельства применения им полярных координат для определения положения небесных тел. Архимед в своём сочинении «Спирали» описывает так называемую спираль Архимеда, функцию, радиус которой зависит от угла. Работы греческих исследователей, однако, не развились в целостное определение системы координат .

Существуют разные версии о введении полярных координат в качестве формальной системы координат. Полная история возникновения и исследования описана в работе профессора из Гарварда Джулиан Лоувел Кулидж «Происхождение полярных координат». Грегуар де Сен-Венсан и Бонавентура Кавальери независимо друг от друга пришли к похожей концепции в середине XVII века. Сен-Венсан описал полярную систему в личных заметках в 1625 году, напечатав свои труды в 1647; а Кавальери напечатал свои труды в 1635 году, и исправленную версию в 1653 году. Кавельери применял полярные координаты для вычисления площади, ограниченной спирали Архимеда. Блез Паскаль впоследствии использовал полярные координаты для вычисления длин параболических дуг .

В книге «Методы функций» (написана в 1671 году, напечатана в 1736 году) сэр Исаак Ньютон исследовал преобразование между полярными координатами, которые он обозначал как «Седьмой способ; Для спиралей» («англ. Seventh Manner; For Spirals»), и девятью другими системами координат[7]. В статье, опубликованной в 1691 году в журнале Acta eruditorum, Якоб Бернулли использовал систему с точкой на прямой, которые он назвал полюсом и полярной осью соответственно. Координаты задавались как расстояние от полюса и угол от полярной оси. Работа Бернулли была посвящена проблеме нахождения радиуса кривизны кривых, определённых в этой системе координат .

Графическое представление. В полярной системе координат основными постоянными элементами, по отношению к которым определяется положение точки на плоскости, является точка O - полюс и ось OP, которая называется полярной осью .

Если M - произвольная точка плоскости, не совпадающая с полюсом O, то ее положение на плоскости вполне определено заданием двух чисел: r ее расстояния от полюса, выраженного в единицах масштаба, и угла, на который следует повернуть полярную ось против часовой стрелки, чтобы она совпала с лучом OM .

Числа r и называются полярными координатами точки M. Из них Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

первой координатой считается r, а второй. Координата r называется полярным радиусом точки M (иногда радиус-вектором точки M), а координата ее полярным углом (полярный угол измеряется в радианах). Полярные координаты записываются в скобках справа от ее обозначения, причем на первом месте в скобках записывается координата r, а на втором - координата, например, M(r, ). Полярный угол считается положительным, если он отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки, и отрицательным, если он отсчитывается от полярной оси по часовой стрелке .

В определенной таким образом полярной системе координат полярный радиус r - всегда величина положительная или равная нулю (r 0), так как под r понимается расстояние от полюса O до точки M, а расстояние, как и всякая длина, не может быть отрицательным .

Однако на практике удобнее пользоваться такой системой полярных координат, в которой полярный радиус r может принимать и отрицательные значения. Система полярных координат, в которой полярный радиус r может принимать любые значения (положительные, отрицательные и равные нулю), называется обобщенной системой полярных координат. Этой системой мы и будем пользоваться .

Связь между декартовыми и полярными координатами .

Если полюс полярной системы координат находится в начале прямоугольной системы координат, а положительная полуось Ox совпадает с полярной осью, ось же Oy перпендикулярна оси Ox и направлена так, что ей соответствует полярный угол f = p 2, то по известным полярным координатам точки ее прямоугольные координаты вычисляются по формулам

–  –  –

величиной положительной или нулем, то r = + x 2 + y 2. Если же r, как это имеет место в обобщенной системе полярных координат, может быть и отрицательной величиной, то r = ± x 2 + y 2 .

Уравнение кривых в полярных координатах .

Благодаря радиальной природе полярной системы координат, некоторые кривые могут быть достаточно просто описаны полярным уравнением, тогда как уравнение в прямоугольной системе координат были бы намного сложнее. Среди самых известных кривых: полярная роза, архимедова спираль, Лемниската, улитка Паскаля и кардиоида .

Окружность .

–  –  –

радиусом а имеет вид: r - 2rr0 cos(f - q ) + r = a .

Это уравнение может быть упрощено для частных случаев, например, r (f ) = a является уравнением, определяющим окружность с центром в полюсе и радиусом а .

Полярная роза .

Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

Рис. 2. Полярная роза задана уравнением r (f ) = 2 sin 4f .

Полярная роза — известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками. Она может быть определена простым уравнением в полярных координатах: r (f ) = a cos( kf +q 0) для произвольной постоянной q 0 (включая 0). Если k — целое число, то это уравнение будет определять розу с k лепестками для нечётных k, либо с 2k лепестками для чётных k. Если k — рациональное, но не целое, график, заданный уравнением, образует фигуру, подобную розе, но лепестки будут перекрываться. Если k — иррациональное, то роза состоит из бесконечного множества частично накладывающихся друг на друга лепестков. Розы с 2, 6, 10, 14 и т. д. лепестками этим уравнением определить невозможно. Переменная a определяет длину лепестков .

Если считать, что радиус не может быть отрицательным, то при любом натуральном k мы будем иметь k - лепестковую розу. Таким образом, уравнение r (f ) = cos 2f будет определять розу с двумя лепестками. С геометрической точки зрения радиус это расстояние от полюса до точки и он не может быть отрицательным .

Пример построения одного «листа» .

Построить кривую (x2 + y2)2 = 2ax3 (a 0) .

Решение .

Найти полярное уравнение кривой. Поместить полюс в начало прямоугольной системы координат, а полярную ось совместить с положительной частью оси абсцисс. Воспользуемся формулами x = r cos f, y = r sin f Уравнение данной кривой в полярных координатах имеет вид r = 2а cos f. Из рассмотрения данного уравнения заключаем, что при любых значениях x и y его левая часть не отрицательна, так как она содержит квадрат суммы x2 + y2. Значит, и правая его часть 2ax3 (a 0) не может быть отрицательной, т. е. x не может принимать Республиканская студенческая научно-техническая конференция «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ИНЖЕНЕРА», 26 апреля 2017 г .

_____________________________________________________________

отрицательных значений. Это говорит о том, что вся кривая будет расположена вправо от оси Oy .

Так как замена в данном уравнении y на -y не изменяет уравнения, то очевидно, что кривая расположена симметрично относительно оси абсцисс. Значит, достаточно построить кривую в первой четверти, а затем симметричную ей часть в четвертой четверти. Эти соображения говорят о том, что полярному углу в уравнении данной кривой r = 2а cos f следует придавать значения только от f = 0 до f = p 2. Таким образом, это простое исследование помогло нам значительно упростить вычисления, так как теперь, вместо того, чтобы придавать полярному углу значения от f = 0 до f = 2p, ограничимся значениями для только из первой четверти (кривая изображена на рис. 3)

Рис. 3 .

Литература

1. Brown Richard G. Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis / Andrew M. Gleason. — Evanston, Illinois: McDougal Littell, 1997. — ISBN 0-395-77114-5

2. T. Koetsier, L. Bergmans (2005), «Mathematics and the Divine», Elsevier, с. 169, ISBN 0444503285



Pages:   || 2 | 3 | 4 |


Похожие работы:

«УЧЕНЫЙ XXI ВЕКА международный научный журнал № 3-2 (38), март 2018 г. Редакционная коллегия А.В Бурков, д-р. экон. наук, доцент (Россия), главный редактор. Е.А . Мурзина, канд. экон. наук, доцент (Россия), технический редакт...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" Инженерная школа природ...»

«Глава 8. Функционирование РСЧС Деятельность Правительственной комиссии по предупреждению и ликвидации чрезвычайных ситуаций и обеспечению пожарной безопасности в 2011 году В целях обеспечения согласованности действий органов исполнительной власти, государственных и иных организаций в целях реализации...»

«Представительство АО Шелтек АГ (Швейцария) г. Москва Россия, 119334 Москва, ул. Косыгина, 19 Официальный дистрибьютор Тел.: 495 935 8888 PerkinElmer Inc. в странах СНГ Факс: 495 564 8787 Уважаемые господа! Компания Шелтек АГ, официальный представитель корпорации Pe...»

«РУКОВОДСТВО ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ ВЕНТИЛЯТОР ПОТОЛОЧНЫЙ СЕРИЯ ВП ВП СОДЕРЖАНИЕ стр. 3 Назначение стр. 3 Комплект поставки стр. 3 Структура условного обозначения стр. 4 Основные технические характеристики стр. 5 Требования безопасности стр. 5 Устрой...»

«Больбасов Евгений Николаевич ЭЛАСТИЧНЫЕ ИНТРАМЕДУЛЛЯРНЫЕ ИМПЛАНТАТЫ С ОСТЕОИНДУКТИВНЫМИ КОМПОЗИЦИОННЫМИ ПОКРЫТИЯМИ НА ОСНОВЕ СОПОЛИМЕРА ВИНИЛИДЕНФТОРИДА С ТЕТРАФТОРЭТИЛЕНОМ И ГИДРОКСИАПАТИТА 05.11.17 – Приборы, системы и изделия медицинского назначения АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени канди...»

«Инструкция по эксплуатации v.3 ETON G3 Globe Traveler www.radioplaneta.ru Инструкция по эксплуатации v.3 ETON G3 Globe Traveler www.radioplaneta.ru Техническая поддержка Eton Corporation, 1015 Corporation Way, Palo Alto, CA 94303, USA. 1-800-872-2228 (U.S.); 1-800-637-1648 (Canada); 650-903-3866 (wo...»

«1. Светлогорский район Здание гостиницы Svetlogorsk district – Hotel Продавец: Открытое акционерное общество Seller: Branch of Joint Stock Company "Белагропромбанк" "Belagropronbank"Контактные телефоны продавца: Contact telephones: (+375) 17 229-60-45, (+375) 232 79-26-95, +(375) 17 229-60-45, (+375) 232...»

«Ru Специальное дополнение к руководству по монтажу и эксплуатации на ротаметры Н250 /Н54 Электронный конвертор M10 взрывозащищенного исполнения EEx-d PTB 01 ATEX 1154 Ротаметры Вихревые расходомеры Контроллеры расхода Электромагнитные расходомеры Ультразвуковые расходомеры Массовые...»

«МОРОЗОВ Артемий Михайлович МЕХАНИЗМЫ ФОРМИРОВАНИЯ ПОЛИТИКИ ВЕЛИКОБРИТАНИИ В ОТНОШЕНИИ ЕС Специальность 23.00.04 -Политические проблемы международных отношений и глобального развития АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата политических наук 3 О ОНТ 2QQ3 Москва Работа вьшолнена на кафедре мировой...»

«Персональный алкотестер Alcoscent DA-7000 Руководство по эксплуатации www.med-magazin.ru 8 (800) 100-53-10 СОДЕРЖАНИЕ 1 ОПИСАНИЕ И РАБОТА 1.1 Назначение 1.2 Технические характеристики 1.3 Упаковка 2 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПО НАЗНАЧЕНИЮ 2.1 Важные предупреждения 2.2 Порядок работ...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТ...»

«ОБОРУДОВАНИЕ ТЯГОВОЙ СЕТИ 825 В КАТАЛОГ 190 2018 01 ДЛЯ МЕТРОПОЛИТЕНА ОБОРУДОВАНИЕ ТЯГОВОЙ СЕТИ 825 В ДЛЯ МЕТРОПОЛИТЕНА Каталог – 190 ООО НИИЭФА-ЭНЕРГО Факс: (812) 464-46-34 www.nfenergo.ru 196641, Санкт-Петербург, Телефон: (812) 464-45-92 E-mail: Info@nfenergo.ru п. Металлострой, промзона Металлострой, дорога на Металлострой, д. 3, корп....»

«Турникет-трипод электромеханический PERCo-TTR-04.1 Руководство по эксплуатации Турникет-трипод электромеханический PERCo-TTR-04.1 Руководство по эксплуатации РОСС. RU.МЛ02.В01480 ТУ 4372-010-88226999-2011 СОДЕРЖАНИЕ...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ С.М. КИРОВА Совет молодых ученых и специалистов СПбГЛТУ СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛ...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ТЕХНИЧЕСКОМУ РЕГУЛИРОВАНИЮ И МЕТРОЛОГИИ ГОСТР НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ 8.940— РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственная система обеспечения единства измерений НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ. СТАНДАРТНЫЕ СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ Медно-цинковые сплавы. Температурный коэффициент линейного расширения и удельное электрическое со...»

«МКС 67.080 Н59 к ГОСТ 31082-2002 Соки фруктовые и овощные. Метод определения L-яблочной кислоты В каком месте Напечатано Должно быть ГОСТ Р 51259-99 ГОСТ Р 51239-98 Предисловие. Пункт 3 (ИУС РБ № 4 2003 г.) сертификат на пиломатериалы ГОСТ 31082-2002 МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОКИ ФР...»

«Гусев Анатолий Иванович МЕТАЛЛОГЕНИЯ ЗОЛОТА ГОРНОГО АЛТАЯ И ЮГА ГОРНОЙ ШОРИИ 25.00.11  геология, поиски и разведка твёрдых  полезных  ископаемых; минерагения Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора геологоминералогических  наук Томск 2006 Р...»

«Каталог растений для ландшафтного дизайна предлагает Вам ознакомиться с ассортиментом растений для открытого грунта, выращенных в питомнике "Архиленд" Нижегородской области и адаптированный для климатических условий средней полосы России. ПОЧЕМУ ПРОФ...»

«© KROHNE 10/2006 7.10018.22.00 CMD Дополнения к инструкции по эксплуатации Цельнометаллические миниатюрные ротаметры DK3././././. -EEx Класс II2G Ротаметры Вихревые расходомеры Контроллеры расхода Электромагнитные расходомеры Ультразвуковые расходомеры Массовые расходомеры Уровнемеры Промышл...»

«Открытая студенческая научно-техническая конференция "СНТК-2017" Открытая студенческая научно-техническая конференция "СНТК-2017" Москва 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНО...»

«ПАСПОРТ СИСТЕМА ДИСТАНЦИОННОГО ИЗМЕРЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ГАЗА В ЦИСТЕРНЕ LPG ООО "МИТЕКС" 194214, Россия, г. Санкт-Петербург, Выборгское шоссе, д.6а лит.А тел./факс (812) 633-07-10, 633-07-11 ООО "МИТЕКС" Россия, г. Са...»

«Journal of Siberian Federal University. Chemistry 4 (2017 10) 465-476 ~~~ УДК 666.7 CUMITHERM®– A State-of-the-art Zero Expansion Ceramics and its Applications Santanu Mandal, Suresh Kumar Ch...»

«ПРОБЛЕМЫ ГЕОЛОГИИ И ОСВОЕНИЯ НЕДР вяжущем // В сборнике: Интеллектуальные строительные композиты для зеленого строительства Сборник докладов международной научно-практической конференции, посвященной 70-летию заслуженного деятеля науки РФ, члена-корреспондента РААСН, доктора технических наук, профессор...»







 
2019 www.librus.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - собрание публикаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.