WWW.LIBRUS.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - собрание публикаций
 

«Кафедра машиностроения Исинтаев Т.И., Медведев М.Ю. ДИНАМИКА МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ Практикум Костанай, 2017 ББК 22.21 я73 УДК 621 (075.8) И 85 РЕЦЕНЗЕНТЫ Баймухамедов Малик ...»

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Костанайский государственный университет имени А. Байтурсынова

Кафедра машиностроения

Исинтаев Т.И., Медведев М.Ю .

ДИНАМИКА

МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Практикум

Костанай, 2017

ББК 22.21 я73

УДК 621 (075.8)

И 85

РЕЦЕНЗЕНТЫ

Баймухамедов Малик Файзуллович, доктор технических наук, профессор, проректор по НРиВС КСТУ имени академика З.Алдамжар

Гайфуллин Гаяз Закирович, доктор технических наук, профессор, КГУ имени А .

Байтурсынова Нурушев Серик Закирович, кандидат технических наук, доцент, КГУ имени А .

Байтурсынова

Авторы:

Исинтаев Такабай Исинтайулы, кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры машиностроения ИТФ КГУ имени А. Байтурсынова Медведев Михаил Юрьевич, доктор технических наук, профессор, зав. кафедры электротехники и мехатроники Таганрогского технологического института Южного федерального университета (РФ.) И85 Исинтаев Т.И., Медведев М.Ю .

Динамика механических систем: Практикум. – Костанай, 2017. – 99с ISBN Практикум по дисциплине «Динамика механических систем» содержит краткое изложение теории и практические задания с указанием методик их решения .

Предназначен для магистрантов, обучающихся в рамках второй Республиканской программы Государственного инновационно-индустриального развития Казахстана (ГПИИР-2), и будет полезным для преподавателей, докторантов и студентов инженерных специальностей .

ББК22.21 я73 Утверждено и рекомендовано к изданию Учебно-методическим советом Костанайского государственного университета имени А.Байтурсынова, «__» _______ 2017г., протокол № ___ ISBN © Исинтаев Т., Медведев М., 2017 © КГУ имени А.Байтурсынова, 2017 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ............................................... 4 Практическая работа 1...................................... 5 Практическая работа 2...................................... 13 Практическая работа 3...................................... 31 Практическая работа 4...................................... 44 Практическая работа 5...................................... 53 ПРИЛОЖЕНИЯ........................................... 58 Приложение А............................................. 59 Приложение Б.......................................

–  –  –

ВВЕДЕНИЕ Практикум содержит краткое изложение основных разделов задания для динамики и практические задания для закрепления изучаемых вопросов с указаниями по их выполнению. Учитывая, что в учебном плане специальности магистратуры 6М072400 направления Автомобильная инженерия, на чтение теоретического материала по динамике отводится всего 5 часов, этот материал можно рассматривать как опорный конспект лекций, помогающий, обучающимся, оптимизировать свою работу по изучению дисциплины и легче ориентироваться в многообразии литературных источников .

Для закрепления теории магистрантам предлагается решить задачи. Решение задач позволит магистрантам в приобретении навыков профессиональной подготовки. Необходимо отметить, что практикум содержит не только теоретический материал, но и задачи для самостоятельного решения .





В приложениях А-Д приведены варианты заданий, в каждом из которых необходимо провести комплексное исследование движения механической системы. В приложении Е кратко изложены основные теоретические положения которые можно использовать при решении практических заданий. Трудоемкость работы составляет 30 часов.

Для решения поставленных задач магистранты используют теоретический материал следующих разделов:

• теоремы о движении центра масс и теории удара;

• дифференциальные уравнения движения тел механической системы;

• теорема об изменении кинетической энергии механической системы;

• общее уравнение динамики;

• уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода .

Цель указаний – помочь магистрантам более глубоко изучить теорию и освоить методы решения задач динамики .

Задачи – способствовать приобретению магистрантами умений и навыков практического применения дифференциальных уравнений, общих теорем динамики, а также методов аналитической механики к исследованию движения точек и механических систем, что способствует формированию у них компетенций, обозначенных в стандартах ГОСО РК и рабочих учебных программах дисциплины .

Практикум предназначен для магистрантов, обучающихся в рамках второй Республиканской программы Государственного инновационно-индустриального развития Казахстана (ГПИИР-2), и будет полезным для преподавателей, докторантов и студентов инженерных специальностей .

Практикум составлен в рамках сотрудничества по академической мобильности преподавателей Исинтаевым Т. - КГУ имени А. Байтурсынова и Медведевым М. Южный федеральный университет( г. Ростов н/Дону, РФ.) В практикум включены, с их согласия, некоторые материалы лекций профессоров Сеульского национального университета (Ю.Корея) Ю.Кингсу (Yi Kyongsu) и Джангил Кима (Junggil Kim), прочитанные ими в рамках академической мобильности преподавателей в октябре-ноябре 2016 г/ перед магистрантами, обучающимися по РП ГИИР-2 .

Практическая работа 1 Тема: Решение задач по динамике механических систем (далее МС) Цель: Изучить алгоритмы решения задач динамики механических систем

Задачи:

1 Ознакомиться с основными понятиями, аксиомами и теоремами динамики МС;

2 Определить степени свободы МС;

3 Решить дифференциальные уравнения движения МС;

4 Определить геометрию масс МС .

Литература 1 Куликов И.С., Маковкин Г.А. Динамика механических систем: Учебное пособие. – Н.Новгород: Нижегород. гос. архитект. - строит. ун-т, 2011г. – 147 с .

2 Куликов И.С., Трянина Н.Ю. Сборник задач по теоретической механике:

Учебное пособие / И.С. Куликов, Н.Ю. Трянина. – Н. Новгород: ННГАСУ, 2012. – 84с .

3 Сб. заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учебное пособие / Под ред. А.А.Яблонского. - М.: Высш. школа, 1985 - 367 с .

Указания для выполнения практической работы

Перед началом работы следует ознакомиться с теоретическими положениями по данной теме, изложенных в учебном пособии [1] и изучить решение подобных задач, приведенных в литературе [2 и 3] .

Примерный алгоритм решения основной задачи динамики .

1. Выбрать начало отчета (как правило, совмещая его с начальным положением точки) .

2. Провести координатные оси, направляя их, как правило, в сторону движения .

3. Изобразить движущуюся точку в произвольном положении (но так, чтобы было х 0, у 0, z 0 и Vx 0, Vу 0, Vz 0) .

4. Приложить к точке все действующие на нее силы .

5. Записать основное уравнение динамики применительно к данной задаче в векторном виде .

6. Спроектировать векторное уравнение на выбранные оси, то есть записать дифференциальные уравнения движения точки .

7. Преобразовать дифференциальные уравнения к виду, удобному для интегрирования .

8. Записать начальные условия .

9. Дважды проинтегрировать дифференциальные уравнения и получить их общие решения .

10. Определить постоянные интегрирования .

11. Записать частные решения дифференциальных уравнений, то есть подставить постоянные интегрирования в их общие решения .

12. Найти искомые в задаче величины и исследовать полученный результат Задача 1.1 Применение общих теорем динамики к исследованию движения материальной точки 1)

–  –  –

Цифровые данные и схемы участков дороги для решения задания приведены в приложении А Рисунок 1. Движение автомобиля по трассе и мосту Задача 1.2 Определение центра тяжести плоской фигуры

–  –  –

Рисунок 6 – Центры тяжести плоских фигур Рисунок 7 – Разбивка фигуры на простые элементы Задания для решения практической работы 1.2 приведены в приложении Б

–  –  –

1. Дифференциальные уравнения движения свободной и несвободной материальной точки в декартовых координатах .

2. Динамические уравнения движения в проекциях на естественные оси .

3. Две задачи динамики материальной точки и их решение .

4. Начальные условия. Постоянные интегрирования и их определение по начальным условиям .

5. Примеры интегрирования дифференциальных уравнений точки в случаях силы, зависящей от времени, от положения точки и ее скорости .

6. Связи, налагаемые на механическую систему. Классификация связей .

7. Возможные перемещения материальной точки и механической системы .

8. Число степеней свободы системы .

9. Идеальные связи .

10.Что такое центр тяжести плоской фигуры

11.Характеристика центра тяжести плоской фигуры

Практическая работа 2

Тема: Решение задач об изменении количества движения и кинетической энергии МС и теории удара Цель: Изучить алгоритмы решения задач по теориям изменения количества движения, кинетической энергии МС и удара

Задачи:

1 Ознакомиться с теоремой о движении центра масс;

2 Научиться решать задачи по основным положениям теории удара;

3 Научиться решать задачи по изменению кинетическому моменту МС;

4 Научиться решать задачи по кинетической энергии системы .

5 Научиться решать задачи по изменению количества движения и кинетической энергии при ударах МС .

6 Научиться решать задачи по определению работы сил, приложенных к МС .

Литература 1 Куликов И.С., Маковкин Г.А. Динамика механических систем: Учебное пособие. – Н.Новгород: Нижегород. гос. архитект. - строит. ун-т, 2011г. – 147 с .

2 Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики, том III. Динамика. – М.: Высшая школа, 1985. – 495 с .

3 Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: Учебное пособие / И.В. Мещерский. - М.: Наука, 1986. - 448 с .

4 Сб. заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учебное пособие / Под ред. А.А.Яблонского. - М.: Высш. школа, 1985 - 367 с .

2.1 Задания по теории о движении центра масс 9):

Задания для практических работ по этой теме приведены ниже. Магистранту необходимо решить все задачи с 1 по 6 Задача 2.2 Применение теоремы об изменении кинетического момента к определению угловой скорости тела

Условия задания:

–  –  –

В приложении В даны задания для выполнения практической работы 2.2 Практическая работа 2.3 13) Рисунок 13 – Схема системы и сил, действующих на нее 13) Рисунок 14 – Схема механизма для примера 2 Ниже предлагаются задачи 1-6 для решения всеми магистрантами

–  –  –

Задания на практическую работу по теории удара На схемах (таблица ниже) показаны МС, состоящие из конструкции и ударяющего по ней тела. Конструкция может вращаться вокруг оси, проходящей через неподвижную точку О. МС состоит из однородных стержней 1 и 2, или однородной пластины 3 и точечных грузов 4. Масса 1пм стержней равна 25кг, масса 1м 2 пластины – 50кг, масса точечного груза – 20кг. Размеры частей МС указаны в метрах. Тело 5 массой 30кг, двигаясь со скоростью V= 4м/с. Ударяется о неподвижную конструкцию в точке А .

Определить угловую скорость конструкции после удара и воспринимаемый ею ударный импульс. Найти потерянную кинетическую энергию системы .

Таблица (задачи решать при абсолютно упругом и неупругим ударах) Вариант Схема Вариант Схема Образец выполнения задачи Груз массой m1 = 10 кг, двигаясь поступательно со скоростью v=5м/с по горизонтальной поверхности, сталкивается с нижним концом висящего вертикально однородного стержня массой m2 = 30 кг и длиной I = 0,5 м. Считая удар абсолютно неупругим, определитьугловую скорость стежня w и скорость груза после удара v, а также величины действующих ударных импульсов. Найти также потерянную при ударе кинетическую энергию системы .

Решение. Если в качестве механической системы рассматривать груз и стержень, то возникающая между ними ударная сила окажется силой внутренней (ударный импульс ), а внешним ударным будет лишь импульс на оси вращения стержня, который разложим на составляющие ох и oy .

Применим к системе теорему об изменении кинетического момента при ударе относительно оси вращения стержня z .

В данном случае:

кинетический момент системы в процессе удара сохранится: Кz = (Кz)0 .

До удара стержень был неподвижен и кинетический момент был лишь у груза (момент его количества движения ): (Кz)0 =m1vl .

После удара скорость груза изменится и станет равной некоторой величине u, а стержень приобретет некоторую угловую скорость и кинетический момент Jz,

–  –  –

Таким образом, после удара Кz = m1ul+ Jz .

Поскольку удар является абсолютно неупругим (т.е. отсутствует отскок), то:

u = l, тогда

Приравнивая кинетические моменты до удара и после него, получим:

–  –  –

Для вычисления ударного импульса S между грузом и стержнем применим к грузу теорему об изменении количества движения при ударе:

В проекции на горизонтальную ось имеем: т1 и - т1; v=- S, откуда S = т1 (v - u)= = 25 Нс Чтобы вычислить ударные импульсы на оси стержня, применим к нему теорему об изменении количества движения при ударе, учитывая, количество движения тела равно произведению его массы на скорость центра масс .

До удара стержень был неподвижен и Qо = 0, после удара

Q = m2vc, где:

–  –  –

1 Меры механического движения точки: количество движения, кинетическая энергия .

2 Теорема об изменении количества движения материальной точки .

3 Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки .

4 Моменты количества движения материальной точки относительно центра и оси .

5 Теорема об изменении момента количества движения материальной точки .

6 Механическая система. Классификация сил, действующих на механическую систему: свойства внутренних сил .

7 Масса системы. Центр масс, радиус - вектор и координаты центра масс .

8 Моменты инерции объекта относительно оси; радиус инерции .

9 Моменты инерции объекта относительно координатных осей и начала координат .

10 Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей .

11 Вычисление моментов инерции однородного тонкого стержня, тонкого круглого кольца и круглого диска .

12 Теорема о движении центра масс системы. Закон сохранения движения центра масс .

13 Количество движения системы .

14 Теорема об изменении количества движения системы .

15 Закон сохранения количества движения механической системы .

16 Главный момент количества движения или кинетический момент системы относительно центра и относительно оси .

17 Кинетический момент вращающегося объекта относительно оси вращения .

18 Теорема об изменении кинетического момента системы .

19 Закон сохранения кинетического момента системы .

20 Явление удара .

21 Ударная сила и ударный импульс .

22 Действие ударной силы на материальную точку .

23 Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе .

24 Прямой центральный удар объекта о неподвижную поверхность; упругий и неупругий удар .

25 Коэффициент восстановления при ударе и его опытное определение .

26 Прямой центральный удар двух объектов .

Практическая работа 3 Тема: Решение задач по потенциальной энергии МС и определения динамических реакций балок и рам МС Цель: Изучить алгоритмы решения задач по определению потенциальной энергии МС и динамических реакций балок и рам МС

Задачи:

1 Решить задачи по определению потенциальной энергии МС;

2 Ознакомиться с теорией принципа Д Аламбера;

3 Решить задачи по определению динамических реакций;

4 Ознакомиться с теорией принципа возможных перемещений (ПВП) МС и эквивалент-ностью ПВП и условия равновесия МС;

5 Применить ПВП для определения реакций балок и рам .

Литература 1 Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики, том III. Динамика. – М.: Высшая школа, 1985. – 495 с .

2 Куликов И.С., Маковкин Г.А. Динамика механических систем: Учебное пособие. – Н.Новгород: Нижегород. гос. архитект. - строит. ун-т, 2011г. – 147 с .

3 Куликов И.С., Трянина Н.Ю. Сборник задач по теоретической механике: Учебное пособие / И.С. Куликов, Н.Ю. Трянина. – Н. Новгород: ННГАСУ, 2012. – 84с .

Практическая работа состоит из 2 заданий:

Первое задание заключается в определении характера движения МС, двигающегося под действием сил тяжести .

Второе задание заключается в определении динамических реакций балок и рам механической системы Задание 1 Механическая система, состоящая из трех однородных тел А, В и С, приходит в движение из состояния покоя под действием сил тяжести G1, G2 и G3, приложенных к их центрам масс. Нити, соединяющие тела, невесомы, нерастяжимы и расположены параллельно опорным поверхностям. Грузы скользят по шероховатой поверхности. У катящегося колеса отсутствует проскальзывание. Колеса считать однородными сплошными дисками .

Дано:

- силы тяжести тел, в Н: G1, G2 и G3; - размеры тел, в м: r1, R2, r2, R3 и r3;

- радиусы инерции 2 и 3 ступенчатого блока (шкива), или ступенчатого колеса (на схемах эти тела имеют две окружности); - коэффициент трения скольжения f;

- коэффициент трения качения k; - угол наклона плоскости В приложении даны схемы и необходимые цифровые данные для решения задания .

Каждый магистрант выполняет вариант, соответствующий его номеру в списке обучающихся .

Контрольные вопросы:

1 Дифференциальные уравнения движения свободной и несвободной материальной точки в декартовых координатах .

2 Динамические уравнения движения в проекциях на естественные оси .

3 Две задачи динамики материальной точки и их решение .

4 Начальные условия. Постоянные интегрирования и их определение по начальным условиям .

5 Примеры интегрирования дифференциальных уравнений точки в случаях силы, зависящей от времени, от положения точки и ее скорости .

–  –  –

(рис. 16), то рисунке 17 Рисунок 17 Рисунок 18 Задание 3.2 : Определение динамических реакций балок и рам МС

Теоретические положения:

Задачи такого рода решаются с использованием принципа возможных перемещений (ПВП). Теорема о ПВП сформулирована следующим образом:

8) 3.2 Схемы балок для выполнения задания даны в приложении

–  –  –

1 Элементарная работа силы .

2 Аналитическое выражение элементарной работы силы .

3 Работа силы на конечном перемещении точки ее приложения 4 Связи, налагаемые на механическую систему. Классификация связей .

5 Возможные перемещения материальной точки и механической системы .

6 Число степеней свободы системы .

7 Идеальные связи .

8 Принцип возможных перемещений .

9 Общее уравнение динамики .

10Обобщенные координаты и обобщенные скорости системы .

11Обобщенные силы и их вычисление .

12Условия равновесия системы в обобщенных координатах .

Практическая работа 4 .

Тема: Решение задач с применением принципа Д Аламбера-Лагранжа Цель: Изучить алгоритмы решения задач по применению принципа Д АламбераЛагранжа

Задачи:

1 Решить задачи по обобщению координаты МС;

2 Решить задачи по обобщению сил и скорости МС .

3 Ознакомиться с теоретическими положениями структуры уравнений Лагранжа .

4 Решить задачи по устойчивости МС .

Литература 1 Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики, том III. Динамика. – М.: Высшая школа, 1985. – 495 с .

2 Куликов И.С., Маковкин Г.А. Динамика механических систем: Учебное пособие. – Н.Новгород: Нижегород. гос. архитект. - строит. ун-т, 2011г. – 147 с .

3 Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: Учебное пособие / И.В. Мещерский. - М.: Наука, 1986. - 448 с .

Теоретические положения Обобщённые координаты — параметры, описывающие конфигурацию динамической системы относительно некоторой эталонной конфигурации в аналитической механике, а конкретно исследовании динамики тврдых тел в системе многих тел. Эти параметры должны однозначно определять конфигурацию системы относительно эталонной конфигурации .

Обобщённые скорости— производные по времени обобщнных координат системы .

Пример обобщнной координаты — угол, который определяет местоположение точки, движущейся по окружности. Прилагательное «обобщнная» используется, чтобы отличать эти параметры от традиционного использования термина координат для обозначения Декартовых координат: например, описывая расположение точки на окружности через X и Y координаты .

В общем случае, число параметров (координат) будет зависеть как от числа точек входящих в систему, так и от характера наложенных связей .

Если не рассматривать связи, наложенные на скорость, а наложенные только на положение системы в пространстве, то говорят, что остались только геометрические связи .

Если связь допускает возможное перемещение, то точка по этой связи свободна. Числом степеней свободы системы называется число независимых между собой возможных перемещений системы .

Число независимых координат, определяющих положение системы в геометрическими связями, равно числу степеней свободы этой системы .

В качестве таких координат можно выбрать любые параметры, с любой размерностью, с любым геометрическим смыслом (углы, площади, объемы и т.д.) .

Такие независимые между собой параметры называются обобщенными координатами. Обозначаются буквой q .

Так как свободная точка (именно точка) имеет при степени свободы, то система из n точек будет иметь, в силу k связей S = 3n - k степеней свободы и ее будут описывать S независимых обобщенных координат В силу независимости обобщенных координат, независимыми будут и возможные перемещения вдоль них: .

При переходе из одной системы координат в другую мы выражаем одни координаты через другие. Это возможно и при переходе к обобщенной системе координат .

Если вспомнить координатный способ задания движения точки, то можно сказать, что теперь уже обобщенные координаты движущейся системы будут изменяться со временем, то есть:

Эти уравнения называются уравнениями движения системы в обобщенных координатах .

Если взять производные от обобщенных координат по времени, то получим обобщенные скорости:

Размерность обобщенной скорости зависит от размерности обобщенной координаты:

q - линейная величина, - линейная скорость;

q - угол, - угловая скорость;

q - площадь, - секторная скорость и т.д .

Рассматривая координаты и скорости в обобщенном виде нeльзя не остановиться на таком понятии как обобщенная сила .

Обобщенные силы Пусть дана механическая система из n материальных точек массами .

На систему точек действует система сил .

Если система имеет s степеней свободы, то ее положение определяется S обобщенными координатами, и существует S независимых возможных перемещений (где к = 1,2,.., S) .

Дадим обобщенной координате q1 бесконечно малое приращение, не изменяя остальные обобщенные координаты.

Тогда точки системы получат возможные перемещения, а каждый из радиус-векторов получит приращение :

–  –  –

Вынесем за скобки общий множитель dq1 и обозначим помня, что точка обозначает скалярное произведение двух векторов.

Тогда получаем:

Выпишем соотношение это определяющее, элементарную работу силы на перемещении dS:

По аналогии, величину Q1 называют обобщенной силой совершающей работу на возможном перемещении .

Теперь, задавая второй обобщенной координате q2 возможное перемещение (оставляя остальные координаты неизменными) и рассуждая так же как и в первом случае, получаем:

Действуя аналогичным образом мы получим S уравнений этого типа. В случае, если мы сообщим системе одно возможное перемещение, но такое, что все обобщенные координаты изменятся, то сумму работ можно записать как Обобщенные силы это коэффициенты при вариациях обобщенных координат при нахождении полной элементарной работы действующих на систему сил .

Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты и равна размерности работы, деленной на размерность координаты .

Если силы действующие на систему потенциальны, то существует силовая функция, такая что

–  –  –

После чего, получаем:

или через потенциальную энергию:

Определив обобщенные силы, скажем несколько слов об условиях равновесия системы материальных точек (тел) под действием этих сил .

Для равновесия механической системы, необходимо и достаточно чтобы выполнялось условие:

При переходе к обобщенным координата это условие переходит в условие равенства нулю соотношения:

Так как все независимы, то это соотношение распадается на S равенств:

Для равновесия системы материальных точек необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы приложенные к системе были равны нулю .

Число условий равновесия равно числу степеней свободы или числу обобщенных координат .

В случае потенциальных сил условия дают:

To есть, полный дифференциал функций П или U должен быть равен нулю:

Равновесие системы возможно только при минимуме или максимуме этих функций .

Уравнения Лагранжа

Запишем общее уравнение динамики:

для механической системы из n точек с S степенями свободы в обобщенных координатах .

Тогда для первого слагаемого имеем:

По аналогии и для сил инерции запишем:

где обобщенные силы инерции обозначены как Подставляем и получаем т.е. полную аналогию уравнения, полученнуюранее) .

Так как все независимы, то последнее уравнение будет равно нулю если коэффициенты при будут равны нулю:

Мы получили те же условия равновесия системы, что и ранее, но с учетом обобщенных сил инерции, согласно принципу Даламбера .

Уравнения можно применять в практически любых задачах динамики, но это делать достаточно сложно. Лагранж упростил этот процесс, выразив обобщенные силы инерции через кинетическую энергию .

Следуя ему, преобразуем .

Так как для любой точки k системы то из первого соотношения получаем:

Задача перехода к кинетической энергии сводится к преобразованию правой части этого выражения. Запишем скалярное произведение производных как

Введем традиционные обозначения, когда точка над величиной обозначает производную по времени:

то есть, действительную и обобщенную скорость .

Принимая к сведению, переместительность операций дифференцирования по t и q1, запишем:

–  –  –

Для всех обобщенных сил инерции результаты аналогичны. Подставляя значения получаем систему уравнений:

Уравнения Лагранжа или дифференциальные уравнения движения в обобщенных координатах. Их число равняется числу обобщенных координат или числу степеней свободы .

Систему уравнений удобнее записывать как единое уравнение где к = 1, 2, 3,..., S .

В случае потенциальных сил Qк можно переписать как или вводя функцию Лагранжа L = Т - П:

Устойчивость механических систем Условия равновесия или устойчивого состояния свободной механической системы состоят в равенстве нулю сумм проекций сил на три координатные оси Oxyz и сумм моментов всех приложенных к телу сил относительно этих осей, т. е .

При выполнении этих условий тело будет по отношению к данной системе отсчта находиться в покое, если скорости всех его точек относительно этой системы в момент начала действия сил были равны нулю. В противном случае тело при выполнении условий будет совершать движение по инерции, например, двигаться поступательно, равномерно и прямолинейно .

МС не является устойчивой, если условия его равновесия содержат реакции наложенных связей; остальные равенства дают уравнения для определения неизвестных реакций. Например, для тела, имеющего неподвижную ось вращения Oz, условием равновесия будет Smz(Fk)=0; остальные равенства служат для определения реакций подшипников, закрепляющих ось. Если тело закреплено наложенными связями жстко, то все равенства дают уравнения для определения реакций связей .

Согласно принципу отвердевания, равенства, не содержащие реакций внешних связей, дают одновременно необходимые (но недостаточные) условия равновесия любой механической системы и, в частности, деформируемого тела. Необходимые и достаточные условия равновесия любой МС могут быть найдены с помощью принципа возможных перемещений. Для системы, имеющей s степеней свободы, эти условия состоят в равенстве нулю соответствующих обобщнных сил .

Пример определения положений равновесия и исследования их устойчивости Рассмотрим механическую систему, состоящую из трубки AB, которая стержнем OO1 соединена с горизонтальной осью вращения, и шарика, который перемещается по трубке без трения и связан с точкой A трубки пружиной .

Определим положения равновесия системы и оценим их устойчивость при следующих параметрах: длина трубки l2= 1м, длина стержня l1 =0,5м, длина недеформированной пружины l0 = 0,6 м, жесткость пружины c = 100 Н/м. Масса трубки m2 = 2 кг, стержня - m1 = 1 кг и шарика - m3 = 0,5 кг. Расстояние OA равно l3 =0,4 м .

Запишем выражение для потенциальной энергии рассматриваемой системы. Она складывается из потенциальной энергии трех тел, находящихся в однородном поле силы тяжести, и потенциальной энергии деформированной пружины .

–  –  –

Для силы упругости потенциальная энергия определяется величиной деформации Найдем возможные положения равновесия системы. Значения координат в положениях равновесия есть корни следующей системы уравнений .

Подобную систему уравнений можно составить для любой механической системы с двумя степенями свободы. В некоторых случаях можно получить точное решение системы. Для системы (5) такого решения не существует, поэтому корни надо искать с помощью численных методов .

Решая систему трансцендентных уравнений (5), получаем два возможных положения равновесия:

Для оценки устойчивости полученных положений равновесия найдем все вторые производные от потенциальной энергии по обобщенным координатам и по ним определим обобщенные коэффициенты жесткости .

Тогда для первого положения равновесия Воспользуемся критерием Сильвестра Для второго найденного положения равновесия Таким образом, первое положение равновесия устойчиво, второе - неустойчиво .

Контрольные вопросы

- Каков вид условий равновесия сил, имеющих потенциал?

- Каким может быть состояние покоя механической системы?

- Каков критерий устойчивости состояния покоя механической системы, устанавливаемый теоремой Лагранжа-Дирихле?

- Как установить вид состояния покоя механической системы с одной степенью свободы в том случае, если

- Каков порядок исследования состояния покоя механической системы на устойчивость?

- Какое движение механической системы называется возмущенным?

- Какое равновесие системы называется: а) устойчивым; б) неустойчивым; в) асимптотически устойчивым?

- Каким свойством обладает потенциал консервативных сил в положении равновесия?

- Что называется потенциальным барьером? Потенциальной ямой?

- Сформулируйте теорему Ляпунова .

- Что такое уравнения первого приближения?

- Сформулируйте теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению .

Ниже приведены задачи, которые обязательны для решения всеми магистрантами

Задачи на обобщенные координаты скорости и силы:

1 Призма 1 может свободно двигаться по горизонтальной плоскости. Тела 2 и 3 связаны между собой пружиной и могут перемещаться относительно призмы. Предполагая, что движение системы происходит в плоскости рисунка, определить число обобщенных координат .

2 Механизм состоит из вертикальной оси 1, горизонтального стержня 2 и колеса 3 .

Определить число обобщенных координат колеса 3 3 Потенциальная энергия механической системы, где - в рад. Определить обобщенную силу, соответствующую обобщенной координате, в момент времени, когда угол =90 4 Однородный стержень длиной l = 3 м и массой m = 30 кг вращается в вертикальной плоскости. Определить обобщенную силу, соответствующую обобщенной координате, в момент времени, когда угол 5 Определить обобщенную силу, соответствующую обобщенной координате, если заданы массы тел (0) 6 Определить обобщенную силу, соответствующую координате х 1, если заданы массы тел 7 В некоторый момент времени обобщенная координата ф = 3 рад, а обобщенная скорость = 2 рад/с. Определить при этом модуль кинетического потенциала механической системы, если известно, что кинетическая энергия системы, а потенциальная энергия 8 Тело массой m = 20 кг скользит по гладкой поверхности вниз. Определить кинетический потенциал тела в момент времени, когда координата тела s = 2 м и скорость v = 3 м/с. Принять потенциальную энергию тела П0, равную нулю, в положении, когда координата s = 0

Задачи на уравнение Лагранжа второго рода для МС:

1 Кинетическая энергия системы. Из дифференциального уравнения движения системы, соответствующего обобщенной координате х2 определить ускорение в момент времени, когда ускорение, а обобщенная сила 2 На тело, которое находится в плоскопараллельном движении, действует система сил, главный вектор которой и главный момент Мс = 4. Определить ускорение у точки С тела, если его кинетическая энергия Кинетическая энергия механической системы, обобщенная сила - обобщенная координата, рад. Определить угловое ускорение в момент времени, когда = 8 рад .

4 Механизм движется в вертикальной плоскости. Кинетическая энергия, обобщенная сила, соответствующая координате, равна. Определить момент М пары сил, приложенной к кривошипу ОА, когда угловое ускорение Задачи на устойчивость МС 1 Решить приведенную в качестве примера задачу если длина трубки l2= 1,5м, длина стержня l1 =0,75м, длина недеформированной пружины l0 = 1 м, жесткость пружины c = 100 Н/м. Масса трубки m2 = 4 кг, стержня - m1 = 5 кг и шарика - m3 = 1,5 кг. Расстояние OA равно l3 =0,8 м .

2 Решить приведенную в качестве примера задачу если длина трубки l2= 0,75м, длина стержня l1 =1,75м, длина недеформированной пружины l0 = 0,6м, жесткость пружины c = 75 Н/м. Масса трубки m2 = 6 кг, стержня - m1 = 4 кг и шарика - m3 = 0,75 кг. Расстояние OA равно l3 =0,3 м .

3 Решить приведенную в качестве примера задачу если длина трубки l2= 2,5м, длина стержня l1 =1,75м, длина недеформированной пружины l0 = 1 м, жесткость пружины c = 120 Н/м. Масса трубки m2 = 8 кг, стержня - m1 = 6 кг и шарика - m3 = 2,5 кг. Расстояние OA равно l3 =1,2 м .

Практическая работа 5 Тема: Решение задач по колебанию МС и определению условий резонанса МС Цель: Изучить алгоритмы решения задач по колебанию МС и определению условий резонанса МС

Задачи:

1 Изучить теоретические положения свободных и вынужденных колебаний МС;

2 Решать задачи по свободным и вынужденным колебаниям МС;

3 Изучить теоретические положения определения кинетической и потенциальной энергии МС и решить задачи 4 Изучить теоретические положения на составление дифференциальных уравнений колебаний МС и решить задачи;

5 Изучить теоретические положения собственных частот и колебаний МС и решить задачи Литература 1 Куликов И.С., Маковкин Г.А. Динамика механических систем: Учебное пособие. – Н.Новгород: Нижегород. гос. архитект. - строит. ун-т, 2011г. – 147 с .

2 Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики, том III. Динамика. – М.: Высшая школа, 1985. – 495 с .

3 Куликов И.С., Трянина Н.Ю. Сборник задач по теоретической механике: Учебное пособие / И.С. Куликов, Н.Ю. Трянина. – Н. Новгород: ННГАСУ, 2012. – 84с .

4 Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: Учебное пособие / И.В. Мещерский. - М.: Наука, 1986. - 448 с

Теоретические положения Ниже показана классификация видов колебания .

Всякое колебательное движение, характеризуется амплитудой, периодом колебаний, частотой, циклической (круговой) частотой и фазой колебаний .

Амплитудой называют наибольшее значение колеблющейся величины (максимальное смещение от положения равновесия) .

Число полных колебаний в единицу времени называют частотой:. Циклическая (круговая) частота - это число полных колебаний в течении с: .

Периодом называют время, в течение которого совершается одно полное колебание:

.

Смещение, скорость и ускорение при гармоническом колебании определяются уравнениями,, .

Здесь - фаза колебаний, а - начальная фаза .

Сила, действующая на тело при свободном гармоническом колебании (квазиупругая сила), всегда пропорциональна смещению и направлена в сторону, противоположную смещению:

где - коэффициент квазиупругой силы, измеряемый силой, вызывающей смещение, равное единице .

При отсутствии сопротивления среды циклическая частота свободных гармонических колебаний, называемых собственной циклической частотой и период равны:

, Период колебания математического маятника длиной равен .

Период колебаний физического маятника, где - момент инерции маятника относительно оси качаний, - расстояние от оси его до центра тяжести .

Полная энергия тела, совершающего гармонические колебания, постоянна и равна .

Уравнение смещения в затухающих колебаниях при наличии силы сопротивления пропорциональной скорости (, где - коэффициент сопротивления) имеет вид:

.

Здесь - убывающая по времени амплитуда смещения; - коэффициент затухания; - циклическая частота; - начальные амплитуда и фаза, определяются из начальных условий .

Величины и выражаются через параметры системы формулами:

–  –  –

1. Материальная точка совершает гармонические колебания, описываемые уравнением х = 0,05sin( t/4), где х и t измеряются в системе СИ. Сколько полных колебаний N совершит точка за время = 80с? Какой путь она при этом пройдт?

2. Материальная точка движется вдоль координатной оси ОХ по гармоническому закону х = 0,1 sin( t) м. Определите среднюю скорость на пути, пройденном материальной точкой за время от t 1 =1с до t 2 = 1,5с .

3. Материальная точка совершает гармонические колебания. Максимальная скорость точки 9,4 м/с. Определите среднюю скорость точки за минимальное время перемещения из одного крайнего положения в другое .

4. Груз массой 100г, подвешенный на пружине жсткостью 20 Н/м, совершает вертикальные колебания. С каким ускорением движется груз в момент времени, когда пружина растянута на х = 2 см?

5. Тело массой 0,5г совершает колебания по закону х = 0,1 cos(20 t) м. Определите максимальное значение возвращающей силы .

6. Во сколько раз изменится период колебаний математического маятника, если его поднять с уровня моря на Эверест (Н =8,9 км)?

7. Шарик массой 100г, подвешенный на нити, отклонили от положения равновесия на угол 60 0. Чему при этом равна потенциальная энергия шарика относительно положения равновесия, если частота его малых колебаний равна 1с 1 ?

8. Груз, подвешенный на длинной лгкой пружине, совершает колебания с периодом 1с. Затем пружина перерезается пополам и груз подвешивается к одной из е половин. Определите период колебаний груза в этом случае .

9. К нижнему концу закреплнной в верхней точке нерастянутой пружины жсткостью 225 Н/м прикрепили груз массой 1кг и без толчка отпустили. Через какое время при движении груза вниз его скорость достигнет максимального значения?

10. Груз массой 200г совершает колебания на пружине с периодом 0,4с и амплитудой колебаний 10см. Определите полную механическую энергию колебаний .

Контрольные вопросы

1. Что называют колебаниями?

2. Какой общий признак у всех колебательных систем?

3. Что называют колебательной системой?

4. Виды колебательных систем?

5. Основное свойство колебательных систем?

6. Что такое свободные колебания?

7. Почему свободные колебания затухающие?

8. Какие из величин в процессе колебания периодически меняются, а какие нет?

9. Что называют периодом?

10. Какое расстояние колебательное тело проходит за период?

11. Сколько раз значение за Т равно нулю?

12. Сколько раз ускорение достигает максимального значения за период?

13. Назовите два условия колебаний?

14. Что такое гармонические колебания?

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Учебная программа дисциплины «Теоретическая механика» бакалавриата при изучении раздела «Динамика» не уделяет большого внимания вопросам динамики механических систем .

Ранее в 2016г авторами было разработано учебное пособие «Динамика механических систем», Поэтому в предлагаемом практикуме авторами на основе преподавательского опыта и с учетом требований практики изложены основные теоретические положения динамики применительно к техническим устройствам, представляющим механические системы и разработаны задания для выполнения практических и семинарских работ .

Цель практикума – помочь магистрантам более глубоко изучить теорию и освоить методы решения задач динамики .

Задачи – способствовать приобретению магистрантами умений и навыков практического применения дифференциальных уравнений, общих теорем динамики, а также методов аналитической механики к исследованию движения точек и механических систем, что способствует формированию у них компетенций, обозначенных в стандартах ГОСО РК и рабочих учебных программах дисциплины .

В приложениях А-Д приведены варианты заданий, в каждом из которых необходимо провести комплексное исследование движения механической системы. В приложении Е кратко изложены основные теоретические положения которые можно использовать при решении практических заданий. Трудоемкость работы составляет 30 часов.

Для решения поставленных задач магистранты используют теоретический материал следующих разделов:

• теоремы о движении центра масс и теории удара;

• дифференциальные уравнения движения тел механической системы;

• теорема об изменении кинетической энергии механической системы;

• общее уравнение динамики;

• уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода .

Практикум предназначен для магистрантов, обучающихся в рамках второй Республиканской программы Государственного инновационно-индустриального развития Казахстана (ГПИИР-2), и будет полезным для преподавателей, докторантов и студентов инженерных специальностей .

В практикум включены, с их согласия, некоторые материалы лекций профессоров Сеульского национального университета (Ю.Корея) Ю.Кингсу (Yi Kyongsu) и Джангил Кима (Junggil Kim), прочитанные ими в рамках академической мобильности преподавателей в октябре-ноябре 2016 г/ перед магистрантами, обучающимися по РП ГИИР-2 .

<

Список использованных источников

1 Исинтаев Т.И., Медведев М.Ю. Динамика механических систем. Учебное пособие. Алматы: Эверо, 2016. 208 с .

2 Куликов И.С., Маковкин Г.А. Динамика механических систем: Учебное пособие. – Н.Новгород: Нижегород. гос. архитект. - строит. ун-т, 2011г. – 147 с .

3 Диевский В.А. Теоретическая механика: Учебное пособие. 2-е изд., испр. – СПб.: Изд-тво «Лань», 2012. – 320 с .

4 Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: Учебное пособие / И.В. Мещерский. - М.: Наука, 1986. - 448 с .

5 Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики, том III. Динамика. – М.: Высшая школа, 1985. – 495 с .

6 Сборник коротких задач по теоретической механике. Под редакцией О.Э .

Кепе. М.: «Высшая школа», 1989. - 368с .

7 Сб. заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учебное пособие / Под ред. А.А.Яблонского. - М.: Высш. школа, 1985 - 367 с .

8 Электр. ресурс: http://mathenglish.ru/mechanics/tmlect.htm. Дата обращения 05.10.2016 (конспекты лекций) 9 Электр. ресурс: https://www.youtube.com/watch?v=s9iM2fC40Wk Дата обращения 12.10.2016 (видеофильм динамика) 10 Электр. ресурс: file:///D:/15%2016%20уч%20год/Динамика%20.pdf. Дата обращения 04.05.2016 11 Электр. ресурс: http://termeh-sorokin.on.ufanet.ru/dinamika.htm Дата обращения 15.12.2016 (плакаты) 12 Куликов И.С., Трянина Н.Ю. Сборник задач по теоретической механике:

Учебное пособие / И.С. Куликов, Н.Ю. Трянина. – Н. Новгород: ННГАСУ, 2012. – 84с .

ПРИЛОЖЕНИЯ

–  –  –

Продолжение Приложение Е (http://termeh-sorokin.on.ufanet.ru/dinamika.htm) Исинтаев Такабай Исинтайулы Медведев Михаил Юрьевич

ДИНАМИКА МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

–  –  –

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________




Похожие работы:

«Теплофизика и аэромеханика, 2011, том 18, № 3 УДК 621.3:533.697 Cистема восстановления давления химического кислородно-йодного лазера на базе активного диффузора В.М. Мальков, И.А. Киселев, А.Е. Орлов, И.В. Шаталов НПП "Адвент", Санкт-Петербург НПП "Лазерные системы", Санкт-Петербург E-mail: shatalov@lsystems.ru, orlov@lsyst...»

«Масла моторные универсальные всесезонные Gazpromneft РПБ № 84035624.02.37735 стр. 3 Diesel Prioritet по СТО 84035624-062-2012 Действителен до 08.04.2020 г. из 16 1 Идентификация химической продукции и сведения о производите...»

«ТОЛЩИНОМЕРЫ УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ БУЛАТ 5УП № РУКОВОДСТВО ПО ЭКСПЛУАТАЦИИ УАЛТ.125.000.00 РЭ-3 СОДЕРЖАНИЕ Введение.. 7 1 Описание и работа.. 7 1.1 Назначение.. 7 1.2 Технические характеристики.....»

«Journal of Siberian Federal University. Engineering & Technologies, 2018, 11(5), 000 ~~~ УДК 550.8.053 Spatial Correlation Manifestations of Gold Mineralization of the Yenisei Ridge and the Siberian Platform with Stripes Shift Gravity Anomalies Stanislav M. Makeev* Siberian Federal Un...»

«Электронный архив УГЛТУ А.П. Панычев А.П. Пупышев А.И. Шкаленко Д.В. Шатунов И.С. Шик Общие принципы работы системы управления инжекторного двигателя Екатеринбург   Электронный архив УГЛТУ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФГБОУ ВПО "Уральский государственный лесот...»

«Safety Information SharBar Please read this document carefully and keep it for future reference. EN CLAY PAKY S.p.A. disclaims any liability for damage to the appliance or property or injury to third parties resulting from installation, use or maintenanc...»

«Инновации в образовательном пространстве Первомайского района 28 и 29 марта 2018 года на площадках образовательных организаций района состоялась конференция педагогических работников "Инновации в образовательном пространстве Первомайского район...»







 
2019 www.librus.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - собрание публикаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.